Fibonacci er et af de mest berømte navne i matematik. Dette ville komme som en overraskelse for Leonardo Pisano, matematiker vi nu kender ved dette navn. Og han kunne have været lige så overrasket over, at han er blevet udødeliggjort i den berømte rækkefølge– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – snarere end for, hvad der anses for hans langt større matematiske præstation – at bidrage til at popularisere vores moderne talesystem i Latin-talende verden.,
Romerriget forlod Europa med det romerske talesystem, som vi stadig ser bl.a. i meddelelserne om ophavsret efter film og TV-programmer (2013 er MM .iii). De Romertal var notdisplaced indtil midten af det 13 Århundrede E.KR., og Leonardo Pisano bog Liber Abaci (hvilket betyder “Bog Beregninger”), var en af de første Vestlige bøger til at beskrive en eventuel erstatning.
Leonardo Fibonacci c1175-1250.,Leonardo Pisano blev født sent i det tolvte århundrede i Pisa, Italien: Pisano på italiensk indikerede, at han var fra Pisa, på samme måde som Mancunian indikerer, at jeg er fra Manchester. Hans far var en købmand kaldet Guglielmo Bonaccio og det er på grund af hans fars navn, at Leonardo Pisano blev kendt som Fibonacci. Århundreder senere, hvornårkolarer studerede de håndskrevne kopier af Liber Abaci (som det blev offentliggjort før trykning blev opfundet), theymfortolket en del af titlen – “filius Bonacci”, der betyder “sonof Bonaccio” – som hans efternavn, og Fibonacci blev født.,
Fibonacci (som vi fortsætter med at kalde ham) tilbragte sin barndom i NorthAfrica, hvor hans far var toldembedsmand. Han blev uddannet ved theMoors og rejste meget i Barbary (Algeriet), og blev senere senton business-rejser til Egypten, Syrien, Grækenland, Sicilien og Provence.I 1200 han vendte tilbage til Pisa og brugte den viden, han havde fået onhis rejser til at skrive Liber Abaci (offentliggjort i 1202), hvor han præsenterede de latinsk-talende verden til decimal-tal systemet. Det første kapitel i del 1 begynder:
“Dette er indianernes ni figurer: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Med disse ni figurer, og med dette tegn 0, som på arabisk kaldesephephirum, kan ethvert tal skrives, som det vil blive demonstreret.”
Italien på det tidspunkt bestod af små uafhængige byer og regioner, og dette førte til brug af mange slags vægte og pengesystemer. Købmænd måtte konvertere fra den ene til den anden, når de handlede mellem disse systemer., Fibonacci skrev Liber Abaci for disse købmænd, fyldt med praktiske problemer og arbejdede eksempler på, hvordan blot kommercielle andmathematical beregninger kunne gøres med denne nye nummer systemcompared med uhåndterlige romertal. Virkningen af Fibonacci ‘ s bog sombegyndelsen af spredningen af decimaltal var hans størstematematiske præstation. Fibonacci er dog bedre husket foren bestemt sekvens af tal, der optrådte som et eksempel i LiberAbaci.,
En side af Fibonacci ‘ s Liber Abaci fra Biblioteca Nazionale di Firenze, der viser Fibonacci-sekvens (i boksen til højre).”
problemet med kaniner
et af de matematiske problemer Fibonacci undersøgt i Liber Abaci handlede om, hvor hurtigt kaniner kunne opdrætte under ideelle omstændigheder.Antag, at et nyfødt par kaniner, en mand, en kvinde, sættes i et felt. Kaniner er i stand til at parre sig i en alder af en måned, så i slutningen af sin anden måned kan en kvinde producere et andet par kaniner., Antag, at vores kaniner aldrig dør, og at kvinden altid producerer et nyt par (en mand, en kvinde) hver måned fra den anden måned. Det puslespil, som Fibonacci udgjorde, var… Hvor mange par vil der være om et år?
