Análisis de Fourier

transformada de Fourier (continua)

más a menudo, el término no calificado transformada de Fourier se refiere a la transformación de funciones de un argumento real continuo, y produce una función continua de frecuencia, conocida como distribución de frecuencia. Una función se transforma en otra, y la operación es reversible., Cuando el dominio de la función de entrada (inicial) es el tiempo (t), y el dominio de la función de salida (final) es la frecuencia ordinaria, la transformación de la función S(t) en la frecuencia f viene dada por el número complejo:

S ( f) = ∫ − ∞ ∞ S ( t) ⋅ e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S (f) = \int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}

la evaluación de esta cantidad para todos los valores de f produce la función de dominio de frecuencia., Entonces s ( t) se puede representar como una recombinación de exponenciales complejos de todas las frecuencias posibles:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S(f ) ⋅ e I 2 π f t d f , {\displaystyle S(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S (f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}

que es la fórmula de transformación inversa. El número complejo, S (f ), transmite tanto la amplitud como la fase de la frecuencia f.,

vea transformada de Fourier para mucha más información, incluyendo:

• convenciones para normalización de amplitud y escalado de frecuencia/unidades
• propiedades de transformación
• transformadas tabuladas de funciones específicas
• Una extensión / generalización para funciones de múltiples dimensiones, como imágenes.,

serie de Fourieredit

la Transformada de Fourier de una función periódica, sP(t), con período P, se convierte en una función comb de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos:

s = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ e − i 2 π K P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(T)\cdot e^{-I2\pi {\frac {K}{P}}T}\,DT,\Quad K\in \mathbb {Z} ,} (donde ∫P es la integral sobre cualquier intervalo de longitud P).,

La transformada inversa, conocida como serie de Fourier, es una representación de sP ( t) en términos de una suma de un número potencialmente infinito de sinusoides relacionados armónicamente o funciones exponenciales complejas, cada una con una amplitud y fase especificadas por uno de los coeficientes:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ s δ (f − k P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ s ⋅ e i 2 π k P t . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\derecho\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

cualquier sP(t) puede expresarse como una suma periódica de Otra función, S(t):

s P ( t) ∑ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m P ) , {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

y los coeficientes son proporcionales a muestras de S( f ) a intervalos discretos de 1/P:

S = 1 p ⋅ s ( k p ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}

tenga en cuenta que cualquier s(t) cuya transformación tiene los mismos valores de muestra discretos puede ser utilizado en la suma periódica. Una condición suficiente para recuperar s (t) (y por lo tanto S( f)) de solo estas muestras (p. ej., de la serie de Fourier) es que la porción distinta de cero de s(t) se limita a un intervalo conocido de duración P, que es el dominio de frecuencia dual del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon.

Ver series de Fourier para más información, incluyendo el desarrollo histórico.

transformada de Fourier en tiempo discreto (Dtft)editar

la dtft es el dual matemático de la serie de Fourier en el dominio del tiempo.,los coeficientes e son muestras de una función de tiempo continuo relacionada:

s 1 T ( f) ∑ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − K T) ∑ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f N T series Serie de Fourier (DTFT) formula fórmula de suma de Poisson = F {∑n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle s_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }s\left(f-{\frac {k}{t}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-I2\Pi FNT}} ^{\text{serie de Fourier (dtft)}}} _{\text{fórmula de suma de Poisson}}={\mathcal {f}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \Delta (T-NT)\right\},\,}

que se conoce como dtft., Por lo tanto, la dtft de la secuencia s es también la Transformada de Fourier de la función comb modulada de Dirac.

los coeficientes de la serie de Fourier (y la transformada inversa), se definen por:

s ∫ 1 T S 1 t ( f ) ⋅ e i 2 π f N T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f N T d f .S ( n T). {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

El parámetro T corresponde al intervalo de muestreo, y esta serie de Fourier ahora se puede reconocer como una forma de la fórmula de suma de Poisson. Así tenemos el resultado importante que cuando una secuencia de datos discreta, s, es proporcional a las muestras de una función continua subyacente, s(t), se puede observar una suma periódica de la transformada continua de Fourier, S( f ). Tenga en cuenta que cualquier s(t) con los mismos valores de muestra discretos produce el mismo DTFT pero bajo ciertas condiciones idealizadas uno puede teóricamente recuperar S( f ) y S(t) exactamente., Una condición suficiente para una recuperación perfecta es que la porción distinta de cero de S( f ) Se confine a un intervalo de frecuencia conocido de ancho 1/T. Cuando ese intervalo es , la fórmula de reconstrucción aplicable es la fórmula de interpolación Whittaker-Shannon. Esta es una piedra angular en la base del procesamiento de señales digitales.

otra razón para estar interesado en S1 / T (f ) es que a menudo proporciona información sobre la cantidad de aliasing causada por el proceso de muestreo.

