Implicit funktion

i beregningen bruger en metode kaldet implicit Differentiering kædereglen til at differentiere implicit definerede funktioner.

for at differentiere en implicit funktion y ()), defineret af en ligning R (,, y) = 0, er det generelt ikke muligt at løse det eksplicit for y og derefter differentiere. I stedet kan man helt differentiere R (,, y) = 0 med hensyn til and og y og derefter løse den resulterende lineære ligning for dy/d.for eksplicit at få derivatet med hensyn til. og y., Selv når det er muligt eksplicit at løse den oprindelige ligning, er formlen som følge af total differentiering generelt meget enklere og lettere at bruge.

e .amplesedit

eksempel 1. Overvej

y + 5 + 5 = 0 . {\displaystyle y+5+5=0\,.}

denne ligning er let at løse for y, hvilket giver

y = − 5 − 5 , {\displaystyle y=-5-5\,,}

hvor højre side er den eksplicitte form for funktionen y (.). Differentiering giver derefter dy / d. = -1.

Alternativt kan man helt differentiere den oprindelige ligning:

d y d + + d .d. + d d ((5 ) = 0 ; d y d. + 1 + 0 = 0., {\displaystyle {\begin{justeret}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}}

løsning for dy/D.giver

d y d = = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{d.}} = -1\,,}

det samme svar som tidligere opnået.eksempel 2. Et eksempel på en implicit funktion, for hvilken implicit Differentiering er lettere end at bruge eksplicit differentiering, er funktionen y (.) defineret af ligningen

4 4 + 2 y 2 = 8. {\displaystyle {^{4} + 2y^{2}=8\,.,}

for At differentiere dette eksplicit med hensyn til x, man har første til at få

y ( x ) = ± 8 − x 4 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

og derefter differentiere denne funktion. Dette skaber to derivater: en for y ≥ 0 og en anden for y < 0.

det er væsentligt lettere at implicit differentiere den oprindelige ligning:

4 4 3 + 4 y d y d = =0 , {\displaystyle 4.^{3}+4y{\frac {dy}{d.}} = 0\,,}

giver

d y d = = − 4. 3 4 y=−. 3 y. {\displaystyle {\frac {dy}{d.}}={\frac {-4.^{3}}{4y}}=-{\frac {^^{3}}{y}}\,.}

eksempel 3., Ofte er det vanskeligt eller umuligt at løse eksplicit for y, og implicit Differentiering er den eneste mulige differentieringsmetode. Et eksempel er ligningen

y 5 − y=.. {\displaystyle y^{5} – y=\\,.}

det er umuligt at algebraisk udtrykke y eksplicit som en funktion af x, og derfor kan man ikke finde dy/d.ved eksplicit differentiering. Ved hjælp af den implicitte metode kan dy/D.opnås ved at differentiere ligningen for at opnå

5 y 4 d y d − -d y d = =d d d,, {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{d.}} – {\frac {dy}{d.}} = {\frac {d.} {d.}}\,,}

hvor d./d. = 1., Factoring ud dy/dx viser, at

( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}

som giver det resultat

d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}

der er defineret for

y ≠ ± 1 5 4 og y ≠ ± 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{og}}\quad y\neq \pm {\frac {jeg}{\sqrt{5}}}\,.}

generel formel for derivat af implicit functionEdit

Hvis R (,, y) = 0, er derivatet af den implicitte funktion y (.) givet ved: 11 11.,5

d y d x = − ∂ F ∂ x ∂ F ∂ y = − R x R y {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial F}{\partial x}}\,}{\frac {\partial F}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}

hvor Rx og Ry, angiver den partielle afledede af F med hensyn til x og y.,

ovenstående formel kommer fra ved hjælp af den generelle kæde regel at få den samlede afledte med hensyn til x — på begge sider af F(x, y) = 0:

∂ F ∂ x d x d x + ∂ F ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

derfor

∂ F ∂ x + ∂ F ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

, som, når de har løst for dy/dx, giver udtryk ovenfor.