metoda konečných prvků – co to je? FEM a FEA

metoda konečných prvků (FEM) je numerická technika používaná k provádění analýzy konečných prvků (FEA) jakéhokoli daného fyzikálního jevu.

je nutné používat matematiku komplexně pochopit a kvantifikovat nějaké fyzikální jevy, jako jsou strukturální nebo chování tekutin, tepelné dopravy, šíření vln, a růst biologických buněk. Většina těchto procesů je popsána pomocí parciálních diferenciálních rovnic (PDEs)., Nicméně, pro počítač k vyřešení těchto PDEs, numerické techniky byly vyvinuty v posledních několika desetiletích a jedním z nejvýznamnějších dnes je metoda konečných prvků.,

Metoda Konečných Prvků Aplikace Metody Konečných Prvků

Metoda konečných prvků začala s významnými slib v modelování několik mechanické aplikace týkající se letectví a stavebnictví. Aplikace metody konečných prvků teprve začínají dosahovat svého potenciálu., Jedním z nejvíce vzrušující vyhlídky je jeho použití v kombinaci problémy, jako je tekutina-struktura interakce, termomechanické, termochemických, termo-chemo-mechanické problémy, biomechanika, biomedicínské inženýrství, piezoelektrických, feroelektrických a elektromagnetismu.

v posledních desetiletích bylo navrženo mnoho alternativních metod, ale jejich komerční použitelnost je ještě třeba prokázat. Stručně řečeno, FEM právě udělal výkyv na radaru!

než začnete s diferenciálními rovnicemi, je nezbytné přečíst si článek o softwaru FEA v SimWiki., Začíná se základy a postupně postupuje k diferenciálním rovnicím.

FEM Rovnice Parciální Diferenciální Rovnice

za Prvé, je důležité pochopit různé žánr parciální diferenciální rovnice a jejich vhodnost pro použití s FEM. Porozumění tomu je zvláště důležité pro každého, bez ohledu na motivaci k použití analýzy konečných prvků. Je důležité si uvědomit, že FEM je nástroj a jakýkoli nástroj je jen tak dobrý jako jeho uživatel.

PDEs lze kategorizovat jako eliptické, hyperbolické a parabolické., Při řešení těchto diferenciálních rovnic je třeba poskytnout hraniční a/nebo počáteční podmínky. Na základě typu PDE lze vyhodnotit potřebné vstupy. Příklady PDEs v každé kategorii zahrnují poissonovu rovnici (eliptickou), vlnovou rovnici (hyperbolickou) a Fourierův zákon (parabolickou).

existují dva hlavní přístupy k řešení eliptických PD, a to metody konečných rozdílů (FDM) a variační (nebo energetické) metody. FEM spadá do druhé kategorie. Variační přístupy jsou primárně založeny na filozofii minimalizace energie.,

hyperbolické PDEs jsou běžně spojeny se skoky v řešeních. Například vlnová rovnice je hyperbolická PDE. Vzhledem k existenci diskontinuit (nebo skoků) v řešeních byla původní technologie FEM (nebo metoda Bubnov-Galerkin) považována za nevhodnou pro řešení hyperbolických PDEs. V průběhu let však byly vyvinuty modifikace pro rozšíření použitelnosti technologie FEM.

před uzavřením této diskuse je třeba zvážit důsledek použití numerického rámce, který není vhodný pro typ PDE., Takové použití vede k řešením, která jsou známá jako “ nesprávně položená.“To by mohlo znamenat, že malé změny v doméně parametry vést k velké oscilace v řešení, nebo že řešení existují pouze v určité části domény nebo čas, které nejsou spolehlivé. Dobře položené explikace jsou definovány jako ty, kde pro definovaná data neustále existuje jedinečné řešení. Vzhledem k spolehlivosti je proto nesmírně důležité získat dobře položená řešení.,

Stáhněte si naše Tipy pro Architekturu, Inženýrství & Stavebnictví (AEC), bílá kniha se naučit, jak optimalizovat své návrhy!

fem princip minimalizace energie

Jak funguje FEM? Jaká je primární hnací síla? Princip minimalizace energie tvoří primární páteř metody konečných prvků. Jinými slovy, pokud je na tělo aplikována určitá hraniční podmínka, může to vést k několika konfiguracím, ale přesto je realisticky možná nebo dosažena pouze jedna konkrétní konfigurace., I když je simulace prováděna vícekrát, převažují stejné výsledky. Proč je to tak?

