Finite Element Method – Hvad er det? FEM og FEA forklaret

finite element method (FEM) er en numerisk teknik, der bruges til at udføre finite element analysis (FEA) af et givet fysisk fænomen.

det er nødvendigt at bruge matematik til omfattende at forstå og kvantificere eventuelle fysiske fænomener, såsom strukturel eller væskeadfærd, termisk transport, bølgeudbredelse og væksten af biologiske celler. De fleste af disse processer er beskrevet ved hjælp af partielle differentialligninger (PDE ‘ er)., Men for en computer til at løse disse PDEs, numeriske teknikker er blevet udviklet over de sidste par årtier, og en af de mest fremtrædende i dag er det finite element metoden.,

Finite Element Metode Programmer af Finite Element Metode

Finite element metode i gang med betydelige løfte i modellering af flere mekaniske applikationer, der er relateret til rumfart og civil engineering. Anvendelserne af finite element-metoden begynder først nu at nå deres potentiale., En af de mest spændende udsigter, er dens anvendelse i koblet problemer såsom fluid-strukturinteraktion, thermomecha nical, termokemiske, thermo-kemo-mekaniske problemer, biomekanik, biomedicinsk teknik, piezoelektriske, ferroelectric, og elektromagnetisme.

der har været mange alternative metoder foreslået i de seneste årtier, men deres kommercielle anvendelighed er endnu ikke bevist. Kort sagt, FEM har netop lavet et blip på radaren!

før du starter med differentialligningerne, er det vigtigt at læse artiklen om FEA-soft .are i Sim .iki., Det begynder med det grundlæggende og udvikler sig gradvist til differentialligningerne.

FEM Ligninger Partielle differentialligninger

for det Første, er det vigtigt at forstå de forskellige genre af PDEs og deres egnethed til brug med FEM. Forståelse af dette er især vigtigt for alle, uanset motivationen til at bruge finite element analyse. Det er vigtigt at huske, at FEM er et værktøj, og ethvert værktøj er kun så godt som dets bruger.PDE ‘ er kan kategoriseres som elliptisk, hyperbolsk og parabolsk., Ved løsning af disse differentialligninger skal der tilvejebringes grænse og/eller indledende betingelser. Baseret på typen af PDE kan de nødvendige input evalueres. Eksempler på PDE ‘ er i hver kategori omfatter Poisson ligning (elliptisk), bølge ligning (hyperbolsk), og Fourier lov (parabolic).

Der er to hovedmetoder til løsning af elliptiske PDE ‘ er, nemlig finite difference methods (FDM) og variational (eller energy) methods. FEM falder ind i den anden kategori. Variationelle tilgange er primært baseret på filosofien om minimering af energi.,

hyperbolske PDE ‘ er er ofte forbundet med spring i opløsninger. For eksempel er bølgeligningen en hyperbolsk PDE. På grund af eksistensen af diskontinuiteter (eller spring) i løsninger blev den originale FEM-teknologi (eller Bubnov-Galerkin-metoden) antaget at være uegnet til løsning af hyperbolske PDE ‘ er. I årenes løb er der imidlertid udviklet ændringer for at udvide anvendeligheden af FEM-teknologi.

før afslutningen af denne diskussion er det nødvendigt at overveje konsekvensen af at bruge en numerisk ramme, der er uegnet til typen af PDE., En sådan anvendelse fører til løsninger, der er kendt som ” forkert stillet.”Dette kan betyde, at små ændringer i domæneparametrene fører til store svingninger i løsningerne, eller at løsningerne kun findes i en bestemt del af domænet eller tiden, som ikke er pålidelige. Velformulerede forklaringer defineres som dem, hvor der løbende findes en unik løsning for de definerede data. I betragtning af pålideligheden er det derfor ekstremt vigtigt at opnå godt stillede løsninger.,

Download vores ” gode råd til Arkitektur -, Ingeniør – & Konstruktion (AEC), ” hvidbog for at lære at optimere dine designs!

