Beer-Lambert la.

Antag, at en lysstråle kommer ind i en materialeprøve. Definer z som en akse parallelt med strålens retning. Opdel materialeprøven i tynde skiver, vinkelret på lysstrålen, med tykkelse d.tilstrækkelig lille til, at en partikel i en skive ikke kan skjule en anden partikel i den samme skive, når den ses langs direction-retningen., Den strålende Flu .af lyset, der fremkommer fra en skive, reduceres sammenlignet med det lys, der indtastes, ved dee ( = ) = −μ (()ee ()) D., hvor μ er ( Napierian) dæmpningskoefficient, som giver følgende første ordens lineære ODE:

d e E (.) d. = -((.) e E (.). det er en god id., at du har brug for at vide, hvad du skal gøre.}

dæmpningen skyldes fotonerne, der ikke kom til den anden side af skiven på grund af spredning eller absorption.,lution til denne differential ligning, der fås ved at multiplicere den integrerende faktor

e ∫ 0 z μ ( z ‘) d z ‘{\displaystyle e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z”}}

det hele for at få

d Φ e ( z ) d z e ∫ 0 z μ ( z ‘) d z ‘ + μ ( z ) Φ e ( z ) e ∫ 0 z μ ( z ‘) d z ‘= 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Phi _{\mathrm {e} }(z)}{\mathrm {d} z}}\e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}+\mu (z) – \Phi _{\mathrm {e} }(z)\,e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z’}=0,}

som forenkler skyldes, at produktet regel (anvendt baglæns) for at

d d z ( Φ e ( z ) e ∫ 0 z μ ( z ‘) d z ‘ ) = 0., {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}{\bigl (}\Phi _{\mathrm {e} }(z)\e^{\int _{0}^{z}\mu (z’)\mathrm {d} z”} {\bigr )}=0.}

at Integrere begge sider, og en løsning for Φe for et materiale af fast tykkelse g ar, med hændelsen radiant flux på skive Φei = Φe(0) og overføres radiant flux Φet = Φe(g ar ) giver

Φ e t = Φ e i e − ∫ 0 g ar μ ( z ) d z , {\displaystyle \Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }=\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {jeg} } \e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z},}

og endelig

T = Φ e t Φ e = e − ∫ 0 g ar μ ( z ) d z ., {\displaystyle T={\frac {\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {t} }}{\Phi _{\mathrm {e} }^{\mathrm {jeg} }}}=e^{-\int _{0}^{\ell }\mu (z)\mathrm {d} z}.}

Siden decadic dæmpning koefficient μ10 er relateret til (Napierian) dæmpning koefficient af μ10 = μ/ln 10, én har også

T = e − ∫ 0 g ar ln ⁡ 10 μ 10 ( z ) d z = ( e − ∫ 0 g ar μ 10 ( z ) d z ) ln ⁡ 10 = 10 − ∫ 0 g ar μ 10 ( z ) d z . {\displaystyle T=e^{-\int _{0}^{\ell }\ln {10}\,\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}={\bigl (}e^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}{\bigr )}^{\ln {10}}=10^{-\int _{0}^{\ell }\mu _{10}(z)\mathrm {d} z}.,}

for at beskrive dæmpningskoefficienten på en måde uafhængig af antallet af tætheder ni af de n dæmpende arter af materialeprøven introducerer man dæmpningstværsnittet =i = µi (()/ni (.). σi har dimensionen af et område; det udtrykker sandsynligheden for interaktion mellem strålens partikler og partiklerne af specie i i materialeprøven:

t = e−. i = 1 N i i 0 0 n n i (.) d.. {\displaystyle T=e^{-\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}\int _{0}^{\ell }n_{jeg}(z)\mathrm {d} z}.,}

Man kan også bruge den molære dæmpning koefficienter ei = (NA/ln 10)σi, hvor NA er Avogadros konstant, til at beskrive den dæmpning koefficient på en måde, der er uafhængig af mængden koncentrationer ci(z) = ni(z)/NA af formildende arter af materiale prøve:

T = e − ∑ i = 1 N ln ⁡ 10 N A ε jeg ∫ 0 g ar n i ( z ) d z = ( e − ∑ i = 1 N ε jeg ∫ 0 g ar n i ( z ) N A d z ) ln ⁡ 10 = 10 − ∑ i = 1 N ε jeg ∫ 0 g ar k ( z ) d z ., {\displaystyle {\begin{justeret}T=e^{-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\ln {10}}{\mathrm {N_{A}} }}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }n_{jeg}(z)\mathrm {d} z}=\\{\Bigl (}e^{-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }{\frac {n_{jeg}(z)}{\mathrm {N_{A}} }}\mathrm {d} z}{\Bigr )}^{\ln {10}}=10^{-\sum _{i=1}^{N}\varepsilon _{i}\int _{0}^{\ell }c_{jeg}(z)\mathrm {d} z}.\ end{aligned}}}

ovenstående antagelse om, at dæmpningstværsnittene er additive, er generelt ukorrekt, da elektromagnetisk kobling forekommer, hvis afstandene mellem de absorberende enheder er små.,

udledningen af absorbansens koncentrationsafhængighed er baseret på elektromagnetisk teori. Derfor, den makroskopiske polarisering af et medium P {\displaystyle P} stammer fra mikroskopiske dipol øjeblikke p {\displaystyle p} i mangel af interaktion i henhold til

P = N p {\displaystyle P=N – \ s\ }

hvor p {\displaystyle p} er dipol øjeblik, og N {\displaystyle N} antallet af lydabsorberende enheder per enhed volumen., På den anden side, makroskopiske polarisering er givet ved:

P = ( ε r − 1 ) ⋅ ε 0 ⋅ E {\displaystyle P=(\varepsilon _{r}-1)\cdot \varepsilon _{0}\cdot E}

Her ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} repræsenterer den relative dielektriske funktion, ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} vakuum permittivity og E {\displaystyle E} det elektriske felt.,_{r}=1+k{\frac {N_{En}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}}) ^ n = 1 + c N A ⋅ ε α 0 {\displaystyle {\hat {n}}={\sqrt {1+c{\frac {N_{En}\cdot \alpha }{\varepsilon _{0}}}}}} k = k N A ⋅ α ” 2 ε 0 {\displaystyle k=k{\frac {N_{En}\cdot \alpha “}{2\varepsilon _{0}}}} A = 2 π ( log 10 ⁡ e ) N A α ” λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\log _{10}e)N_{En}\alpha “}{\lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}

Som en konsekvens, den lineær sammenhæng mellem koncentration og absorbans er generelt en tilnærmelse, og har især kun for små polarisabilities og svage absorption, jeg.,e. oscillator styrker.,oduce tilnærmelse √ ( 1 + x ) ≈ 1 + x / 2 {\displaystyle \surd (1+x)\ca 1+x/2} , og ansætter i stedet følgende forhold mellem den imaginære del af den relative dielektriske funktion og indeks for refraktion og absorption ε r ” = 2 n k {\displaystyle \varepsilon _{r}”=2nk} det kan ses, at den molære dæmpning koefficient, der afhænger af indekset for refraktion (som selv er en koncentration afhængig):

A = 2 π ( log 10 ⁡ e ) N A α ” n ⋅ λ ⋅ ε 0 ⋅ c ⋅ d {\displaystyle A={\frac {2\pi (\log _{10}e)N_{En}\alpha “}{n\cdot \lambda \cdot \varepsilon _{0}}}\cdot c\cdot d}