aproximadamente una curva diferenciable es una curva que se define localmente como la imagen de una función diferenciable inyectiva γ : i → X {\displaystyle \ gamma \ colon I\rightarrow X} de un intervalo I de los números reales en una variedad diferenciable X, a menudo r n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Más precisamente, una curva diferenciable es un subconjunto C de X donde cada punto de C tiene un vecindario U tal que C {U {\displaystyle C \ cap u} es difeomorfo a un intervalo de los números reales., En otras palabras, una curva diferenciable es una variedad diferenciable de dimensión uno.
longitud de una curvaeditar
la longitud de una curva es independiente de la parametrización γ {\displaystyle \gamma } .
s = ∫ A b 1 + 2 D x . {\displaystyle S = \ int _{a}^{b} {\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Length ( γ ) = def SUP ( { ∑ i = 1 n D ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ N and a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {length} (\gamma )~{\stackrel {\text{Def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{y}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\derecho)} Longitud ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \operatorname {Longitud} \!,\left (\gamma / _ {} \ right) = t_{2}-t_{1}.} Velocidad γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Velocidad} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}
y, a continuación, mostrar que
Longitud ( γ ) = ∫ a b Velocidad γ ( t ) d t . {\displaystyle \ operatorname {Length} (\gamma) =\int _{a}^{b} {\operatorname {Speed} _{\gamma}} (t)~ \ mathrm {d} {t}.,}
geometríaeditar
mientras que los primeros ejemplos de curvas que se cumplen son en su mayoría curvas planas (es decir, en palabras cotidianas, líneas curvas en espacio bidimensional), hay ejemplos obvios como la hélice que existen naturalmente en tres dimensiones. Las necesidades de la geometría, y también por ejemplo la mecánica clásica son tener una noción de curva en el espacio de cualquier número de dimensiones. En relatividad general, una línea del mundo es una curva en el espacio-tiempo.,
Si X {\displaystyle X} es una variedad diferenciable, entonces podemos definir la noción de curva diferenciable en X {\displaystyle X} . Esta idea general es suficiente para cubrir muchas de las aplicaciones de las curvas en matemáticas. Desde un punto de vista local se puede tomar X {\displaystyle X} como espacio euclidiano. Por otro lado, es útil ser más general, ya que (por ejemplo) es posible definir los vectores tangentes a X {\displaystyle X} por medio de esta noción de curva.,
Si X {\displaystyle X} es una variedad Lisa, una curva lisa en X {\displaystyle X} es un mapa liso
γ : i → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} .
se dice que una curva diferenciable es regular si su derivada nunca desaparece. (En palabras, una curva regular nunca se detiene o retrocede sobre sí misma., A ) dos C k {\displaystyle C^{k}} diferenciable curvas
γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X} y γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}
se dice que son equivalentes si existe un bijective C k {\displaystyle C^{k}} map
p : J → I {\displaystyle p\colon J\rightarrow I}
tales que el inverso del mapa
p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}
también es C k {\displaystyle C^{k}} y
γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}
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