život a čísla Fibonacci

Fibonacci je jedním z nejznámějších jmen v matematice. To by bylo překvapením pro Leonarda Pisana, matematika, kterého nyní známe pod tímto jménem. A mohl být stejně překvapen, že byl zvěčněn ve slavné sekvenci– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – spíše než za to, co je považováno za jeho mnohem větší matematický úspěch-pomáhá popularizovat náš moderní systém čísel v latinsky mluvícím světě.,

Římská říše opustila Evropu římským číselným systémem, který se mimo jiné nachází v autorských právech po filmech a televizních pořadech (2013 je MMXIII). Římské číslice byly notdisplaced až do poloviny 13. Století našeho letopočtu, a Leonardo Pisano knihu Liber Abaci (což znamená „Knihy Výpočtů“), byl jedním z prvních Západních knih, popsat jejich případné výměně.

Leonardo Pisano se narodil pozdě v dvanáctém století v Pisa, Itálie: Pisano v italské uvedeno, že byl z Pisy, stejným způsobem Mancunian znamená, že jsem z Manchesteru. Jeho otec byl obchodník jménem Guglielmo Bonaccio a právě kvůli jménu svého otce se Leonardo Pisano stal známým jako Fibonacci. Staletí později, whenscholars studovali ručně psané kopie Liber Počítadla(jak to bylo zveřejněno, než byl vynalezen tisk), theymisinterpreted část titulu – „filius Bonacci“, což znamená „sonof Bonaccio“ – jak jeho příjmení, a Fibonacci se narodil.,

Fibonacci (jak mu budeme volat) strávil své dětství v NorthAfrica, kde byl jeho otec celníkem. Byl vzdělaný theMoors a hojně cestoval v Berberských (Alžírsko), a později byl senton obchodní cesty do Egypta, Sýrie, Řecka, Sicílie a Provence.V roce 1200 se vrátil do Pisy a použít znalosti, které získal na cestách psát Liber Počítadla (publikoval v roce 1202), v němž uvedl latinsky mluvícího světa do desítkové číselné soustavy. První kapitola části 1 začíná:

“ toto je devět čísel Indiánů: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., S těmito devíti čísly a tímto znakem 0, který se v arabštině nazývá zephirum, lze napsat libovolné číslo, jak bude prokázáno.“

Itálie byla v té době tvořena malými nezávislými městy a regiony, což vedlo k použití mnoha druhů závaží a peněžních systémů. Obchodníci museli převést z jednoho na druhého, kdykoli obchodovali mezi těmito systémy., Fibonacciho napsal Liber Počítadla pro tyto obchodníky, naplněný praktickými problémy a pracoval příklady demonstrují, jak jednoduše komerční andmathematical výpočty by se dalo udělat s tímto novým číslem systemcompared do nepraktický Římské číslice. Vliv Fibonacciho knihy jakozačátek šíření desetinných čísel byl jeho největšímatematický úspěch. Fibonacci je však lépe zapamatovánurčitou posloupnost čísel, která se objevila jako příklad v LiberAbaci.,

problém s králíky

Jeden z matematických problémů Fibonacciho zkoumány v Liber Počítadla byl o tom, jak rychle se králíci mohli chovat v ideálních podmínkách.Předpokládejme, že nově narozený pár králíků, jeden muž, jedna žena, jsou umístěny v poli. Králíci se mohou pářit ve věku jednoho měsíce, takže na konci druhého měsíce může samice produkovat další pár králíků., Předpokládejme, že naši králíci nikdy nezemřou a že žena vždy produkuje jeden nový pár (jeden muž, jedna žena) každý měsíc od druhého měsíce. Hádanka, kterou Fibonacci představoval, byla… Kolik párů bude za jeden rok?

