Gama funkce

GeneralEdit

Další důležité funkční rovnice pro gama funkce jsou Eulerovy úvahy vzorec,

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π, z ) , z ∉ Z, {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

což znamená,

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

a Legendrovy zdvojování vzorec,

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}

duplikační vzorec je zvláštní případ násobící věty (viz Eq. 5.5.6)

∏ K = 0 m − 1 Γ (z + K m) = (2 π) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z). {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\, m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

jednoduchá, ale užitečná vlastnost, kterou lze vidět z definice limitu, je:

Γ ( z ) = Γ (z ) Γ Γ (z) Γ ( z) Γ (z) ∈ r., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}

Možná best-known hodnota gama funkce na non-celé číslo, argumentem je,

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n π = (n − 1 2 n ) n ! π Γ (1 2 − n) = (−4 ) n n ! (2 n)! π = (- 2) n (2 n − 1 ) ! ! π = π ( − 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \ over 4^{N}n!}{\sqrt {\pi }} = {\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}} {\sqrt {\pi }} = {\binom {n – {\frac {1}{2}}} {n} n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \ over (2N)!}{\sqrt {\pi }} = {\frac {(-2)^{n}} {(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!,}} \ end{aligned}}}

deriváty funkce gama jsou popsány z hlediska funkce polygamma. Například:

Γ ‚ (z ) = Γ ( z ) ψ 0 (z ) . {\displaystyle \ Gamma ‚(z)=\Gamma (z) \ psi _{0}(z).}

Pro kladné celé číslo m derivát gama funkce lze vypočítat takto (zde γ {\displaystyle \gamma } je Euler–Mascheroni konstantní):

Γ ‚ ( m + 1 ) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k). {\displaystyle \ Gamma ‚(m+1)=m!\ left (- \gamma + \ sum _{k=1}^{m} {\frac {1}{k}\right)\,.,}

Pro ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} th derivát gama funkce je:

d n d x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(to lze odvodit rozlišováním integrální formy funkce gama vzhledem k x {\displaystyle x} a použitím techniky diferenciace pod integrálním znaménkem.)

pomocí identity

Γ (n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n ! ∑ π π n n i = 1 r ζ ζ (a i ) k i ! ⋅ i ζ ∗ ( x ) := { ζ ( x), x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \ limits _{\pi \, \ vdash \, n}\, \ prod _ {i=1}^{r} {\frac {\zeta ^{ * } (a_{i})} {k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{případů}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{případů}}} π = 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 + ⋯ + r + ⋯ + r ⏟ k r podmínky , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ výrazy}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ výrazy}}},}

máme zejména

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z-3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\vpravo)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}

Nerovnostedit

Pokud je omezena na kladná reálná čísla, funkce gama je přísně logaritmicky konvexní funkce., Tato vlastnost může být uvedeno v kterémkoli z následujících třemi rovnocennými způsoby:

• Na každém dva pozitivní reálných čísel x 1 {\displaystyle x_{1}} a x 2 {\displaystyle x_{2}} a pro libovolné t ∈ {\displaystyle t\v } ,

Γ ( t x 1 + ( 1 − t), x 2 ) ≤ Γ ( x, 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• Na každém dva pozitivní reálných čísel x a y s y > x,

( Γ ( a ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ‚ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• Pro každé kladné reálné číslo x {\displaystyle x} ,

Γ “ ( x ) Γ ( x ) > Γ ‚ ( x ) 2 . {\displaystyle \ Gamma“(x)\Gamma(x)>\Gamma ‚(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + a n x n a 1 + ⋯ + a n) ≤ (Γ (x 1 ) a 1 Γ Γ ( x n ) A n) 1 a 1 + ⋯ + a n., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

existují také meze na poměry gama funkcí. Nejznámější je Gautschi je nerovnost, která říká, že pro každé kladné reálné číslo x a libovolné y ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + y ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+y)}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirling je formulaEdit

chování Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} pro rostoucí pozitivní proměnné je jednoduchý. Roste rychle, rychleji než exponenciální funkce ve skutečnosti., Asymptoticky jako z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} velikosti gama funkce je dána Stirling je vzorec,

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z, e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

Další užitečné limit pro asymptotické odhady je:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

chování pro non-pozitivní z {\displaystyle z} je složitější., Euler je integrál nekonverguje pro z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0} , ale funkce definuje v pozitivní komplexní polorovina má unikátní analytické pokračování na negativní half-plane. Jeden způsob, jak najít to, analytické pokračování, je použít Euler je nedílnou součástí pro kladné argumenty a prodloužení domény do záporných čísel opakovanou aplikací opakování vzorce,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n) pro {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \ operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to C} (z-c)f (z).}

pro jednoduchý pól z = – n, {\displaystyle z= – n,} přepisujeme vzorec opakování jako:

( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}

čitatele v z = − n , {\displaystyle z=-n,} je

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

a jmenovatel

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z (z+1)\cdots(z+n-1)=-n (1-n)\cdots(n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

takže zbytky funkce gama v těchto bodech jsou:

Res ⁡ (Γ , − n) = (−1 ) n ! . {\displaystyle \ operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n} {n!}}.}

MinimaEdit

gama funkce má lokální minimum v zmin ≈ +1.46163214496836234126 (zkrácen), kde dosahuje hodnoty Γ(zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (zkrácen)., Gama funkce musí střídat znamení mezi póly, protože produkt v dopředu opakování obsahuje lichý počet negativní faktory, pokud počet pólů mezi z {\displaystyle z} a z + n {\displaystyle z+n} je lichý a sudý počet, pokud počet pólů je dokonce.

