Gamma funktion

GeneralEdit

Andre vigtige funktionelle ligninger for gamma-funktionen er Euler ‘ s overvejelser formel

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π synd ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

hvilket indebærer

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

og de Legendre dobbeltarbejde formel

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \ Gamma ())\Gamma \ venstre (left + {\tfrac {1}{2}}\højre)=2^{1-2.}\; {\s .rt {\pi }}\;\Gamma (2.).}

duplikationsformlen er et specielt tilfælde af multiplikationssætningen (se, e.. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m-1 2 m z Γ ( m, z ) . {\displaystyle \ prod _{k=0}^{m-1} \ Gamma \ venstre (left + {\frac {k}{m}} \ højre)=(2\pi) ^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-m.}\;\Gamma (m.).}

en simpel men nyttig egenskab, som kan ses fra grænsedefinitionen, er:

Γ (() = Γ ()) ⇒ Γ ()) Γ ()) R R ., {\displaystyle {\overlinier {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overlinier {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overlinier {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{justeret}}}

Måske er den bedst kendte værdi af gamma-funktionen på en non-integer argument er,

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2, n ) !, 4 n n ! π = (2 n-1)! ! 2 n = = (n – 1 2 n) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! (2 n)! π = ( − 2 ) n ( 2, n − 1 ) ! ! π = ((- 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{justeret}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\s !rt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!,}} \ end{aligned}}}

derivaterne af gamma-funktionen er beskrevet i form af polygamma-funktionen. For eksempel:

Γ ‘ (() = Γ ( 0 ) 0 0 (0 ) . {\displaystyle \ Gamma ‘ (()=\Gamma (\) \ psi _{0} (.).}

For et positivt heltal m derivat af gamma-funktionen kan beregnes som følger (her γ {\displaystyle \gamma } er Euler–Mascheroni konstanten):

Γ ‘ ( m + 1 ) = m ! − – γ + k k = 1 m 1 k). {\displaystyle \Gamma ‘(m+1)=m!\venstre (- \gamma + \ sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\højre)\,.,}

For ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} th derivat af gamma-funktionen er:

d n u x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(dette kan afledes ved at differentiere den integrerede form for gamma-funktionen med hensyn til {{\displaystyle}} og ved hjælp af differentieringsteknikken under integraltegnet.)

Ved hjælp af identiteten

Γ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n n ! 1 n n n i i = 1 r! ((A i ) k i! a A I i (((): = {{(() 1 1 1 γ = = 1 {\displaystyle \ Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \grænser _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{f}{\frac {\zeta ^{*}(a_{jeg})}{k_{jeg}!,\cdot a_{jeg}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}} π = a 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 termer + ⋯ + r + ⋯ + r ⏟ k r vilkår , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ form}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ form}}},}

vi har i særdeleshed

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z-3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\højre)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}

uligheder

når det er begrænset til de positive reelle tal, er gamma-funktionen en strengt logaritmisk konveks funktion., Denne ejendom kan være angivet i en af følgende tre ækvivalente måder:

• For to positive reelle tal x 1 {\displaystyle x_{1}} og x 2 {\displaystyle x_{2}} , og for alle t ∈ {\displaystyle t\i } ,

Γ ( t, x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x-1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• for to positive reelle tal x og y med y >.,

( Γ ( Y ) Γ (.)) 1 y−. > e .p ((Γ ‘ (() Γ (.))., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• for ethvert positivt reelt tal {{\displaystyle}},

Γ ” (() Γ (.) > Γ ‘ (() 2. {\displaystyle \ Gamma “(\)\Gamma (.)> \ Gamma ‘(.)^{2}.} Γ (a 1 1 1 + ⋯ + a N .N A 1 + + + a n) ((Γ ( 1 1 ) A 1 Γ Γ (. N ) A n ) 1 A 1 + ⋯ + a n., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

Der er også grænser for forhold mellem gamma-funktioner. Den bedst kendte er gautschis ulighed, der siger, at for ethvert positivt reelt tal and og ethvert s and (0, 1),

1 1 − s < Γ (++1) Γ (++s) < (. + 1) 1 − s., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirling ‘ s formulaEdit

adfærd Γ ( z), {\displaystyle \Gamma (z)} for en stigende positiv variabel er enkel. Det vokser hurtigt, hurtigere end en eksponentiel funktion faktisk., Asymptotisk som z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} omfanget af gamma funktion er givet ved Stirling ‘ s formel