• na konci prvního měsíce se páří, ale stále existuje pouze 1 pár.
• na konci druhého měsíce samice produkuje nový pár, takže nyní existují 2 páry králíků.
• na konci třetího měsíce vytvoří původní žena druhý pár, čímž vytvoří celkem 3 páry.,
• Na konci čtvrtého měsíce, původní samice má producedyet další nový pár, samice se narodil před dvěma měsíci produkoval její první dvojice se také, takže 5 párů.

nyní si představte ,že po párech králíků po měsících. Počet párů v měsíci (v tomto problém, králíci nikdy zemřít), plus počet nových párů narodil. Nové páry se však rodí pouze párům starším nejméně 1 měsíc, takže budou existovat nové páry., Takže máme

což je prostě pravidlo pro generování Fibonacciho čísel: přidat poslední dva získat další. V návaznosti na to zjistíte, že po 12 měsících (nebo 1 roce) bude 233 párů králíků.

včely jsou lepší

problém králíka je zjevně velmi vymyšlený, ale Fibonacciho sekvence se vyskytuje v reálných populacích. Příkladem jsou včely., V kolonii včel je jedna zvláštní žena zvaná královna. Ostatní samice jsou dělnické včely, které na rozdíl od včel královny neprodukují žádná vejce. Samci včely nedělají žádnou práci a jsou nazývány drone včely.

samci jsou produkováni neplodnými vejci královny, takže samčí včely mají pouze matku, ale žádný otec. Všechny ženy jsou produkovány, když se královna spářila s mužem, a tak mají dva rodiče., Samice obvykle skončí jako dělnice, ale některé jsou krmena speciální látky zvané royal jelly, který dělá jim růst do queens připraven odejít založit novou kolonii, když včely tvoří roj a opustit svůj domov (úl) a hledat místo, kde vybudovat nové hnízdo. Takže samice včely mají dva rodiče, samec a samice, zatímco samci včely mají jen jeden rodič, samice.

podívejme se na rodokmen samčího drone bee.

má 1 rodiče, ženu.
má 2 prarodiče, protože jeho matka měla dva rodiče, muže a ženu.,
má 3 praprarodiče: jeho babička měla dva rodiče, ale jeho dědeček měl jen jednoho.
kolik praprarodičů měl?,“>

Číslo rodiče prarodiče –
prarodiče pra-pra-
prarodiče pra-pra-pra-
prarodiče MUŽSKÉHO bee 1 2 3 5 8 SAMICE, včelí 2 3 5 8 13

Spirálami a mušlí

Včelí populace nejsou to jediné místo v přírodě, kde Fibonacciho čísla se vyskytují, také se objeví v krásných tvarů mušlí., Chcete-li to vidět, pojďme vytvořit obrázek začínající dvěmalé čtverce o velikosti 1 vedle sebe. Na obou stranách je čtverec velikosti 2 (=1+1). Nyní můžeme nakreslit nové náměstí –dotýká jak jeden z jednotkových čtverců a poslední čtverec o straně 2 – sohaving strany 3 jednotky dlouho, a pak další, dojemné i 2-squareand 3-náměstí (který má strany 5 jednotek). Můžeme pokračovat v přidávání obrázků, každý nový čtverec má stranu, která je stejně dlouhá jako součet posledních dvou čtvercových stran., Tato množina obdélníků, jejichž strany jsou dvě po sobě jdoucí Fibonacciho čísla v délcea které se skládají ze čtverců se stranami, které jsou Fibonaccinumbers, budeme nazývat Fibonacci obdélníky.

Pokud nyní nakreslíme čtvrtinu kruhu na každém čtverci,můžeme se vybudovat jako spirála. Spirála není pravda, matematická spirála (protože je tvořen offragments, které jsou součástí kruhů a nejde o gettingsmaller a menší), ale je to dobrý přiblížení k jakéspirál, který se objeví často v přírodě., Takové spirály (nazývané logaritmické spirály) jsou vidět vtvar skořápek hlemýžďů a mořských skořápek. Na obrázku níže o průřezu nautilus shell ukazuje spirála křivka z pláště a vnitřních komor, které zvíře použití dodává natak roste. Komory poskytují vztlak ve vodě.

