Fourier-analyse (Dansk)

(Kontinuerlig), Fourier transformEdit

de Fleste ofte ukvalificerede sigt fouriertransformation vedrører transformeringen af funktioner af en kontinuerlig real argument, og det giver en kontinuert funktion af frekvens, der er kendt som en frekvens fordeling. En funktion er omdannet til en anden, og operationen er reversibel., Når domænet af input (indledende) funktion er tid (t), og domænet for output (endelig) funktion er almindelige frekvens, forvandle af funktionen s(t) ved frekvensen f er givet ved de komplekse tal:

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}

evaluering af denne mængde for alle værdier af f producerer frekvensdomænefunktionen., Så er s(t) kan repræsenteres som en rekombination af komplekse exponentials af alle mulige frekvenser:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e-i 2 π f t d f {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}

, som er den inverse omdanne formel. Det komplekse tal, s (f), formidler både amplitude og fase af frekvens f.,

Se fouriertransformation for meget mere oplysninger, herunder:

• konventioner for amplitude normalisering og frekvens skalering/enheder
• transform-egenskaber
• tabuleret forvandler specifikke funktioner
• forlængelse/generalisering for funktioner af flere dimensioner, såsom billeder.,

Fourier seriesEdit

Den Fourier-transformation af en periodisk funktion, sP(t), med perioden P, bliver en Dirac kam-funktion, moduleret af en sekvens af komplekse koefficienter:

S = 1 P ∫ S s S ( t ) ⋅ e − i 2 π k S t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{S}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\i \mathbb {Z} ,} (hvor ∫P er integralet over et interval af længde P).,

De omvendte forvandle, kendt som Fourier-serien, er en repræsentation af so(t) i form af en sammenlægning af et potentielt uendeligt antal harmonisk forbindelse sinusoids eller komplekse eksponentielle funktioner, hver med en amplitude og fase, der er specificeret af en af koefficienterne:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k, S ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e-i 2 π k S t . {\displaystyle s_{S}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

Nogen sP(t) kan udtrykkes som en periodisk summation af en anden funktion, s(t):

s S ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m-P ) , {\displaystyle s_{S}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

og de koefficienter, der er proportional med prøver af S( f ) i diskrete intervaller på 1/P:

S = 1 S ⋅ S ( k S ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot s \ venstre ({\frac {k}{P}}\højre).}

Bemærk, at enhver s (t), hvis transformation har de samme diskrete prøveværdier, kan bruges i den periodiske summation. En tilstrækkelig betingelse for at genvinde s(t) (og derfor S( F )) fra netop disse prøver (dvs., fra Fourier-serien) er, at den ikke-nul del af s(t) være begrænset til en kendt interval af varighed P, hvilket er den frekvens-domæne dobbelte af Nyquist–Shannon sampling theorem.

se Fourier-serien for mere information, herunder den historiske udvikling.

Discrete-time Fourier transform (DTFT)Edit

DTFT er den matematiske dobbelte af den tid-domæne Fourier-serien.,e-koefficienter er prøver af en kontinuert funktion af tiden:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ Fourier-serien (DTFT) ⏟ Poisson sumformlen = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier-serien (DTFT)}}} _{\text{Poisson sumformlen}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

der er kendt som DTFT., Således DTFT af S sekvens er også Fourier transformation af moduleret Dirac kam funktion.

Fourier-serien koefficienter (og omvendt transform), er defineret ved:

s ≜ T ∫ 1 T S 1 T ( f ) ⋅ e-i 2 π f a n T i d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e-i 2 π f a n T i d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

Parameter t svarer til samplingsintervallet, og denne Fourier-serie kan nu genkendes som en form for Poisson-summeringsformlen. Således har vi det vigtige resultat, at når en diskret data sekvens, s, er proportional med prøver af en underliggende kontinuerlig funktion, s(t), kan man iagttage en periodisk summation af kontinuert fouriertransformation, S( f ). Bemærk, at enhver s (t ) med de samme diskrete prøveværdier producerer den samme DTFT, men under visse idealiserede forhold kan man teoretisk genvinde s( F) og S(t) nøjagtigt., En tilstrækkelig betingelse for perfekt genopretning er, at ikke-nul-delen af s (f) begrænses til et kendt frekvensinterval på Bredde 1/T. Når dette interval er , er den gældende genopbygningsformel formulahittaker–Shannon interpolationsformlen. Dette er en hjørnesten i grundlaget for digital signalbehandling.

en anden grund til at være interesseret i S1 / t( f ) er, at det ofte giver indsigt i mængden af aliasing forårsaget af prøveudtagningsprocessen.

anvendelser af DTFT er ikke begrænset til samplede funktioner.,ing (finite-længde sekvenser)

transform-egenskaber

tabuleret forvandler specifikke funktioner

Diskret fouriertransformation (DFT)Edit

der Ligner en Fourier-serien, DTFT af en regelmæssig sekvens, sN, med periode N, bliver en Dirac kam-funktion, moduleret af en sekvens af komplekse koefficienter (se DTFT § Periodiske data):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N n , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\i \mathbb {Z} ,} (hvor ∑n er summen over en sekvens af længde N).,