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z, e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

en Anden nyttig grænse for asymptotiske tilnærmede værdier er:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)^n{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

adfærden for ikke-positiv {{\displaystyle}} er mere indviklet., Eulers integral konvergerer ikke for 0 0 0 {\displaystyle 0\le.0} , men den funktion, den definerer i det positive komplekse halvplan, har en unik analytisk fortsættelse til det negative halvplan. En måde at finde ud af, at analytisk fortsættelse er at bruge Eulers integralet af positive argumenter og udvide domænet til negative tal ved gentagen anvendelse af gentagelse formel,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , k ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \ operatorname {Res} (f,c)=\lim _{to\til c} (.-c)f (.).}

for den enkle pol = = – n, {\displaystyle= = – n,} omskriver vi gentagelsesformlen som:

(++n ) Γ (.) = Γ (++n + 1). (. + 1) ⋯ (. + n − 1). {\displaystyle (++n)\Gamma (.)={\frac {\Gamma (++n+1)} {. (1 + 1)\cdots (. + n-1)}}.}

tælleren ved = = – n, {\displaystyle= = -n,} er

Γ (++n + 1 ) = Γ (1) = 1 {\displaystyle \ Gamma (++n + 1)=\Gamma (1)=1}

og nævneren

and (++1) and (++n − 1) = − n ( 1 − n) ⋯ (n − 1 − n) = (−1) n n ! ., {\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

så resterne af gamma-funktionen på disse punkter er:

Res Res ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

gamma-funktionen har lokalt minimum i zmin ≈ +1.46163214496836234126 (afkortet), hvor det opnår værdien Γ(zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (afkortet)., Gamma-funktionen skal skifte tegn mellem polerne, fordi produktet i den fremadrettede gentagelse indeholder et ulige antal negative faktorer, hvis antallet af poler mellem {{\displaystyle and} og. + n {\displaystyle.+n} er ulige, og et lige tal, hvis antallet af poler er lige.

Integrale repræsentationeredit

Der er mange formler, udover Euler-integralet af den anden art, der udtrykker gamma-funktionen som en integreret. For eksempel, når den reelle del af positive er positiv,

Γ (() = 0 0 1 (log ⁡ 1 t). − 1 d t., {\displaystyle \ Gamma (Gamma)=\int _{0}^{1}\venstre (\log {\frac {1}{t}}\højre)^{- – 1}\, dt.}

Binets første integrerede formel for gamma-funktionen angiver, at når den reelle del af gamma er positiv, så:

log ⁡ Γ (() = (1-1 2 ) log ⁡ + – + + 1 2 log ⁡ (2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e T − 1 ) e − T z T d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}

integralet på højre side kan fortolkes som en Laplace-transformation., Det vil sige,

log ((Γ (() (e)) 2 2 π)) = L ( 1 2 T − 1 t 2 + 1 t ( e T − 1)) (.). {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

Binets anden integrerede formel angiver, at igen når den reelle del af positive er positiv, så:

log ⁡ Γ (() = (1-1 2) log ⁡ − − + + 1 2 log + (2)) + 2 0 0 0 arctan ⁡ (t/.) e 2 π T-1 d t., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Lad C være en Hankel kontur, hvilket betyder, at en vej, der begynder og slutter på det punkt ∞ på Riemann kuglen, hvis enheden tangent vektor konvergerer mod -1 i starten af stien og 1 på udgangen, som har snoede nummer 1 omkring 0, og der ikke krydser

Γ ( z ) = − 1 2 i synd ⁡ π z ∫ C (t ) z − 1 e − t d t {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2\synd \pi z}}\int _{C} (t)^{z-1}e^{-t}\,dt} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C (t ) − z-e − t-u-t {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {jeg}{2\pi }}\int _{C} (t)^{-z}e^{-t}\,dt}

igen gyldigt, når z er et vilkårligt heltal.,olie har følgende Fourier serie ekspansion for 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ synd ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n synd ⁡ ( 2 π n, z ) , {\displaystyle \da \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\da \pi -{\frac {1}{2}}\da \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

der var for lang tid tilskrives Ernst Kummer, der stammer det i 1847., Iaroslav Blagouchine opdagede imidlertid, at Carl Johan Malmsten først afledte denne serie i 1842.