čísla Fibonacci se také objevují v rostlinách a květinách. Someplants větev tak, že mají vždy Fibonacciho rostoucí počet bodů. Květy mají často Fibonacciho počet okvětních lístků, sedmikrásky mohou mít 34, 55 nebo dokonce až 89 okvětních lístků!,

obzvláště krásný vzhled Fibonacciho čísel je vspirály semen v hlavě osiva. Až příště uvidíte slunečnici, podívejte se na uspořádání semen v jejím středu. Zdá se, že se točí směrem ven jak doleva, tak doprava.

Na okraji této fotografie slunečnice, pokud jste počítat ty křivky semena spirálovitě do leftas jdete ven, tam jsou 55 spirál., Ve stejném bodě je 34 spirál semen spirálovitě vpravo.Trochu dále směrem ke středu a můžete počítat 34 spirál vlevo a 21 spirál vpravo. Dvojice čísel (countingspirals zakřivení doleva a obloukem vpravo) jsou (téměř vždy) sousedy v theFibonacci série.

totéž se děje v mnoha semenných a květinových hlavách v přírodě., Důvodem se zdá být, že toto ujednání tvoří optimální balení semen tak, že, bez ohledu na to, jak velké semeno hlavy, které jsou jednotně zabalené v jakékoli fázi, všechny semena jsou stejnou velikost, žádná tlačenice ve středu a ne příliš řídké na okrajích.

zdá se, že příroda používá stejný vzor k uspořádání okvětních lístků kolem okraje květiny a k umístěnílisty kolem stonku. A co víc, všechny tyto udržují jejichneúčinnost, protože rostlina stále roste a to je hodně, co se zeptat na proces asingle! Jak tedy rostliny rostou, aby si udržely tuto optimalitu designu?,

Zlatý růst

botanici ukázali, že rostliny rostou z jediné malé skupiny buněk přímo na špičce jakékoli rostoucí rostliny, nazývané meristem. Na konci každé větve nebo větvičky je samostatný meristem, kde se vytvářejí nové buňky. Jakmile se vytvoří, rostou ve velikosti, ale nové buňky se tvoří pouze v takových rostoucích místech. Buňky dříve dolů stonku expandovat, a tak rostoucí bod stoupá.Také tyto buňky rostou spirálovitě: je to, jako by se meristem otočil o úhel, vytvořil novou buňku, znovu se otočil stejným úhlem, vytvořil novou buňku a tak dále., Tyto buňky se pak mohou stát semenem, novým listem, novou větvičkou nebo třeba na květu se stanou okvětními lístky a tyčinkami.

úžasná věc je, že jediný pevný úhel otáčení může produkovat optimální design bez ohledu na to, jak velká rostlina roste., Zásada, že jeden úhel vytváří jednotné balení bez ohledu na to, jak moc růst se objeví podezření již v minulém století, ale pouze matematicky prokázáno v roce 1993 Stéphane Douady a Yves Couder, dvou francouzských matematiků. Takže 0.618 otočit, než produkovat nové osivo (nebo list, okvětní lístek, atd.) producesthe optimální balení semen bez ohledu na velikost semen hlavy. Ale odkud pochází toto magické číslo 0.618?,

zlatý poměr

Pokud vezmeme poměr dvou po sobě jdoucích čísel Fibonacciho řady,rozdělení každé číslo před tím, než jsme se našli následující řadu čísel:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Pokud si do grafu tyto hodnoty uvidíte, že se zdá být sklon k limitu, který wecall zlatý poměr (také známý jako goldennumber a zlatý řez).

To má hodnotu ( přibližně 1.618034) a je často zastoupen řeckým písmenem Fí, psaný jako . Úzce související hodnota, kterou píšeme jako , malá písmena phi, je jen desetinná část Phi, konkrétně 0.618034… (), číslo, které představuje spirály v seedheads a uspořádání listů v mnoha rostlinách. Ale proč vidíme phi v tolika rostlinách?