Toto je řídí zásadou minimalizace energie. Uvádí, že když je použita hraniční podmínka (jako posunutí nebo síla), z mnoha možných konfigurací, které tělo může vzít, je vybrána pouze konfigurace, kde je celková energie minimální.,

Metoda Konečných Prvků Historie Metoda Konečných Prvků

Technicky vzato, v závislosti na pohledu, FEM může být řekl, aby měl svůj původ v práci Euler, jak již v 16.století. Nicméně, nejstarší matematické dokumenty o FEM lze nalézt v pracích Schellback a Courant .

fem byl nezávisle vyvinut inženýry k řešení problémů strukturální mechaniky souvisejících s leteckým a stavebním inženýrstvím. Vývoj začal v polovině-1950 s papíry Turner, Clough, Martin, a Topp , Argyris , a Babuska a Aziz ., Knihy Zienkiewicz a Strang a Fix také položily základy pro budoucí vývoj v FEM.

zajímavý přehled těchto historických událostí najdete v Odenu . Přehled vývoje FEM za posledních 75 let lze nalézt v tomto článku blogu: 75 let metody konečných prvků.

Technické FEM Technický Přehled Metody Konečných Prvků

metoda Konečných prvků je samo o sobě semestr kurzu. V tomto článku je popsán stručný popis mechanismu FEM. Zvažte jednoduchý problém 1-D, který zobrazuje různé fáze zapojené do FEA.,

slabá forma

jedním z prvních kroků v FEM je identifikace PDE spojené s fyzickým jevem. PDE (nebo diferenciální forma) je známá jako silná forma a integrální forma je známá jako slabá forma. Zvažte jednoduchou PDE, jak je uvedeno níže. Rovnice se vynásobí zkušební funkcí v (x) na obou stranách a je integrována s doménou .,

Nyní, s použitím integrace částí, LHS z výše uvedené rovnice může být snížena na

Jak je vidět, pořadí kontinuitu potřebné pro neznámou funkci u(x) je snížena o jedna. Dřívější diferenciální rovnice vyžadovala u(x), aby byla diferencovatelná alespoň dvakrát, zatímco integrální rovnice vyžaduje, aby byla diferencovatelná pouze jednou., Totéž platí pro vícerozměrné funkce, ale deriváty jsou nahrazeny gradienty a divergencí.

Aniž by jít do matematiky, Riesz zastoupení věta může dokázat, že tam je unikátní řešení pro u(x) pro integrální a proto diferenciální forma. Kromě toho, pokud je F(x) hladký, zajišťuje také, že u(x) je hladký.

diskretizace

po nastavení integrální nebo slabé formy je dalším krokem diskretizace slabé formy., Integrální forma musí být řešena číselně, a proto je integrace převedena na součet, který lze vypočítat číselně. Kromě toho je jedním z primárních cílů diskretizace také převést integrální formu na sadu maticových rovnic, které lze vyřešit pomocí známých teorií maticové algebry.

, Jak je znázorněno na Obr., 03, doména je rozdělena na malé kousky známé jako „prvky“ a rohový bod každého prvku je známý jako „uzel“. Neznámé funkční U (x) se počítají v uzlových bodech. Interpolační funkce jsou definovány pro každý prvek, který má interpolovat, pro hodnoty uvnitř prvku, pomocí uzlových hodnot. Tyto interpolační funkce jsou také často označovány jako funkce tvaru nebo ansatz., Tak neznámého funkční u(x) může být snížena na

kde nen je počet uzlů v prvku, Ni a ui jsou interpolace funkcí a neznámých spojené s uzlem i, resp., forma může být přepsáno jako

součet systémů může být přeměněn na produkty matrix a může být přepsáno jako

slabá forma může být nyní snížena na formě matice {u} = {f}

Všimněte si výše, že dříve trial funkce v(x) to byl násobí neexistuje už ve výsledné maticové rovnici., Také zde je známá jako matice tuhosti, {u} je vektor uzlových neznámých a {R} je zbytkový vektor. Dále, pomocí numerické integrace systémů, jako Gauss nebo Newton-Cotes kvadratury, integrace ve slabé formě, která tvoří tečnou tuhost a reziduální vektor jsou také snadno manipulovat.

mnoho matematiky se podílí na rozhodování o výběru interpolačních funkcí, které vyžadují znalost funkčních prostorů (jako jsou Hilbert a Sobolev). Pro více informací v tomto ohledu jsou odkazy uvedené v článku “ Jak se mohu naučit analýzu konečných prvků?,“jsou doporučovány.

