Vis Mobilmeddelelse Vis alle noter Skjul alle noter
Afsnit 3-5 : Derivater af Trigonometriske Funktioner
Med dette afsnit vil vi begynde at kigge på de derivater af andre funktioner end polynomier eller rødder i polynomier. Vi starter denne proces ved at se på derivaterne af de seks trig-funktioner. To af derivaterne vil blive afledt. De resterende fire er overladt til dig og vil følge lignende beviser for de to givet her.
før vi faktisk kommer ind i derivaterne af trig-funktionerne, er vi nødt til at give et par grænser, der vises i afledningen af to af derivaterne.,
fakta
se afsnittet Proof of Trig Limits i kapitlet ekstra for at se beviset for disse to grænser.
før du fortsætter en hurtig note. Studerende spørger ofte, hvorfor vi altid bruger radianer i en Calculus klasse. Dette er grunden til! Beviset for formlen involverer sinus ovenfor kræver vinkler for at være i radianer. Hvis vinklerne er i grader, er grænsen, der involverer sinus, ikke 1, og så vil de formler, vi vil udlede nedenfor, også ændre sig. Formlerne nedenfor ville hente en ekstra konstant, der bare ville komme i vejen for vores arbejde, og så bruger vi radianer for at undgå det., Så husk altid at bruge radianer i en Calculus klasse!
før vi begynder at differentiere trig-funktioner, lad os arbejde et hurtigt sæt grænseproblemer, som denne kendsgerning nu tillader os at gøre.
Okay, nu hvor vi har fået dette sæt grænseeksempler ud af vejen, lad os komme tilbage til hovedpunktet i dette afsnit og differentiere trig-funktioner.
Vi starter med at finde derivatet af sinusfunktionen. For at gøre dette skal vi bruge definitionen af derivatet. Det er et stykke tid siden, vi har været nødt til at bruge dette, men nogle gange er der bare ikke noget, vi kan gøre ved det., Her er definitionen af derivatet for sinusfunktionen.
\
da vi ikke bare kan tilslutte \(h = 0\) for at evaluere grænsen, bliver vi nødt til at bruge følgende trig-formel på den første sinus i tælleren.
\
at gøre dette giver os,
\
som du kan se ved at bruge trig-formlen, kan vi kombinere det første og tredje udtryk og derefter faktor en sinus ud af det. Vi kan derefter opdele fraktionen i to stykker, som begge kan behandles separat.
\
på dette tidspunkt er alt, hvad vi skal gøre, at bruge grænserne i faktum ovenfor for at afslutte dette problem.,
\
differentiering af cosinus sker på en lignende måde. Det vil kræve en anden trig formel, men bortset fra det er et næsten identisk bevis. Detaljerne vil blive overladt til dig. Når du er færdig med beviset, skal du få,
\
med disse to ude af vejen er de resterende fire ret enkle at få. Alle de resterende fire trig-funktioner kan defineres med hensyn til sinus og cosinus, og disse definitioner sammen med passende afledte regler kan bruges til at få deres derivater.
lad os tage et kig på tangent., Tangent er defineret som,
\
nu hvor vi har derivaterne af sinus og cosinus, er alt, hvad vi skal gøre, at bruge kvotientreglen herom. Lad os gøre det.
\ \
de resterende tre trig-funktioner er også kvotienter, der involverer sinus og / eller cosinus, og kan derfor differentieres på en lignende måde. Vi overlader detaljerne til dig. Her er derivaterne af alle seks af trig-funktionerne.
derivater af de seks trig-funktioner
På dette tidspunkt bør vi arbejde nogle eksempler.
som et sidste problem her lad os ikke glemme, at vi stadig har vores standardfortolkninger til derivater.,
i dette afsnit så vi, hvordan man differentierer trig-funktioner. Vi så også i det sidste eksempel, at vores fortolkninger af derivatet stadig er gyldige, så vi ikke kan glemme dem.
det er også vigtigt, at vi kan løse trig-ligninger, da dette er noget, der vil opstå og tændes i dette kursus. Det er også vigtigt, at vi kan gøre de slags talelinjer, som vi brugte i det sidste eksempel til at bestemme, hvor en funktion er positiv, og hvor en funktion er negativ. Det er noget, vi vil gøre lejlighedsvis i både dette kapitel og det næste.
Skriv et svar