Función implícita

en cálculo, un método llamado Diferenciación implícita hace uso de la regla de la cadena para diferenciar funciones implícitamente definidas.

para diferenciar una función implícita y(x), definida por una ecuación R(x, y) = 0, generalmente no es posible resolverla explícitamente para y y luego diferenciarla. En su lugar, se puede diferenciar totalmente R(x, Y) = 0 con respecto a x e y y luego resolver la ecuación lineal resultante para dy/dx para obtener explícitamente la derivada en términos de x E y., Incluso cuando es posible resolver explícitamente la ecuación original, la fórmula resultante de la diferenciación total es, en general, mucho más simple y más fácil de usar.

ExamplesEdit

Ejemplo 1. Considere

y + x + 5 = 0 . {\displaystyle Y+x+5=0\,.}

Esta ecuación es fácil de resolver para y, dando

y = − x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}

en el lado derecho es la forma explícita de la función y(x). La diferenciación entonces da dy / dx = -1.

como alternativa, se puede totalmente diferenciar la ecuación original:

d y d x + d x + d x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\ end{aligned}}}

resolver para dy / dx da

d y D x − – 1, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}

la misma respuesta que se obtuvo anteriormente.

Ejemplo 2. Un ejemplo de una función implícita para la cual la Diferenciación implícita es más fácil que usar la diferenciación explícita es la función y(x) definida por la ecuación

x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.,}

Para diferenciar esto de forma explícita con respecto a x, primero para obtener

y ( x ) = ± 8 − x 4 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

y, a continuación, diferenciar esta función. Esto crea dos derivadas: una PARA y ≥ 0 y otra para y < 0.

es mucho más fácil, implícitamente diferenciar la ecuación original:

4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

dar

d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {- 4x^{3}}{4y}}= – {\frac {x^{3}}{y}}\,.}

Ejemplo 3., A menudo, es difícil o imposible resolver explícitamente para y, y la Diferenciación implícita es el único método viable de diferenciación. Un ejemplo es la ecuación

y 5 − y = x . {\displaystyle y^{5}-y=x\,.}

Es imposible expresar algebraicamente y explícitamente como una función de x, y por lo tanto no se puede encontrar dy/dx por diferenciación explícita. Utilizando el método implícito, dy/dx puede ser obtenida mediante la diferenciación de la ecuación para obtener la

5 y 4 d y d x − d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}

donde dx/dx = 1., Factorizando dy/dx muestra que

( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}

lo que produce el resultado

d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5 años^{4}-1}}\,,}

definida

y ≠ ± 1 5 4 e y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{y}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt{5}}}\,.}

fórmula General para la derivada de la función implícitaeditar

Si R (x, y) = 0, la derivada de la función implícita y(x) viene dada por:§11.,5

d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}

donde Rx y Ry indican las derivadas parciales de R con respecto a x y y.,

la fórmula anterior proviene del uso de la regla de cadena generalizada para obtener la derivada total — con respecto a x — de ambos lados de R(x, y) = 0:

∂ r ∂ x d x d + ∂ R ∂ y d y D x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

por lo tanto

∂ r ∂ x + ∂ R ∂ y D y D x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial r}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

que, cuando se resuelve para dy/dx, da la expresión anterior.