Fourierova analýza

(Kontinuální) Fourierova transformEdit

Nejčastěji, nespecifikovaný termín Fourierova transformace se týká transformace funkce kontinuálního skutečný argument, a to vytváří spojitou funkcí frekvence, známý jako frekvenční distribuce. Jedna funkce je přeměněna na jinou a operace je reverzibilní., Když domény vstupní (počáteční) je funkce času (t), a domény výstupní (závěrečné) funkce je běžné frekvenci, transformace funkci s(t) na frekvenci f je dána komplexní čísla:

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s (t)\cdot e^{-I2\pi ft}\,dt.}

vyhodnocení tohoto množství pro všechny hodnoty f vytváří funkci frekvenční domény., Pak s(t) může být reprezentován jako rekombinace komplexní exponenciály pro všechny možné frekvence:

y ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f t d f , {\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}

, která je inverzní transformace vzorce. Komplexní číslo, S( f), vyjadřuje jak amplitudu, tak fázi frekvence f.,

Viz Fourierova transformace pro mnohem více informací, včetně:

• konvence pro normalizace amplitudy a frekvence škálování/jednotky
• transformace vlastnosti
• tabulky transformuje specifických funkcí
• rozšíření/zobecnění pro funkce více dimenzí, jako jsou obrázky.,

Fourierova seriesEdit

Fourierova transformace periodických funkcí, sP(t) s periodou P, stává Diracův hřeben funkce, modulovaný posloupnost komplexních koeficientů:

S = 1 P ∫ P y P ( t ) ⋅ e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle Y={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (kde ∫P je integrál přes jakýkoli interval délky P).,

inverzní transformace, známá jako Fourierova řada, je reprezentace sP(t), pokud jde o shrnutí potenciálně nekonečný počet harmonicky související sinusoidy nebo komplexní exponenciální funkce, každý s amplitudou a fází určeného jeden z koeficientů:

y P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k, P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k P t . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }Y\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

sP(t) může být vyjádřena jako pravidelné shrnutí další funkce, s(t):

y P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ y ( t − m P ) , {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

a koeficienty jsou přímo úměrné vzorky S( f ) v diskrétních intervalech 1/P:

S = 1 P ⋅ S ( k P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}} \ cdot s \ left ({\frac {k}{P}} \ right).}

všimněte si, že v periodickém součtu lze použít libovolné s(t), jejichž transformace má stejné diskrétní vzorkové hodnoty. Dostatečná podmínka pro obnovení s (t) (a tedy s (f )) pouze z těchto vzorků (tj., z Fourierovy řady) je, že nenulová část s (t) je omezena na známý interval trvání P, což je frekvenční doména duální vzorkovací věty Nyquist–Shannon.

viz Fourierova řada pro více informací, včetně historického vývoje.

Diskrétní Fourierova transformace (DTFT)Upravit

DTFT je matematický dual time-domain Fourierovy řady.,e koeficienty jsou vzorky a související kontinuální časové funkce:

Y 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k, T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ Fourierovy řady (DTFT) ⏟ Poissonova sumační vzorec = F { ∑ n = − ∞ ∞ y δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }y\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourierovy řady (DTFT)}}} _{\text{Poissonova sumační formule}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

, který je známý jako DTFT., Tak dtft sekvence s je také Fourierova transformace modulované Dirac comb funkce.

koeficienty Fourierovy řady (a inverzní transformace), jsou definována:

≜ T ∫ 1 T S 1, T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

parametr T odpovídá intervalu odběru vzorků a tato Fourierova řada může být nyní rozpoznána jako forma Poissonova sumačního vzorce. Máme tedy důležitý výsledek, že když je diskrétní datová sekvence, s, úměrná vzorkům základní spojité funkce, s (t), lze pozorovat periodické shrnutí spojité Fourierovy transformace, s( f). Všimněte si, že jakýkoli s(t) se stejnými diskrétními hodnotami vzorku produkuje stejný DTFT, ale za určitých idealizovaných podmínek lze teoreticky Obnovit s( f ) A S(t) přesně., Postačující podmínka pro ideální využití je, že nenulové části S( f ) být omezena na známou frekvenčním intervalu o šířce 1/T. Když tento interval je použitelné rekonstrukce vzorec, Whittaker–Shannon interpolační vzorec. Jedná se o základní kámen při zakládání digitálního zpracování signálu.

dalším důvodem zájmu o s1 / T (f ) je to, že často poskytuje vhled do množství aliasingu způsobeného procesem odběru vzorků.

aplikace DTFT nejsou omezeny na vzorkované funkce.,ing (konečný-délka sekvence)

transformace vlastnosti

tabulky transformuje specifických funkcí

Diskrétní Fourierova transformace (DFT)Upravit

Podobně jako Fourierova řada, DTFT pravidelného pořadí, sN, s periodou N, se stává Diracův hřeben funkce, modulovaný posloupnost komplexních koeficientů (viz DTFT § Periodická data):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N n , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (kde ∑n je součet přes libovolnou posloupnost délky N).,

sekvence s je obvykle známá jako DFT jednoho cyklu sN. Je také n-periodické, takže nikdy není nutné počítat více než n koeficienty. Inverzní transformace, také známý jako diskrétní Fourierovy řady, je dána tím, že:

y N = 1 N ∑ k S ⋅ e i 2 π n N k , {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}, kde σ k je součet přes libovolnou posloupnost délky N.,

