Křivka

Zhruba řečeno diferencovatelná křivka je křivka, která je definována jako místně obraz prosté diferencovatelné funkce γ : I → X, {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} z interval I reálných čísel do diferencovatelné rozmanité X, často R. n . {\displaystyle \ mathbb {R} ^{n}.}

přesněji řečeno, diferencovatelná křivka je podmnožinou C X, kde každý bod C má okolí U takové, že C ∩ U, {\displaystyle C\cap U} je diffeomorphic na intervalu reálných čísel., Jinými slovy, diferencovatelná křivka je diferencovatelným rozdělovačem dimenze jedna.

Délka curveEdit

Délka ⁡ ( γ ) = def ∫ b | γ ‚ ( t ) | d t . {\displaystyle \operatorname {Délka} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}

délka křivky je nezávislá na parametrizaci γ {\displaystyle \ gamma } .

s = ∫ A b 1 + 2 D x . {\displaystyle s= \ int _ {a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Délka ⁡ ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ N a a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Délka} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{a}}~=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} Délka ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \ operatorname {Délka}\!,\ left (\gamma |_{} \ right)=t_{2} – t_{1}.} Rychlost γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s) γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Rychlost} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}

a pak se ukáže, že

Délka ⁡ ( γ ) = ∫ a b Rychlost γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Délka} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Rychlost} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.,}

diferenciální geometriedit

zatímco první příklady křivek, které jsou splněny, jsou většinou rovinné křivky(tj. Potřeby geometrie a také například klasická mechanika mají mít představu o křivce v prostoru libovolného počtu rozměrů. Obecně relativita, světová čára je křivka v časoprostoru.,

Pokud se X {\displaystyle X} je diferencovatelné rozmanité, pak můžeme definovat pojem diferencovatelné křivky v X {\displaystyle X} . Tato obecná myšlenka stačí k pokrytí mnoha aplikací křivek v matematice. Z místního hlediska lze X {\displaystyle X} považovat za euklidovský prostor. Na druhé straně, to je užitečné, aby se více obecné, že (například) je možné definovat tečných vektorů k X {\displaystyle X} pomocí tohoto pojmu křivka.,

Pokud se X {\displaystyle X} je hladké potrubí, hladká křivka v X {\displaystyle X} je hladký mapu

γ : I → X, {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} .

diferencovatelná křivka se říká, že je pravidelná, pokud její derivát nikdy nezmizí. (Slovy, pravidelná křivka nikdy zpomaluje na zastavení nebo backtracks na sebe.,) Dva C k {\displaystyle C^{k}} diferencovatelné křivky

γ 1 : I → X, {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X} a γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}

jsou řekl, aby byl ekvivalent, pokud existuje bijektivní C k {\displaystyle C^{k}} mapě,

p : J → I {\displaystyle p\colon J\rightarrow jsem}

taková, že inverzní mapa

p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}

je také C k {\displaystyle C^{k}} , a

γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}