- i slutningen af den første måned parrer de sig, men der er stadig kun 1 par.
- i slutningen af den anden måned producerer kvinden et nyt par, så nu er der 2 par kaniner.
- i slutningen af den tredje måned producerer den oprindelige kvinde et andet par, hvilket gør 3 par i alt.,
- i slutningen af den fjerde måned har den oprindelige kvinde produceretmen endnu et nyt par, den kvindelige født for to måneder siden producerede hendeførste par også, hvilket gør 5 par.forestil dig nu, at der er par kaniner efter måneder. Antallet af par i måneden vil være (i dette problem dør kaniner aldrig) plus antallet af nye par født. Men nye par er kun født til par mindst 1 måned gamle, så der vil være nye par., Så har vi
der er ganske enkelt reglen for at generere Fibonacci-tal: tilføje de sidste to for at få den næste. Efter dette vil du opdage, at efter 12 måneder (eller 1 år) vil der være 233 par kaniner.
bier er bedre
kaninproblemet er åbenlyst meget konstrueret, men Fibonacci-sekvensen forekommer i reelle populationer. Honningbier giver et eksempel., I en koloni af honningbier er der en særlig kvinde kaldet dronningen. De andre hunner er arbejderbier, der i modsætning til dronningbien ikke producerer æg. De mandlige bier gør intet Arbejde og kaldes dronebier.
hanner produceres af dronningens ubefrugtede æg, så mandlige bier har kun en mor, men ingen far. Alle hunnerne er produceret, når dronningen har parret med en han og så har to forældre., Kvinder ender normalt som arbejderbier, men nogle fodres med et specielt stof kaldet kongelig gel., hvilket får dem til at vokse til dronninger, der er klar til at gå ud for at starte en ny koloni, når bierne danner en sværm og forlader deres hjem (en bikube) på jagt efter et sted at bygge en ny rede. Så kvindelige bier har to forældre, en mand og en kvinde, mens mandlige bier kun har en forælder, en kvinde.
lad os se på stamtræet til en mandlig dronebi.
han har 1 forælder, en kvinde.
han har 2 bedsteforældre, da hans mor havde to forældre, en mand og en kvinde.,
han har 3 bedsteforældre: hans bedstemor havde to forældre, men hans bedstefar havde kun en.
Hvor mange tipoldeforældre havde han?,”>
bedsteforældre
bedsteforældre
bedsteforældre
Spiraler og skaller
bestande af Bier er ikke det eneste sted i naturen, hvor Fibonacci-tal forekommer, skal de også vises i den smukke figurer af skaller., For at se dette, lad os opbygge et billede, der starter med tosmå firkanter i størrelse 1 ved siden af hinanden. På toppen af begge dissetegn en firkant af størrelse 2 (=1+1). Vi kan nu tegne en ny firkant-rører både en af enheden firkanter og den seneste kvadrat af side 2 – sohaving sider 3 enheder lang; og derefter en anden rører både 2-firkant og 3-kvadrat (som har sider af 5 enheder). Vi kan fortsætte addingsquuares omkring billedet, hver ny firkant har en side, der er så lang som summen af de seneste to firkantede sider., Dette sæt afrektangler, hvis sider er to på hinanden følgende Fibonacci-tal i længdeog som er sammensat af firkanter med sider, der er Fibonaccinumbers, vil vi kalde Fibonacci-rektanglerne.
Hvis vi nu tegner en fjerdedel af en cirkel i hver firkant, kan vi opbygge asort spiral. Spiralen er ikke en ægte matematisk spiral (da det er lavet op offragments som er dele af cirkler og ikke gå på gettingsmaller og mindre), men det er en god tilnærmelse til en slags ofspiral, der forekommer ofte i naturen., Sådanne spiraler (kaldet logaritmiske spiraler) ses iform af skaller af snegle og havskaller. Billedet nedenfor af et tværsnit af en nautilus shell viser spiral kurve af skallen og de indre Kamre, at dyret bruger det tilføjer onas den vokser. Kamrene giver opdrift i vandet.
