Zobrazit Mobilní Oznámení, Zobrazit Všechny Poznámky, Skrýt Všechny Poznámky,
sekce 3-5: deriváty funkcí Trig
s touto sekcí začneme zkoumat deriváty jiných funkcí než polynomů nebo kořenů polynomů. Tento proces zahájíme tím, že se podíváme na deriváty šesti funkcí trig. Dva deriváty budou odvozeny. Zbývající čtyři jsou ponechány na vás a budou následovat podobné důkazy pro dva Zde uvedené.
než se skutečně dostaneme do derivátů funkcí trig, musíme dát pár limitů, které se objeví při odvození dvou derivátů.,
Fact
podívejte se na sekci proof of Trig Limits v kapitole Extras a podívejte se na důkaz těchto dvou limitů.
před pokračováním rychlé poznámky. Studenti se často ptají, proč vždy používáme radiány ve třídě kalkulu. To je důvod, proč! Důkaz vzorce zahrnujícího sinus výše vyžaduje, aby úhly byly v radiánech. Pokud jsou úhly ve stupních, limit zahrnující sinus Není 1, a proto se vzorce, které odvodíme níže, také změní. Níže uvedené vzorce by vyzvedly další konstantu, která by se právě dostala do cesty naší práci, a proto používáme radiány, abychom se tomu vyhnuli., Nezapomeňte tedy vždy používat radiány ve třídě kalkulu!
než začneme diferencovat funkce trig, pojďme pracovat na rychlé sadě limitních problémů,které nám tato skutečnost nyní umožňuje.
dobře, teď, když jsme dostali tuto sadu limitních příkladů z cesty, vraťme se k hlavnímu bodu této sekce, rozlišujeme funkce trig.
začneme nalezením derivace sinusové funkce. K tomu budeme muset použít definici derivátu. Už je to dlouho, co jsme to museli použít, ale někdy s tím nemůžeme nic dělat., Zde je definice derivátu pro funkci sinusu.
\
protože nemůžeme jen připojit \(h = 0\), abychom vyhodnotili limit, budeme muset použít následující vzorec trig na prvním sinusu v čitateli.
\
to nám dává,
\
Jak můžete vidět, při použití trigonometrické vzorce, můžeme spojit první a třetí termín, a pak faktorem, sine. Pak můžeme rozdělit zlomek na dva kusy, z nichž oba mohou být řešeny samostatně.
\
v tomto bodě vše, co musíme udělat, je použít limity ve skutečnosti výše k vyřešení tohoto problému.,
\
rozlišování kosinu se provádí podobným způsobem. Bude vyžadovat jiný vzorec trig, ale kromě toho je téměř totožný důkaz. Podrobnosti vám zůstanou. Po dokončení s důkazem byste měli dostat,
\
s těmito dvěma z cesty zbývající čtyři jsou poměrně jednoduché získat. Všechny zbývající čtyři funkce trig lze definovat z hlediska sinusu a kosinu a tyto definice spolu s vhodnými derivátovými pravidly lze použít k získání jejich derivátů.
podívejme se na tečnu., Tangens je definován jako,
\
Teď, když máme derivace sinus a kosinus vše, co musíme udělat, je použít kvocient pravidlo na to. Pojďme na to.
\ \
zbývající tři trig funkce jsou také kvocienty zahrnující sinus a/nebo kosinus, a tak mohou být odlišeny podobným způsobem. Podrobnosti necháme na vás. Zde jsou deriváty všech šesti funkcí trig.
deriváty šesti trig funkcí
v tomto bodě bychom měli pracovat na některých příkladech.
jako konečný problém zde nezapomínejme, že stále máme své standardní interpretace derivátů.,
v této části jsme viděli, jak rozlišovat funkce trig. V posledním příkladu jsme také viděli, že naše interpretace derivátu jsou stále platné, takže na ně nemůžeme zapomenout.
také je důležité, abychom byli schopni vyřešit Trig rovnice, protože to je něco, co se v tomto kurzu objeví. Je také důležité, abychom mohli dělat druhy číselných řádků, které jsme použili v posledním příkladu, abychom zjistili, kde je funkce pozitivní a kde je funkce negativní. To je něco, co budeme dělat příležitostně jak v této kapitole, tak v další.
Napsat komentář