S-sekvensen er det, der sædvanligvis er kendt som DFT af en cyklus af sN. Det er også n-periodisk, så det er aldrig nødvendigt at beregne mere end N koefficienter. Den inverse transformere, også kendt som en diskret Fourier-serien, er givet ved:

s N = 1 N ∑ k S ⋅ e-i 2 π n N k {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},} hvor ∑k er summen over en sekvens af længde N.,

Når sN udtrykt som en periodisk summation af en anden funktion:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s}, og s ≜ s ( n, T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT),}

de koefficienter, der er proportional med prøver af S1/T( f ) i diskrete intervaller på 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ R 1 T ( k S ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).,}

omvendt, når man ønsker at beregne et vilkårligt antal (n) diskrete prøver af en cyklus af en kontinuerlig DTFT, S1/t( f ), kan det gøres ved at beregne den relativt enkle DFT af sN, som defineret ovenfor. I de fleste tilfælde er n valgt lig med længden af ikke-nul del af s. stigende N, kendt som nul-polstring eller interpolation, resulterer i mere tæt adskilte prøver af en cyklus af S1/T( f ). Faldende N forårsager overlapning (tilføjelse) i tidsdomænet (analogt med aliasing), hvilket svarer til decimering i frekvensdomænet., (se DTFT Sampling prøveudtagning af DTFT) i de fleste tilfælde af praktisk interesse repræsenterer s-sekvensen en længere sekvens, der blev afkortet ved anvendelse af en vinduesfunktion med begrænset længde eller FIR-filterarray.

DFT kan beregnes ved hjælp af en fast Fourier transform (FFT) algoritme, hvilket gør det til en praktisk og vigtig transformation på computere.,

Se Diskrete Fourier-transformation for meget mere oplysninger, herunder:

• transform-egenskaber
• programmer
• tabuleret forvandler specifikke funktioner

SummaryEdit

For periodiske funktioner, både fouriertransformation og DTFT omfatter kun et diskret sæt af frekvens komponenter (Fourier-serien), og den forvandler sig forskelligt på disse frekvenser. En almindelig praksis (ikke diskuteret ovenfor) er at håndtere denne divergens via Dirac delta og Dirac kam funktioner., Men den samme spektrale information kan skelnes fra kun en cyklus af den periodiske funktion, da alle de andre cyklusser er identiske. Tilsvarende, finite-varighed funktioner kan repræsenteres som en Fourier-serie, uden faktiske tab af information, bortset fra at periodiciteten af den inverse transformation er en ren artefakt.

det er almindeligt i praksis for varigheden af s(•) at være begrænset til perioden, P eller N. Men disse formler kræver ikke denne betingelse.,

Symmetriegenskaberrediger

når de virkelige og imaginære dele af en kompleks funktion nedbrydes til deres lige og ulige dele, er der fire komponenter, betegnet nedenfor af abonnementerne RE, RO, IE og IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Omvendt indebærer en jævn symmetrisk transformation et real-værdsat tidsdomæne.
• transformationen af en imaginær værdsat funktion (i sIE+ i sIO) er den ulige symmetriske funktion SRO+ i SIE, og det omvendte er sandt.
• transformationen af en jævn symmetrisk funktion (sRE+ i sIO) er den virkelige værdsatte funktion SRE+ SRO, og det omvendte er sandt.
• transformationen af en ulige-symmetrisk funktion (sRO+ i sIE) er den imaginære værdsatte funktion i SIE+ i SIO, og det omvendte er sandt.,

Fourier-transformeringer på vilkårlig lokalt kompakt abelian topologiske groupsEdit

Fourier-varianter kan også generaliseres til Fourier-transformeringer på vilkårlig lokalt kompakt Abelian topologiske grupper, som er undersøgt i harmonisk analyse; der, fouriertransformation tager funktioner på en gruppe for at funktioner på det dual-gruppen. Denne behandling tillader også en generel formulering af foldningsteoremet, der vedrører Fourier-transformationer og konvolutioner. Se også Pontryagin dualitet for den generelle grundlag for Fourier transformere.,

mere specifik, Fourier-analyse kan udføres på cosets, endda diskrete cosets.

Tid–frekvens transformsEdit

I signalbehandling udtryk, en funktion (på tid) er en repræsentation af et signal med perfekt løsning, men ingen frekvens oplysninger, mens den Fourier-transformation er perfekte frekvens opløsning, men ingen oplysninger om tid.,

som alternativer til Fourier–transformationen bruger man i tidsfrekvensanalyse tidsfrekvenstransformationer til at repræsentere signaler i en form, der har nogen tidsinformation og nogle frekvensinformation–ved usikkerhedsprincippet er der en afvejning mellem disse., Disse kan være generaliseringer af Fourier-transformation, som på kort tid Fourier-transformere, Gabor omdanne eller fraktioneret Fourier transform (FRFT), eller du kan anvende forskellige funktioner til at repræsentere signaler, som i wavelet transformerer og chirplet omdanner med wavelet analog af (kontinuerlig) fouriertransformation bliver løbende wavelet transform.