Fibonacci-numre vises også i planter og blomster. Nogleplanter forgrener sig på en sådan måde, at de altid har et Fibonacci-nummeraf voksende punkter. Blomster har ofte et Fibonacci antal kronblade, tusindfryd kan have 34, 55 eller endda så mange som 89 kronblade!,
et særligt smukt udseende af fibonacci tal er ispiraler af frø i et frøhoved. Næste gang du ser en solsikke, se på placeringen af frøene i centrum. De ser ud til at spiral udad både til venstre og højre.
|
|
|
På kanten af dette billede af en solsikke, hvis du tæller dem kurver af frø i en spiral til leftas du gå udad, der er 55 spiraler., På samme tidspunkt er der 34 spiraler af frø, der spiral til højre.Lidt længere mod midten, og du kan tælle 34 spiraler til venstre og 21 spiraler til højre. Parret af tal (tællespiraler buede til venstre og buede til højre) er (næsten altid) naboer i Fibonacci serien.
det samme sker i mange frø-og blomsterhoveder i naturen., Årsagen synes at være, at dette arrangement danner en optimal pakning af frøene, så uanset hvor stort frøhovedet, de er ensartet pakket på ethvert tidspunkt, alle frøene er af samme størrelse, ingen trængsel i midten og ikke for sparsom i kanterne.
naturen ser ud til at bruge det samme mønster til at arrangere kronblade rundt om kanten af en blomst og placere bladene rundt om en stilk. Desuden opretholder alle disse deres effektivitet, da planten fortsætter med at vokse, og det er meget at bede om en enkelt proces! Så hvordan vokser planter for at opretholde denne optimalitet af design?,
gylden vækst
botanikere har vist, at planter vokser fra en enkelt lille gruppe celler lige ved spidsen af enhver voksende plante, kaldet meristem. Der er en separat meristem i slutningen af hver gren eller kvist, hvor nye celler dannes. Når de er dannet, vokser de i størrelse, men nye celler dannes kun på sådanne vækstpunkter. Celler tidligere ned stilken udvide og så den voksende punkt stiger.Disse celler vokser også i spiralform: det er som om meristemet drejer i en vinkel, producerer en ny celle, vender igen i samme vinkel, producerer en ny celle og så videre., Disse celler kan så blive et frø, et nyt blad, en ny gren eller måske på en blomst blive kronblade og stammer.
bladene her er nummereret igen – hver er præcis 0.618 af en urets retning (222.5°) fra den forrige.
det fantastiske er, at en enkelt fast rotationsvinkel kan producere det optimale design, uanset hvor stor planten vokser., Princippet om, at en enkelt vinkel, der producerer ensartede pakninger uanset hvor meget vækst vises blev mistænkt så tidligt som sidste århundrede, men kun bevist matematisk i 1993 af Stéphane Douady og Yves Couder, to franske matematikere. Gør 0,618 af en tur, før der produceres et nyt frø (eller blad, kronblad osv.) producererden optimale pakning af frø uanset størrelsen af frøhovedet. Men hvor kommer dette magiske nummer 0.618 fra?,
Den gyldne forhold
Hvis vi tager forholdet mellem to på hinanden følgende tal i Fibonacci serien,dividere hver af nummer før det, vil vi finde den følgende serie af numre:
1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…
Hvis du tegner en graf over disse værdier, vil du se, at de ser ud til at være en grænse, hvilket vi kalder det gyldne forhold (også kendt som goldennumber og golden section).
forholdet mellem successive Fibonacci-udtryk.,
det har en værdi på(cirka 1.618034) og er ofte repræsenteret af et græsk bogstav Phi, skrevet som. Den nært beslægtede værdi, som vi skriver som , en lille phi, er kun decimaldelen af Phi, nemlig 0.618034… (), det tal, der tegner sig for spiralerne i frøhovederne og arrangementerne af blade i mange planter. Men hvorfor ser vi phi i så mange planter?
