Implicitní funkce

v kalkulu, metoda nazývaná implicitní diferenciace využívá řetězové pravidlo k rozlišení implicitně definovaných funkcí.

pro rozlišení implicitní funkce y (x), definované rovnicí R (x, y) = 0, není obecně možné ji explicitně vyřešit pro y a poté rozlišovat. Místo toho, jeden může zcela odlišit R(x, y) = 0 vzhledem k x a y a pak řešit vzniklé lineární rovnice dy/dx výslovně získat derivát z hlediska x a y., I když je možné explicitně vyřešit původní rovnici, vzorec vyplývající z celkové diferenciace je obecně mnohem jednodušší a jednodušší.

ExamplesEdit

Příklad 1. Zvažte

y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y + x + 5=0\,.}

tato rovnice se snadno řeší pro y, což dává

y = – x-5, {\displaystyle y = – x-5\,}

, kde pravá strana je explicitní forma funkce y (x). Diferenciace pak dává dy / dx = -1.

alternativně lze zcela rozlišit původní rovnici:

d y d x + d x + D D D x (5) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}}

Solving for dy / dx gives

d y d x = – 1, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}} = -1\,}

stejná odpověď jako dříve.

příklad 2. Příklad implicitní funkce, pro které implicitní diferenciace je jednodušší, než pomocí explicitní diferenciace je funkce y(x) definovaná rovnicí

x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4} + 2y^{2}=8\,.,}

rozlišovat to výslovně s ohledem na x, jeden musí nejprve získat

y ( x ) = ± 8 − 4 x 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

a pak odlišit tuto funkci. Tím se vytvoří dva deriváty: jeden pro y ≥ 0 a druhý pro y < 0.

je To podstatně jednodušší implicitně odlišit původní rovnice:

4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

dát

d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {- 4x^{3}} {4y}= – {\frac {x^{3} {y}\,.}

příklad 3., Často je obtížné nebo nemožné explicitně vyřešit y a implicitní diferenciace je jedinou proveditelnou metodou diferenciace. Příkladem je rovnice

y 5-y = x . {\displaystyle y^{5} – y=x\,.}

není možné algebraicky vyjádřit y explicitně jako funkci x, a proto nelze najít dy/dx explicitní diferenciací. Pomocí implicitní metody, dy/dx lze získat derivací rovnice získat

5 y 4 d y d x d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}

, kde dx/dx = 1., Vytknutí dy/dx ukazuje, že

( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}

což dává výsledek,

d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}

který je definován pro

y ≠ ± 1 5 4 a y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{a}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt{5}}}\,.}

obecný vzorec pro derivaci implicitní funkceedit

Pokud R (x, y) = 0, derivát implicitní funkce y (x) je dán:§11.,5

d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}

, kde Rx a Ry ukazují parciální derivace R vzhledem k x a y.,

výše uvedený vzorec vychází z použití zobecněné řetězové pravidlo pro získání celkové derivátové — s ohledem na x — na obou stranách R(x, y) = 0:

∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

proto

∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

který, když je vyřešen pro dy/dx, dává vyjádření výše.