řešitelé

po vytvoření maticových rovnic jsou rovnice předány řešiteli k vyřešení systému rovnic. V závislosti na typu problému se obvykle používají přímé nebo iterační řešiče. Podrobnější přehled řešitelů a jejich fungování, stejně jako tipy, jak si vybrat mezi nimi, jsou k dispozici v článku blogu „Jak vybrat řešitele: přímé nebo iterativní?,“

Druhy FEM Různé Typy Konečných Prvků, Metoda

Jak již bylo uvedeno dříve, tradiční FEM technologie prokázala nedostatky v modelování problémů týkajících se mechaniky tekutin a šíření vln. V poslední době bylo provedeno několik vylepšení s cílem zlepšit proces řešení a rozšířit použitelnost analýzy konečných prvků na širokou škálu problémů., Některé z důležitých, které se stále používají, zahrnují: metoda

Extended Finite Element Method (XFEM)

metoda Bubnov-Galerkin vyžaduje kontinuitu posunu napříč prvky. Přestože problémy, jako je kontakt, zlomenina a poškození, zahrnují diskontinuity a skoky, které nelze přímo řešit metodou konečných prvků. K překonání tohoto nedostatku, XFEM se narodil v roce 1990. XFEM funguje prostřednictvím rozšíření tvar funkce s Heavisideovy funkce krok. Extra stupně volnosti jsou přiřazeny k uzlům kolem bodu diskontinuity, takže lze uvažovat o skocích.,

Zobecněná Metoda Konečných Prvků (GFEM)

GFEM byl představen kolem stejného času jako XFEM v 90. letech. To kombinuje funkce tradiční FEM a meshless methods. Funkce tvaru jsou primárně definovány globálními souřadnicemi a dále vynásobeny rozdělením jednoty pro vytvoření místních funkcí elementárního tvaru. Jednou z výhod GFEM je prevence opětovného záběru kolem singularit.

metoda smíšených konečných prvků

v několika problémech, jako je kontakt nebo nestlačitelnost, jsou omezení uložena pomocí Lagrangeových multiplikátorů., Tyto další stupně volnosti vyplývající z Lagrangeových multiplikátorů jsou řešeny nezávisle. Systém rovnic je řešen jako spřažený systém rovnic.

hp-Metoda Konečných Prvků

hp-FEM je kombinace automatické zjemnění (h-zjemnění) a zvýšení řádu polynomu (p-upřesnění). To není totéž jako dělat h – a p-vylepšení odděleně. Když se používá automatické zdokonalování hp a prvek je rozdělen na menší prvky (h-refinement), každý prvek může mít také různé polynomiální příkazy.,

Nespojitá Galerkinova Metoda Konečných Prvků (DG-FEM)

DG-FEM ukázaly významný příslib pro využití nápad konečných prvků k řešení hyperbolické rovnice, kde tradiční metody konečných prvků byly slabé. Kromě toho také prokázala zlepšení v ohybu a nestlačitelných problémech, které jsou obvykle pozorovány ve většině materiálových procesů. Zde se do slabé formy přidávají další omezení, která zahrnují parametr penalizace (aby se zabránilo interpenetraci) a podmínky pro další rovnováhu napětí mezi prvky.,

závěr FEM

doufáme, že tento článek se zabýval odpověďmi na vaše nejdůležitější otázky týkající se metody konečných prvků. Pokud byste to chtěli vidět v praxi, SimScale nabízí možnost provádět analýzy konečných prvků ve webovém prohlížeči. Chcete-li objevit všechny funkce poskytované simscale cloud-based simulation platform, stáhněte si tento přehled nebo Sledujte záznam jednoho z našich webinářů.

materiály pro začátek SimScale naleznete v článku blogu „9 Learning Resources, abyste mohli začít s inženýrskou simulací“.,