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sección 3-5 : derivadas de funciones trigonométricas
Con esta sección vamos a empezar a mirar las derivadas de funciones que no sean polinomios o raíces de polinomios. Comenzaremos este proceso echando un vistazo a las derivadas de las seis funciones trigonométricas. Dos de los derivados se derivarán. Los cuatro restantes se dejan a usted y seguirán pruebas similares para los dos que se dan aquí.
antes de entrar en las derivadas de las funciones trigonométricas necesitamos dar un par de límites que se mostrarán en la derivación de dos de las derivadas.,
Fact
consulte la sección prueba de límites trigonométricos del capítulo Extras para ver la prueba de estos dos límites.
antes de proceder con una nota rápida. Los estudiantes a menudo preguntan por qué siempre usamos radianes en una clase de cálculo. ¡Esta es la razón! La prueba de la fórmula que involucra el seno anterior requiere que los ángulos estén en radianes. Si los ángulos están en grados, el límite que implica el seno no es 1 y, por lo tanto, las fórmulas que derivaremos a continuación también cambiarían. Las fórmulas a continuación recogerían una constante adicional que solo se interpondría en nuestro trabajo y, por lo tanto, usamos radianes para evitar eso., Por lo tanto, recuerde siempre utilizar radianes en una clase de cálculo!
antes de empezar a diferenciar funciones trigonométricas vamos a trabajar un conjunto rápido de problemas límite que este hecho ahora nos permite hacer.
bien, ahora que hemos conseguido este conjunto de ejemplos límite fuera del camino vamos a volver al punto principal de esta sección, diferenciando funciones trigonométricas.
comenzaremos con encontrar la derivada de la función seno. Para ello tendremos que utilizar la definición de la derivada. Ha pasado un tiempo desde que tuvimos que usar esto, pero a veces simplemente no hay nada que podamos hacer al respecto., Aquí está la definición de la derivada para la función seno.
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dado que no podemos simplemente conectar \(h = 0\) para evaluar el límite, necesitaremos usar la siguiente fórmula trigonométrica en el primer seno en el numerador.
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haciendo esto nos da,
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como se puede ver al usar la fórmula trigonométrica podemos combinar el primer y tercer término y luego factorizar un seno de eso. Luego podemos dividir la fracción en dos piezas, las cuales se pueden tratar por separado.
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en este punto todo lo que necesitamos hacer es usar los límites en el hecho anterior para terminar este problema.,
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el coseno diferenciador se hace de manera similar. Requerirá una fórmula trigonométrica diferente, pero aparte de eso es una prueba casi idéntica. Los detalles serán dejados a usted. Cuando termine con la prueba que debe obtener,
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con estos dos fuera del camino, los cuatro restantes son bastante simples de obtener. Todas las cuatro funciones trigonométricas restantes se pueden definir en términos de seno y coseno y estas definiciones, junto con las reglas derivadas apropiadas, se pueden utilizar para obtener sus derivadas.
echemos un vistazo a tangente., Tangente se define como,
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Ahora que tenemos las derivadas de seno y coseno todo lo que necesitamos hacer es utilizar la regla de cociente en esto. Hagámoslo.
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Las tres funciones trigonométricas restantes también son cocientes que involucran seno y / o coseno y por lo tanto se pueden diferenciar de manera similar. Le dejaremos los detalles a usted. Aquí están las derivadas de las seis funciones trigonométricas.
derivadas de las seis funciones trigonométricas
en este punto debemos trabajar algunos ejemplos.
como problema final aquí no olvidemos que todavía tenemos nuestras interpretaciones estándar a las derivadas.,
en esta sección vimos cómo diferenciar las funciones trigonométricas. También vimos en el último ejemplo que nuestras interpretaciones de la derivada siguen siendo válidas, por lo que no podemos olvidarlas.
además, es importante que seamos capaces de resolver ecuaciones trigonométricas, ya que esto es algo que surgirá de vez en cuando en este curso. También es importante que podamos hacer los tipos de líneas numéricas que usamos en el último ejemplo para determinar dónde una función es positiva y dónde una función es negativa. Esto es algo que haremos en ocasiones tanto en este capítulo como en el siguiente.
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