Integrální representationsEdit

Existuje mnoho vzorců, kromě Eulerova integrálu druhého druhu, které vyjadřují gama funkce jako nedílná. Například, když je skutečná část z kladná,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1 t ) z − 1 d T., {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

Binet je první integrální vzorec pro funkci gama uvádí, že, když reálná část z je pozitivní, pak:

přihlaste se ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t z t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}

integrál na pravé straně může být interpretován jako Laplaceova transformace., To znamená, že

log ⁡ ( Γ ( Z ) ( e z ) Z 2 π z ) = L (1 2 t – 1 t 2 + 1 t ( e T − 1)) (z ) . {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

Binetův druhý integrální vzorec uvádí, že opět, když je skutečná část z kladná, pak:

log Γ Γ ( Z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ (2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ (t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi, t}-1}}\,dt.,}

Ať C je Hankelovy obrys, což znamená cesta, která začíná a končí v bodě ∞ na Riemannovu sféru, jejichž jednotková tečná vektorová konverguje k -1 na začátku cesty a k 1 na konci, který má vinutí počet 1 kolem 0, a které nepřekročí

Γ ( z ) = − 1 2 i sin ⁡ π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = 2 π ∫ C ( − t ) − z-e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z -} e^{-t}\,dt,}

opět platí, kdykoli z není celé číslo.,funkce má následující Fourierovy řady rozšíření pro 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ sin ⁡ ( π, z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n sin ⁡ ( 2 π n z),, {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

, který byl po dlouhou dobu připisován Ernst Kummer, který odvodil v roce 1847., Iaroslav Blagouchine však zjistil, že Carl Johan Malmsten tuto sérii poprvé odvodil v roce 1842.

Raabe formulaEdit

V roce 1840 Joseph Ludwig Raabe dokázali, že

∫ a a + 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π + ln ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +\ln a,\quad a>0.}

zejména pokud a = 0 {\displaystyle A=0} pak

∫ 0 1 ln Γ Γ (z) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \ int _ {0}^{1} \ ln \ Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

druhý může být odvozen logaritmus ve výše násobení vzorec, který dává výraz pro Riemannův součet integrand. Přičemž limit pro → ∞ {\displaystyle A \ rightarrow \ infty } dává vzorec.,

Pi functionEdit

alternativní notace, který byl původně zaveden gaussem a který byl někdy používán, je Π {\displaystyle \Pi } -funkce, která, pokud jde o gama funkce je

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}

tak, že Π ( n ) = n ! {\displaystyle \ Pi (n)=n!} pro každé non-negativní celé číslo n {\displaystyle n} .,

Pomocí funkce pi odraz formule trvá na formě,

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π, z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

, kde sinc je normalizované sinc funkce, zatímco násobení věta trvá na formě,

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

také někdy najdeme

π (z) = 1 Π (z), {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}\,}

objem n-elipsoidu s poloměrem R1,…, rn lze vyjádřit jako

v n (r 1,…, r n) = π n 2 Π ( n 2) ∏ k = 1 n r k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

vztah k jiným funkcímedit

• v prvním integrálu výše, který definuje funkci gama, jsou stanoveny limity integrace., Horní a dolní neúplné funkce gama jsou funkce získané tím, že umožňují měnit dolní nebo horní (resp.
• funkce gama souvisí s funkcí beta podle vzorce

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ (x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• logaritmický derivát funkce gama se nazývá funkce digamma; vyšší deriváty jsou funkce polygamma.,
• analogem funkce gama přes konečné pole nebo konečný prstenec jsou Gaussovy součty, Typ exponenciálního součtu.
• reciproční funkce gama je celá funkce a byla studována jako konkrétní téma.
• funkce gama se také zobrazuje v důležitém vztahu s funkcí Riemann zeta, ζ (z) {\displaystyle \Zeta (z)}.

π-z 2 Γ ( z 2 ) ζ (z) = π-1-z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) ., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Zdá se také, v následujícím vzorci: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}, která je platná pouze pro ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., Logaritmus gama funkce splňuje následující vzorec vzhledem k Lerch: log ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‚( 0 , x ) a − ζ ‚ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‚(0),} kde ζ H {\displaystyle \zeta _{H}} je Hurwitz zeta funkce, ζ {\displaystyle \zeta } je Riemann zeta funkce a předseda (‚) označuje diferenciace v první proměnné.

• funkce gama souvisí s protaženou exponenciální funkcí. Například momenty této funkce jsou

τ τ n τ 0 ∞ d t t n-1 e – (t τ ) β = τ n β γ ( n β ) ., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}

Konkrétní valuesEdit

Včetně prvních 20 číslic za desetinnou čárkou, některé konkrétní hodnoty gama funkce jsou:

Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

komplex-cenil gama funkce je nedefinovaná pro non-pozitivní celá čísla, v těchto případech je však hodnota může být definována v Riemannovy sféry jako ∞. Reciproční gama funkce je dobře definována a analytická na těchto hodnotách (a v celé komplexní rovině):

1 Γ ( − 3) = 1 Γ ( − 2) = 1 Γ ( − 1) = 1 Γ ( 0) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}