Groft sagt en differentiable kurve er en kurve, der er defineret som værende lokalt billedet af en injective differentiable funktion γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon jeg\rightarrow X} fra et interval i, af de reelle tal i en differentiable manifold X, ofte R n . det er en god id..}
Mere præcist, en differentiable kurve er en delmængde C af X, hvor hvert punkt C har et kvarter U sådan, at C ∩ U {\displaystyle C\cap U} er diffeomorphic til et interval på den reelle tal., Med andre ord, en differentiable kurve er en differentiable manifold af dimension one.
længde på en kurvedit
længden af en kurve er uafhængig af parametrizationation γ {\displaystyle \ gamma } .
S = a a B 1 + 2 d.. {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Længde ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t ) , γ ( t − 1 ) ) | n ∈ N og a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Længde} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{jeg}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{og}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} Længde ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \ operatorname {Længde} \!,\venstre (\gamma |_{} \ højre)=t_{2} – t_{1}.} Hastighed γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t u ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | (s − t | {\displaystyle {\operatorname {Hastighed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}
og derefter vise, at
Længde ( γ ) = ∫ a b Hastighed γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Længde} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Hastighed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.,}
Differential geometryEdit
Mens den første eksempler på kurver, der er opfyldt, er for det meste plane kurver (det er i dagligdags ord, buede linjer i to-dimensionelle rum), der er indlysende eksempler som helix, der findes naturligt i tre dimensioner. Behovet for geometri, og også for eksempel klassisk mekanik er at have en opfattelse af kurve i rummet af et vilkårligt antal dimensioner. Generelt relativitet er en verdenslinje en kurve i rumtiden.,hvis Displ {\displaystyle}} er en differentierbar manifold, kan vi definere begrebet differentierbar kurve i {{\displaystyle.}. Denne generelle id.er nok til at dække mange af de anvendelser af kurver i matematik. Fra et lokalt synspunkt kan man tage {{\displaystyle}} at være euklidisk rum. På den anden side er det nyttigt at være mere generel, idet det (for eksempel) er muligt at definere tangentvektorerne til {{\displaystyle.} ved hjælp af denne opfattelse af kurve.,hvis Displ {\displaystyle}} er en glat manifold, er en glat kurve i {{\displaystyle}} et glat kort
γ : i. {{\displaystyle \gamma \colon i\rightarro..}. en differentierbar kurve siges at være regelmæssig, hvis dens derivat aldrig forsvinder. (Med ord går en regelmæssig kurve aldrig til et stop eller backtracks på sig selv.,) To C k {\displaystyle C^{k}} differentiable kurver
γ 1 : i → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon jeg\rightarrow X} og γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}
siges at være ækvivalente, hvis der er en bijective C k {\displaystyle C^{k}} kort
s : J → I {\displaystyle s\colon J\rightarrow jeg}
sådan, at den inverse kort
− 1 : i → J {\displaystyle p^{-1}\colon jeg\rightarrow J}
er også at k {\displaystyle C^{k}} , og
γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}
Skriv et svar