Función Gamma

GeneralEdit

otras ecuaciones funcionales importantes para la función gamma son la fórmula de reflexión de Euler

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) , z Z Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

que implica

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) N − 1 γ ( − ε ) γ ( 1 + ε ) γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \gamma (\varepsilon-n)=(-1)^{N-1}\;{\frac {\gamma (-\varepsilon )\gamma (1+\varepsilon )}{\gamma (n+1-\varepsilon )}},}

y la fórmula de duplicación de Legendre

γ ( z ) γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π γ ( 2 Z ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}

la fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de multiplicación (ver, EC. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

una propiedad simple pero útil, que se puede ver en la definición de límite, es:

Γ ( z ) = Γ ( z ) ⇒ Γ ( z ) Γ ( z ) ∈ R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\derecho)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\derecho)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\derecho)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}

tal vez el más conocido el valor de la función gamma en un no-argumento entero es

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\derecho)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = (2 n-1)! ! 2 n π = (n − 1 2 n ) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! (2 n ) ! π = (- 2) n ( 2 n − 1)! ! π = π (- 1 / 2 n )n! {\displaystyle {\begin{aligned} \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n} n!} {\sqrt {\pi}} = {\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi}} \ \ \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{2}} – n \ right)&={(-4)^{n}N! \over (2n)!} {\sqrt {\pi}} ={\frac {(-2)^{n}} {(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!,}}\end{aligned}}}

las derivadas de la función gamma se describen en términos de la función polígama. Por ejemplo:

Γ ‘ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) . {\displaystyle \ Gamma ‘ (z) = \Gamma (z)\psi _{0}(z).}

para un entero positivo m la derivada de la función gamma se puede calcular de la siguiente manera (aquí γ {\displaystyle \gamma } es la constante de Euler–Mascheroni):

Γ ‘ (m + 1 ) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k). {\displaystyle \Gamma ‘ (m + 1) = m!\left (- \gamma +\sum _ {k=1}^{m} {\frac {1}{k}} \ right)\,.,}

Para ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} el n {\displaystyle n} th derivada de la función gamma es:

d n d x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(esto se puede derivar diferenciando la forma integral de la función gamma con respecto a x {\displaystyle x}, y usando la técnica de diferenciación bajo el signo integral.)

Usando la identidad

Γ ( n) (1) = (−1) n n ! ∑ π π n !i = 1 R ζ ∗ ( A i ) k i! ⋅ a i ζ ∗ (x): = { ζ (x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \ Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n} n!\sum \ limits _{\pi\, \ vdash\, n}\, \ prod _ {i = 1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{casos}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{casos}}} π = a 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 condiciones + ⋯ + a r + ⋯ + r ⏟ k r términos , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ términos}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ términos}}},}

tenemos en particular

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + π γ 2 2 + 2 z ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\derecho)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\derecho)z^{2}+O(z^{3}).}

Inequalitieseditar

cuando se restringe a los números reales positivos, la función gamma es una función estrictamente convexa logarítmicamente., Esta propiedad puede establecerse de alguna de las siguientes tres formas equivalentes:

• Para cualesquiera dos números reales positivos x 1 {\displaystyle x_{1}} y x 2 {\displaystyle x_{2}} , y para cualquier t ∈ {\displaystyle t\in } ,

Γ ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• Para cualesquiera dos números reales positivos x e y con y > x

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ‘ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• Para cualquier número real positivo x {\displaystyle x} ,

Γ » ( x ) Γ ( x ) > Γ ‘ ( x ) 2 . {\displaystyle \ Gamma » (x)\Gamma (x)> \ Gamma ‘(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + a n x n 1 + ⋯ + a n ) ≤ ( Γ ( x 1 ) 1 ⋯ Γ ( x n ) n ) 1 1 + ⋯ + n ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

también hay límites en las relaciones de funciones gamma. El más conocido es Gautschi de la desigualdad, que dice que para cualquier número real positivo x y cualquier s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

fórmula de Stirlingeditar

El comportamiento de Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} para una variable positiva creciente es simple. Crece rápidamente, más rápido que una función exponencial de hecho., Asintóticamente como z → ∞ , {\estilo de texto z\to \infty \ ,} la magnitud de la función gamma está dada por la fórmula de Stirling

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

Otro útil límite asintótico de aproximaciones es:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

Residueseditar

el comportamiento para Z no positivo {\displaystyle z} es más intrincado., La integral de Euler no converge para z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0}, pero la función que define en el semiplano complejo positivo tiene una continuación analítica única al semiplano negativo. Una forma de encontrar esa continuación analítica es usar la integral de Euler para argumentos positivos y extender el dominio a números negativos mediante la aplicación repetida de la fórmula de recurrencia,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1) z ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( F , c ) = lim Z → C ( z − c ) f ( Z ) ., {\displaystyle \ operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c} (z-c)f (z).}

para el Polo simple z = – n, {\displaystyle z=-n,} reescribimos la fórmula de recurrencia como:

(z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1) ⋯ (z + n − 1 ) . {\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}

El numerador en z = − n , {\displaystyle z=-n,} es

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

y el denominador

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

así que los residuos de la función gamma en esos puntos son:

Res ⁡ (Γ , − n) = (−1 ) n n ! . {\displaystyle \ operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