Las aplicaciones del DTFT no se limitan a funciones muestreadas.,ing (finite-length sequences)

transform properties

transformadas tabuladas de funciones específicas

transformada discreta de Fourier (DFT)Edit

Similar a una serie de Fourier, la dtft de una secuencia periódica, sN, con período N, se convierte en una función comb de Dirac, modulada por una secuencia de coeficientes complejos (ver dtft § datos periódicos):

S = ∑ N s n ⋅ e − i 2 π k n n , k ∈ z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{n}\cdot e^{-I2\pi {\frac {k}{n}}n},\Quad K\in \mathbb {Z} ,} (donde ∑n es la suma sobre cualquier secuencia de longitud n).,

la secuencia S es lo que se conoce habitualmente como el DFT de un ciclo de sN. También es N-periódico, por lo que nunca es necesario calcular más de N coeficientes. La transformada inversa, también conocida como serie discreta de Fourier, está dada por:

s N = 1 N ∑ k s ⋅ e i 2 π n n k, {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{n}}k},} donde ∑k es la suma sobre cualquier secuencia de longitud N.,

cuando sN se expresa como una suma periódica de Otra función:

s N N ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s,} y s and s ( n T ) , {\displaystyle S\,\triangleq \,s(nT),}

los coeficientes son proporcionales a muestras de S1/T( f ) a intervalos discretos de 1/P = 1/NT:

s = 1 T ⋅ S 1 t ( k p ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).,}

Por el contrario, cuando se quiere calcular un número arbitrario (N) de muestras discretas de un ciclo de un dtft continuo, S1/T( f), Se puede hacer computando el DFT relativamente simple de sN, como se definió anteriormente. En la mayoría de los casos, N se elige igual a la longitud de la porción distinta de cero de S. El aumento de N, conocido como relleno cero o interpolación, resulta en muestras más espaciadas de un ciclo de S1/T( f). La disminución de N, causa superposición (adición) en el dominio de tiempo (análogo al aliasing), que corresponde a la decimación en el dominio de frecuencia., en la mayoría de los casos de interés práctico, la secuencia s representa una secuencia más larga que fue truncada por la aplicación de una función de ventana de longitud finita o matriz de filtro FIR.

la DFT se puede calcular utilizando un algoritmo de transformada rápida de Fourier (FFT), lo que la convierte en una transformación práctica e importante en computadoras.,

Ver transformada discreta de Fourier para mucha más información, incluyendo:

• propiedades de la transformada
• Aplicaciones
• transformadas tabuladas de funciones específicas

SummaryEdit

para funciones periódicas, tanto la Transformada de Fourier como la DTFT comprenden solo un conjunto discreto de componentes de frecuencia (serie de Fourier), y las transformadas divergen en esas frecuencias. Una práctica común (no discutida anteriormente)es manejar esa divergencia a través de las funciones Dirac delta y Dirac comb., Pero la misma información espectral se puede discernir de solo un ciclo de la función periódica, ya que todos los demás ciclos son idénticos. Del mismo modo, las funciones de duración finita se pueden representar como una serie de Fourier, sin pérdida real de información, excepto que la periodicidad de la transformada inversa es un mero artefacto.

es común en la práctica que la duración de s(•) se limite al período, P O N. Pero estas fórmulas no requieren esa condición.,

propiedades de Simetríaeditar

cuando las partes reales e imaginarias de una función compleja se descomponen en sus partes pares e impares, hay cuatro componentes, denotados a continuación por los subíndices RE, RO, IE e IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Por el contrario, una transformación de simetría uniforme implica un dominio de tiempo de valor real.
• La transformación de una función de valor imaginario (i sIE+ i sio) es la función simétrica impar SRO + I Sie, y lo contrario es verdadero.
• La transformación de una función simétrica par (sRE+ i sIO) es la función de valor real SRE+ SRO, y lo contrario es verdadero.
• La transformada de una función impar-simétrica (sRO+ i Sie) es la función de valor imaginario I Sie + I SIO, y lo contrario es verdadero.,

transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarioseditar

las variantes de Fourier también se pueden generalizar a transformadas de Fourier en grupos topológicos abelianos localmente compactos arbitrarios, que se estudian en el análisis armónico; allí, la Transformada de Fourier toma funciones en un grupo a funciones en el grupo dual. Este tratamiento también permite una formulación general del teorema de convolución, que relaciona transformadas de Fourier y convoluciones. Véase también la dualidad de Pontryagin para los fundamentos generalizados de la Transformada de Fourier.,

más específico, el análisis de Fourier se puede hacer en cosets, incluso cosets discretos.

transformadas de tiempo–frecuenciaeditar

en términos de procesamiento de señal, una función (de tiempo) es una representación de una señal con resolución de tiempo perfecta, pero sin información de frecuencia, mientras que la Transformada de Fourier tiene resolución de frecuencia perfecta, pero sin información de tiempo.,

como alternativas a la Transformada de Fourier, en el análisis de frecuencia de tiempo, se utiliza la Transformada de frecuencia de tiempo para representar señales en una forma que tiene alguna información de tiempo y alguna información de frecuencia-por el principio de incertidumbre, hay un trade-off entre estos., Estas pueden ser generalizaciones de la Transformada de Fourier, como la Transformada de Fourier de corto tiempo, la Transformada de Gabor o la transformada fraccionaria de Fourier (FRFT), o pueden usar diferentes funciones para representar señales, como en las transformadas de wavelet y las transformadas de chirplet, con la analógica de wavelet de la Transformada de Fourier (continua) siendo la Transformada de wavelet continua.