raabes formeldit

i 1840 viste Joseph lud .ig Raabe , at

a a a + 1 ln Γ Γ (() d = =1 2 ln 2 2. + a ln = a − a, a> 0. {\displaystyle \int _{a}^{a+1}\da \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad a>0.}

især hvis A = 0 {\displaystyle A=0} derefter

0 0 1 ln Γ Γ (() d = = 1 2 ln 2 2.. {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \ Gamma (.)\, d.={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi.,}

sidstnævnte kan udledes ved at tage logaritmen i ovenstående multiplikationsformel, hvilket giver et udtryk for Riemann-summen af integranden. Tager grænsen for en Displ {{\displaystyle a \ rightarro. \ infty } giver formlen.,

Pi functionEdit

En alternativ notation, som oprindeligt blev indført af Gauss, og der var nogle gange, der anvendes, er Π {\displaystyle \Pi } -funktion, som i form af gamma-funktionen

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt}

så, at Π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n)=n!} for hvert ikke-negativt heltal n {\displaystyle n} .,

ved Hjælp af pi-funktion refleksion formel, der tager form

Π ( z ) Π ( − z ) = π z synd ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z), {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

hvor sinc er normaliseret sinc funktion, mens den sætning multiplikation tager form

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

Vi finder også nogle gange

π (() = 1 ((.), {\displaystyle \pi (pi)={\frac {1}{\Pi (.)}}\,}

volumenet af en n-ellipsoid med radier r1,…, rn kan udtrykkes som

V n ( r 1 , … , r n ) = n n 2 ((n 2 ) ∏ K = 1 n r k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

forhold til andre funktioneredit

• i det første integral ovenfor, som definerer gamma-funktionen, er integrationsgrænserne faste., De øvre og nedre ufuldstændige gamma-funktioner er de funktioner, der opnås ved at lade den nedre eller øvre (henholdsvis) grænse for integration variere.
• gamma-funktionen er relateret til beta-funktionen ved formlen

b (,, y) = 0 0 1 t. − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ (.) Γ ( Y ) Γ (. + y). {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• det logaritmiske derivat af gamma-funktionen kaldes digamma-funktionen; højere derivater er polygamma-funktionerne.,
• analogen af gamma-funktionen over et begrænset felt eller en begrænset ring er de gaussiske summer, en type eksponentiel sum.
• den gensidige gamma-funktion er en hel funktion og er blevet undersøgt som et specifikt emne.
• gamma-funktionen vises også i et vigtigt forhold til Riemann functioneta-funktionen, {(() {\displaystyle \.eta (.)}.

π-2 2 Γ (2 2) ((.) = π − 1 − 2 2 Γ ( 1 − 2 2) ((1−.)., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Det fremgår også af følgende formel: 0 ()) Γ (() = =0 0 u 1 e u − 1 d u u , {\displaystyle \etaeta (\)\Gamma ( Gamma)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{}}} {e^{u} -1}}\, {\frac {du} {u}}}, som kun gælder for ((() > 1 {\displaystyle \re (>1}., Logaritmen af gamma funktion opfylder følgende formel på grund af Lerch: log ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‘( 0 , x ) − ζ ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),} hvor ζ H {\displaystyle \zeta _{H}} er Hurwitz zeta-funktion, ζ {\displaystyle \zeta } er Riemann zeta-funktionen, og det primære (‘) angiver differentiering i første variabel.

• gamma-funktionen er relateret til den strakte eksponentielle funktion. For eksempel er øjeblikke af denne funktion

0 n n 0 0 0 d t t n-1 e – (t)) β = n n β γ ( N β)., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}

særlige værdierediger

inklusive op til de første 20 cifre efter decimaltegnet er nogle særlige værdier for gamma-funktionen:

Γ (- 3 2 ) = 4 3 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ (- 1 2) = – 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ (1 2) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ (1) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

Den komplekse-værdi gamma-funktionen er udefineret for ikke-positive heltal, men i disse tilfælde kan værdien være defineret i Riemann kuglen som ∞. Den gensidige gamma-funktion er veldefineret og analytisk ved disse værdier (og i hele det komplekse plan):

1 Γ ( − 3) = 1 Γ ( − 2) = 1 Γ ( − 1) = 1 Γ ( 0) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}