La función gamma tiene un mínimo local en zmin ≈ + 1.46163214496836234126 (truncado) donde alcanza el Valor Γ(zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (truncado)., La función gamma debe alternar signo entre los polos porque el producto en la recurrencia hacia adelante contiene un número impar de factores negativos si el número de polos entre z {\displaystyle z} Y z + n {\displaystyle z+n} es impar, y un número par si el número de polos es par.

representaciones Integraleseditar

hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler del segundo tipo, que expresan la función gamma como una integral. Por ejemplo, cuando la parte real de z es positiva,

Γ (z) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1 t) z − 1 d t ., {\displaystyle \ Gamma (z) = \int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

La primera fórmula integral de Binet para la función gamma establece que, cuando la parte real de z es positiva, entonces:

log ⁡ Γ (z) = (z − 1 2 ) log ⁡ z-z + 1 2 log ⁡ (2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t-1) E-T z t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}

la integral del lado derecho puede ser interpretada como una transformada de Laplace., Es decir,

log ⁡ (Γ ( z) (E z ) Z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 t 2 + 1 T ( e t − 1)) (z ) . {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

La segunda fórmula integral de Binet establece que, de nuevo cuando la parte real de z es positiva, entonces:

log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Sea C un contorno de Hankel, lo que significa un camino que comienza y termina en el punto ∞ en la esfera de Riemann, cuyo vector tangente unitario converge a -1 al comienzo del camino y a 1 al final, que tiene un número de devanado 1 alrededor de 0, y que no cruza

Γ ( z ) = − 1 2 I sin ⁡ π z ∫ C ( − t ) Z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-T)^{Z-1}E^{-T}\,DT,} 1 γ ( z ) = i 2 π ∫ c ( − t ) − z E − T D t , {\displaystyle {\frac {1}{\gamma (Z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{c}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}

nuevamente válido cuando Z no es un entero.,la unción tiene la siguiente serie de Fourier de expansión para 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ ý − 1 2 ln ⁡ pecado ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n pecado ⁡ ( 2 π n z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\derecho)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

que fue durante mucho tiempo atribuido a Ernst Kummer, que derivó en 1847., Sin embargo, Iaroslav Blagouchine descubrió que Carl Johan Malmsten derivó por primera vez esta serie en 1842.

la fórmula de Raabeditar

en 1840 Joseph Ludwig Raabe demostró que

∫ a a + 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π + a LN ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle \ int _ {a}^{a + 1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\LN a-a,\quad a>0.}

en particular, si a = 0 {\displaystyle A=0} entonces

∫ 0 1 ln ⁡ Γ (z) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \ int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

Este último se puede derivar tomando el logaritmo en la fórmula de multiplicación anterior, que da una expresión para la suma de Riemann del integrando. Tomando el límite para a → ∞ {\displaystyle A \rightarrow \ infty } se obtiene la fórmula.,

función Pieditar

una notación alternativa que fue introducida originalmente por Gauss y que a veces se usó es la función Π {\displaystyle \Pi}, que en términos de la función gamma es

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e-t T z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }E^{−T}T^{z}\,dt,}

de modo que π ( n ) = n ! {\displaystyle \ Pi(n) = n!} para cada entero no negativo n {\displaystyle n} .,

Uso de la función pi la reflexión fórmula toma la forma

Π ( z ) Q (z ) = z π pecado ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {pues} (z)}}}

dónde sinc es la normalizado la función de sinc, mientras que el teorema de la multiplicación se lleva en el formulario

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

a veces también encontrar

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}

El volumen de un n-elipsoide con radios r1, …, rn puede expresarse como

V n (r 1,…, r n ) = π n 2 Π ( n 2) k k = 1 n R k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

relación con otras funcioneseditar

• En la primera integral anterior, que define la función gamma, los límites de integración son fijos., Las funciones gamma incompleta superior e inferior son las funciones obtenidas al permitir que el límite inferior o superior (respectivamente) de integración varíe.
• La función gamma está relacionado con la función beta por la fórmula

B ( x , y ) = ∫ 0 t 1 x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• la derivada logarítmica de la función gamma se llama la función digamma; las derivadas superiores son las funciones polígama.,
• El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
• La función gamma recíproca es una función completa y ha sido estudiada como un tema específico.
• La función gamma también aparece en una relación importante con la función zeta de Riemann, ζ ( z ) {\displaystyle \Zeta (z)} .

π-z 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ (1 − z ) ., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} También aparece en la siguiente fórmula: z ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},} que sólo es válido para ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., El logaritmo de la función gamma satisface la siguiente fórmula debido a Lerch: log ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‘(0 , x ) − ζ ‘ (0 ) , {\displaystyle \log \Gamma(x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),} donde ζ H {\displaystyle \Zeta _{H}} es la función zeta de Hurwitz, ζ {\displaystyle \zeta } es la función zeta de Riemann y el primo ( ‘ ) denota diferenciación en la primera variable.

• La función gamma está relacionada con la función exponencial estirada. Por ejemplo, los momentos de esa función son

τ τ N⟩ ∫ ∫ 0 ∞ d t t n-1 E – (T τ ) β = τ n β Γ (n β ) ., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \sobre \beta }\derecho).}

valores Particulareseditar

incluyendo hasta los primeros 20 dígitos después del punto decimal, algunos valores particulares de la función gamma son:

Γ (- 3 2) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ (- 1 2) = – 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ (1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ (1) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

la función gamma de valor complejo no está definida para enteros no positivos, pero en estos casos el valor se puede definir en la esfera de Riemann como ∞. La función gamma recíproca está bien definida y analítica en estos valores (y en todo el plano complejo):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}