antallet Phi (1.618034…), og derfor også phi (0.618034…,), er irrationelle tal: de kan ikke skrives som en simpel brøkdel. Lad os se, hvad der ville ske, hvis meristem i et frøhoved i stedet drejes af et enklere tal, for eksempel fraktionen 1/2. Efter to omgange gennem halvdelen af en cirkel ville vi være tilbage til hvor det første frø blev produceret. Over tid ville drejning med en halv omdrejning mellem frø producere et frøhoved med to arme, der udstråler fra et centralt punkt, hvilket efterlader masser af spildt plads.
|
En frø hoved produceret af 0.,5=1/2 omdrejninger mellem frø: alternative frø linje op. |
et frøhoved produceret med 0.48=12/25 omdrejninger mellem frø: frøene danner to roterende arme. |
et frøhoved produceret med 0,6=3/5 omdrejninger mellem frø: frøene danner 5 lige arme., |
Pi vender mellem frø producerer syv spiralformede arme
Noget lignende sker for alle andre enkle brøkdel af en tur: frø vokse i spiral-arme, der efterlader en masse plads mellem dem (antallet af våben, der er i nævneren af brøken). Så den bedste værdi for svingene mellem frø vil være et irrationelt tal. Men ikke bare et irrationelt tal vil gøre. For eksempel ser det ud til, at frøhovedet, der er oprettet med pi-sving per frø, har syv spiralarm af frø., Dette skyldes, at 22/7 er en meget god rationel tilnærmelse af pi.
hvad der er nødvendigt for ikke at spilde plads er et irrationelt tal, der ikke er godt tilnærmet af et rationelt tal. Og det viser sig, at Phi (1.618034…) og decimaldelen phi (0.618034…) er de “mest irrationelle” af alle irrationelle tal. (Du kan finde ud af hvorfor i kaos i antal lande: det hemmelige liv for fortsatte fraktioner.) Derfor giver en vending af Phi den optimale pakning af frø og blade i planter., Det forklarer også, hvorfor Fibonacci tal vises i blad arrangementer og som antallet af spiraler i seedheads. Tilstødende Fibonacci-tal giver de bedste tilnærmelser af det gyldne forhold. De skiftes ved at være nævneren af tilnærmelser og definere antallet eller spiraler som frø hoveder stigning i størrelse.
hvordan opdagede så mange planter dette smukke og nyttige nummer, Phi?Naturligvis ikke fra at løse matematik som Fibonacci gjorde., I stedet antager vi, at ligesom forholdet mellem successive Fibonacci-tal til sidst sætter sig på det gyldne forhold, udviklede evolutionen sig også gradvist på det rigtige tal. Arven fra Leonardo Pisano, alias Fibonacci, ligger i hjertet af hver blomst såvel som i hjertet af vores talesystem.
yderligere læsning
Hvis du har haft glæde af denne artikel, kan du måske besøge Fibonacci-numre og det gyldne afsnit.
om denne artikel
Denne artikel er baseret på materiale skrevet af Dr R., Knott, der tidligere var lektor i Department of Computing Studies ved University of Surrey. Knott startede websiteebstedet på Fibonacci Numbers og den gyldne sektion tilbage i 1996 som et eksperiment med at bruge internettet til at inspirere og tilskynde til flere matematikundersøgelser både inden for og uden for skoletiden. Det er siden vokset og dækker nu mange andre emner, alle med interaktive elementsand online regnemaskiner. Selvom det nu er pensioneret, opretholder og udvider Knott stadig webebsiderne., Han er i øjeblikket en besøgende fyr på University of Surrey og holder foredrag over hele landet til skoler, universiteter, konferencer og matematik samfund. Han kan også lide at gå, matematiske rekreationer, voksende ting at spise og lave mad.
Skriv et svar