FEM princip om minimering af energi

hvordan fungerer FEM? Hvad er den primære drivkraft? Princippet om minimering af energi danner den primære rygrad i den endelige elementmetode. Med andre ord, når en bestemt grænsetilstand anvendes på et legeme, kan dette føre til flere konfigurationer, men alligevel er kun en bestemt konfiguration realistisk mulig eller opnået., Selv når simuleringen udføres flere gange, samme resultater sejre. Hvorfor er det sådan?

Dette er styret af princippet om minimering af energi. Det hedder, at når en grænsetilstand (som forskydning eller kraft) anvendes, af de mange mulige konfigurationer, som kroppen kan tage, er kun den konfiguration, hvor den samlede energi er minimal, den, der vælges.,

Finite Element Method History of the Finite Element Method

teknisk set kan FEM, afhængigt af ens perspektiv, siges at have haft sin oprindelse i Eulers arbejde allerede i det 16.århundrede. Men de tidligste matematiske papirer om FEM kan findes i værker af Schellback og Courant .

FEM blev uafhængigt udviklet af ingeniører til at løse strukturelle mekanikproblemer relateret til rumfart og civilingeniør. Udviklingen begyndte i midten af 1950 ‘ erne med papirer Turner, Clough, Martin, og Topp , Argyris , og Babuska og A .i.., Bøgerne af Strienkie .ic.og Strang, Og Fi. lagde også grundlaget for den fremtidige udvikling i FEM.

en interessant gennemgang af disse historiske udviklinger kan findes i Oden . En gennemgang af FEM-udviklingen i de sidste 75 år kan findes i denne blogartikel: 75 Years of the Finite Element Method.

teknisk FEM teknisk oversigt over Finite Element Method

Finite element method er i sig selv et semester kursus. I denne artikel beskrives en kortfattet beskrivelse af FEM-mekanismen. Overvej et simpelt 1-D-problem for at skildre de forskellige stadier, der er involveret i fea.,

svag Form

et af de første trin i FEM er at identificere den PDE, der er forbundet med det fysiske fænomen. PDE (eller differentialform) er kendt som den stærke form, og den integrerede form er kendt som den svage form. Overvej den enkle PDE som vist nedenfor. Ligningen ganges med en prøvefunktion V ()) på begge sider og integreres med domænet .,

Nu, ved hjælp af integration af dele, LHS af ovenstående ligning kan være reduceret til

Som det kan ses, at den rækkefølge af kontinuitet, der kræves for den ukendte funktion u(x) er reduceret med en. Den tidligere differentialligning krævede, at u (.) skal differentieres mindst to gange, mens den integrerede ligning kræver, at den kun kan differentieres .n gang., Det samme gælder for multidimensionelle funktioner, men derivaterne erstattes af gradienter og divergens.

uden at gå ind i matematikken kan Ries.representation theorem bevise, at der er en unik løsning for u (() for integralet og dermed differentialformen. Hvis f (.) desuden er glat, sikrer det også, at u (.) er glat.

diskretisering

når den integrerede eller svage form er konfigureret, er det næste trin diskretisering af den svage form., Den integrerede form skal løses numerisk og dermed integrationen konverteres til en summation, der kan beregnes numerisk. Derudover er et af de primære mål med diskretisering også at konvertere den integrerede form til et sæt Matri equligninger, der kan løses ved hjælp af velkendte teorier om Matri .algebra.

Som vist i Fig., 03, er domænet opdelt i små stykker kendt som “elementer”, og hjørnepunktet for hvert element er kendt som en “node”. Den ukendte funktionelle u ()) beregnes ved knudepunkterne. Interpolationsfunktioner er defineret for hvert element at interpolere, for værdier inde i elementet, ved hjælp af nodalværdier. Disse interpolationsfunktioner kaldes også ofte form-eller ansat. – funktioner., Således ukendt funktionelle u(x) kan være reduceret til

hvor ns er antallet af knuder i det element, Ni og ui er interpolation funktion og ubekendte, der er forbundet med knude ved jeg, hhv., form kan skrives som

summation ordninger, der kan omdannes til matrix produkter, og kan skrives som

Den svage form kan nu reduceres til en matrix-formen {u} = {f}

Bemærk ovenfor, at den tidligere retssag funktion v(x) der havde været ganget eksisterer ikke længere i den resulterende matrix ligning., Også her er kendt som stivhed Matri., {u} er vektoren af nodal ukendte, og {R} er den resterende vektor. Yderligere på, ved hjælp af numerisk integration ordninger, som Gauss eller Newton-Cotes kvadratur, integrationer i den svage form, der danner tangent stivhed og residual vektor er også håndteres nemt.

en masse matematik er involveret i beslutningen om at vælge interpolationsfunktioner, hvilket kræver viden om funktionelle rum (som Hilbert og Sobolev). For flere detaljer i denne henseende, referencerne i artiklen ” Hvordan kan jeg lære Finite Element analyse?,”anbefales.