Když sN je vyjádřena jako pravidelné shrnutí další funkce:

N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }y,} a s ≜ s ( n, T ) , {\displaystyle y\,\triangleq \,s(nT)}

koeficienty jsou přímo úměrné vzorky S1/T( f ) v diskrétních intervalech 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S-1 T ( k-P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}} \ cdot S_ {\frac {1}{t}}\left ({\frac {k}{P}} \ right).,}

naopak, když chceme vypočítat libovolné číslo( N) diskrétních vzorků jednoho cyklu spojitého dtft, S1/T (f ), lze to provést výpočtem relativně jednoduchého DFT sN, jak je definováno výše. Ve většině případů se n volí stejně jako délka nenulové části s. zvýšení N, známé jako nulové polstrování nebo interpolace, vede k těsnějším vzorkům jednoho cyklu S1 / t (f ). Snížení N způsobuje překrytí (přidávání) v časové doméně (analogické aliasingu), což odpovídá decimaci ve frekvenční doméně., (viz Dtft § vzorkování Dtft) ve většině případů praktického zájmu představuje sekvence s delší sekvenci, která byla zkrácena aplikací funkce okna s konečnou délkou nebo pole filtru FIR.

DFT lze vypočítat pomocí algoritmu rychlé Fourierovy transformace (FFT), což z něj činí praktickou a důležitou transformaci na počítačích.,

Viz Diskrétní Fourierovy transformace pro mnohem více informací, včetně:

• transformace vlastnosti
• aplikace
• tabulky transformuje specifických funkcí

SummaryEdit

Pro periodické funkce, Fourierovy transformace a DTFT obsahují pouze diskrétní sadu frekvenčních složek (Fourierova řada), a transformuje se rozcházejí v těchto frekvencích. Jednou běžnou praxí (není diskutováno výše) je zvládnout tuto divergenci pomocí funkcí Dirac delta a Dirac comb., Stejné spektrální informace však lze rozeznat pouze z jednoho cyklu periodické funkce, protože všechny ostatní cykly jsou totožné. Podobně, funkce konečného trvání mohou být reprezentovány jako Fourierova série, bez skutečné ztráty informací, kromě toho, že periodicita inverzní transformace je pouhým artefaktem.

v praxi je běžné, že doba trvání s (•) je omezena na období, P nebo N.tyto vzorce však tuto podmínku nevyžadují.,

Symetrie propertiesEdit

Když reálná a imaginární část komplexní funkce jsou rozloženy do jejich sudé a liché části, k dispozici jsou čtyři složky, označený níže u dolní indexy, RE, RO, IE, IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Naopak, rovnoměrná symetrická transformace znamená doménu v reálném čase.
• transformace imaginární funkce (i Sie + i sIO) je lichá symetrická funkce SRO+ i SIE a converse je pravdivá.
• transformace rovnoměrné symetrické funkce (sRE+ i sIO) je funkce SRE+ SRO v reálné hodnotě a converse je pravdivá.
• transformace liché symetrické funkce (sRO+ i sIE) je imaginární funkce i Sie+ i SIO a converse je pravdivá.,

Fourierova transformace na libovolné lokálně kompaktní abelovská topologické groupsEdit

Fourierova variant může být také zobecněná Fourierova transformace na libovolné lokálně kompaktní Abelovská topologické skupin, které jsou studovány v harmonické analýze; tam, Fourierova transformace trvá funkcí na skupiny funkce na dual skupiny. Toto ošetření také umožňuje obecnou formulaci konvoluční věty, která se týká Fourierových transformací a konvolucí. Viz také Pontryagin dualita pro zobecněné opory Fourierovy transformace.,

konkrétnější, Fourierova analýza může být provedena na cosetách, dokonce i diskrétních cosetách.

Čas–frekvence transformsEdit

Ve zpracování signálu, podmínky, funkce (času) je zastoupení signál s perfektním rozlišením čas, ale ne frekvenci informací, zatímco Fourierova transformace má ideální frekvenční rozlišení, ale žádné informace o čase.,

Jako alternativy k Fourierova transformace, časově frekvenční analýza, jeden využívá časově–frekvenční transformace představují signály v podobě, která má nějaké informace o čase a frekvenci informací – princip neurčitosti, tam je trade-off mezi těmito., Ty mohou být zobecnění Fourierovy transformace, jako je například short-time Fourier transform, Gabor transformovat nebo frakční Fourierova transformace (FRFT), nebo můžete použít různé funkce představují signály, jako v waveletové transformace a chirplet transformace, wavelet analogové (spojité) Fourierova transformace je spojité vlnkové transformace.