číslo Phi (1.618034…), a tedy i phi (0,618034…,), jsou iracionální čísla: nemohou být psány jako jednoduchý zlomek. Podívejme se, co by se stalo, kdyby se meristem v hlavě semen místo toho otočil o nějaké jednodušší číslo, například zlomek 1/2. Po dvou zatáčkách přes polovinu kruhu jsme se vrátili tam, kde bylo vyrobeno první semeno. V průběhu času, otočením o půl otáčky mezi semeny by produkovat osivo hlavy s dvou zbraní vyzařující z centrálního bodu, takže spousta nevyužitého místa.

semeno hlavy produkován 0.,5=1/2 otáčky mezi semeny: alternativní semena seřadí.

semeno hlavy produkován 0.48=12/25 otáček mezi semena: semena tvoří dva otočné ruce.

semeno hlavy produkován 0.6=3/5 otáček mezi semena: semena tvoří 5 rovné paže.,

Něco podobného se děje pro jiné jednoduché zlomek obrátit: semena rostou ve spirálních ramen, které nechat hodně prostoru mezi nimi (počet zbraní je jmenovatel zlomku). Takže nejlepší hodnota pro otočení mezi semeny bude iracionální číslo. Ale ne jen tak ledajaké iracionální číslo. Například se zdá, že hlava osiva vytvořená s PI obraty na semeno má sedm spirálovitých ramen semen., Je to proto, že 22/7 je velmi dobrá racionální aproximace pi.

to, co je potřeba, aby nedošlo k plýtvání prostorem, je iracionální číslo, které není dobře aproximováno racionálním číslem. A ukázalo se, že Phi (1.618034…) a jeho desetinná část phi (0.618034…) jsou „nejvíce iracionální“ ze všech iracionálních čísel. (Můžete zjistit, proč v chaosu v number land: tajný život pokračujících zlomků.) To je důvod, proč obrat Phi dává optimální balení semen a listů v rostlinách., Vysvětluje také, proč se Fibonacciho čísla objevují v uspořádání listů a jako počet spirál v seedheads. Sousední čísla Fibonacci dávají nejlepší aproximace zlatého poměru. Střídají se v tom, že jsou jmenovatelem aproximací, a definují Počet nebo spirály, jak se semenné hlavy zvětšují.

jak tolik rostlin objevilo toto krásné a užitečné číslo, Phi?Samozřejmě ne z řešení matematiky jako Fibonacci., Místo weassume, že, stejně jako poměr po sobě jdoucích Fibonacciho numberseventually usadí na zlatý poměr, evoluce postupně se usadil na správné číslo. Dědictví Leonarda Pisana, aka Fibonacciho, leží v srdci každé květiny, stejně jako v srdci našeho číselného systému.

další čtení

Pokud se vám tento článek líbil, můžete navštívit Fibonacciho čísla a zlatou sekci.

tomto článku

Tento článek je založen na materiálu, napsal Dr. R., Knott, který byl dříve přednášejícím na Katedře výpočetních studií na University of Surrey. Knott začal webové stránky na Fibonacciho Čísel a Zlatého řezu zpět v roce 1996 jako experiment na používání webu, aby inspirovat a podporovat více matematických výzkumy jak uvnitř, tak i mimo školu. Od té doby se rozrostla A nyní pokrývá mnoho dalších předmětů, vše s interaktivními prvky a online kalkulačkami. Ačkoli nyní odešel do důchodu, Knott stále udržuje a rozšiřuje webové stránky., V současné době je hostujícím kolegou na University of Surrey a přednáší po celé zemi školám, univerzitám, konferencím a matematickým společnostem. Má také rád chůzi, matematické rekreace, pěstování věcí k jídlu a vaření.