Solvers

Når Matri equligningerne er blevet etableret, overføres ligningerne til en solver for at løse ligningssystemet. Afhængigt af typen af problem anvendes direkte eller iterative løsere generelt. En mere detaljeret oversigt over løserne, og hvordan de fungerer, samt tip til, hvordan man vælger mellem dem, findes i blogartiklen “Sådan vælger du løsere: direkte eller iterativ?,”

Typer af FEM Forskellige Typer af Finite Element Metode

Som tidligere nævnt, traditionelle FEM-teknologi har påvist mangler i modellering af problemer relateret til fluid mekanik og bølgeudbredelse. Der er for nylig foretaget flere forbedringer for at forbedre løsningsprocessen og udvide anvendeligheden af finite element-analyse til en lang række problemer., Nogle af de vigtige, der stadig bruges, inkluderer:

e .tended Finite Element Method (.fem)

Bubnov-Galerkin-metoden kræver kontinuitet i forskydning på tværs af elementer. Selvom problemer som kontakt, brud og skader involverer diskontinuiteter og spring, der ikke direkte kan håndteres af finite element-metoden. For at overvinde denne mangel blev wasfem født i 1990 ‘ erne. .fem arbejder gennem udvidelsen af formfunktionerne med Heaviside step-funktioner. Ekstra frihedsgrader tildeles knuderne omkring diskontinuitetspunktet, så hoppene kan overvejes.,

Generaliseret Finite Element Metoden (GFEM)

GFEM blev indført omkring samme tid som XFEM i 90’erne. Det kombinerer funktioner fra den traditionelle FEM og meshless metoder. Formfunktioner defineres primært af de globale koordinater og multipliceres yderligere med partition-of-unity for at skabe lokale elementære formfunktioner. En af fordelene ved GFEM er forebyggelsen af re-meshing omkring singulariteter.

mi .ed Finite Element Method

i flere problemer, som kontakt eller inkompressibilitet, pålægges begrænsninger ved hjælp af Lagrange-multiplikatorer., Disse ekstra frihedsgrader som følge af Lagrange-multiplikatorer løses uafhængigt. Systemet af ligninger er løst som et koblet system af ligninger.

hp-Finite Element Method

hp-FEM er en kombination af automatiske mesh raffinement (h-forfinelse) og en stigning i orden polynomium (p-refinement). Dette er ikke det samme som at gøre h – og p – forbedringer separat. Når der anvendes automatisk hp-raffinement, og et element er opdelt i mindre elementer (h-raffinement), kan hvert element også have forskellige polynomiske ordrer.,

diskontinuerlig Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM har vist et betydeligt løfte om at udnytte ideen om endelige elementer til at løse hyperbolske ligninger, hvor traditionelle finite element metoder har været svage. Derudover har det også vist forbedringer i bøjning og inkomprimerbare problemer, som typisk observeres i de fleste materialeprocesser. Her tilføjes yderligere begrænsninger til den svage form, der indeholder en straffeparameter (for at forhindre interpenetration) og vilkår for anden ligevægt af spændinger mellem elementerne.,

FEM konklusion

Vi håber, at denne artikel har dækket svarene på dine vigtigste spørgsmål vedrørende, hvad der er den endelige elementmetode. Hvis du gerne vil se det i praksis, tilbyder SimScale muligheden for at udføre finite element-analyser i webebbro .seren. At opdage alle de funktioner, der leveres af SimScale cloud-baseret simulation platform, skal du hente denne oversigt eller se optagelsen af en af vores webinarer.materialer til at komme i gang med SimScale kan findes i bloggen artiklen “9 læringsressourcer til at komme i gang med Engineering Simulation”.,