la vida y los números de Fibonacci

Fibonacci es uno de los nombres más famosos en matemáticas. Esto sería una sorpresa para Leonardo Pisano, el matemático que ahora conocemos con ese nombre. Y él podría haber sido igualmente sorprendido de que ha sido inmortalizado en la famosa secuencia– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – en lugar de lo que se considera su mayor logro matemático – ayudando a popularizar nuestro sistema numérico moderno en el mundo de habla latina.,

el Imperio Romano dejó Europa con el sistema de numeración romana que todavía se ve, entre otros lugares, en los Avisos de derechos de autor después de películas y programas de televisión (2013 es MMXIII). Los números romanos no fueron mostrados hasta mediados del siglo XIII, y el libro de Leonardo Pisano, Liber Abaci (que significa «el Libro de los cálculos»), fue uno de los primeros libros occidentales en describir su eventual reemplazo.

Leonardo Pisano nació a finales del siglo XII en Pisa, Italia: Pisano en italiano indicó que era de Pisa, de la misma manera Mancunian indica que soy de Manchester. Su padre era un comerciante llamado Guglielmo Bonaccio y es debido al nombre de su padre que Leonardo Pisano se hizo conocido como Fibonacci. Siglos más tarde, cuando los escolares estudiaban las copias manuscritas de Liber Abaci (como se publicó antes de que se inventara la impresión), interpretaron parte del título – «filius Bonacci» que significa «sonof Bonaccio» – como su apellido, y nació Fibonacci.,

Fibonacci (como seguiremos llamándolo) pasó su infancia en África del Norte, donde su padre era funcionario de aduanas. Fue educado por theMoors y viajó ampliamente en Berbería (Argelia), y más tarde se senton viajes de negocios a Egipto, Siria, Grecia, Sicilia y Provence.In 1200 regresó a Pisa y utilizó el conocimiento que había adquirido en sus viajes para escribir Liber Abaci (publicado en 1202) en el que introdujo el mundo de habla latina al sistema numérico decimal. El primer capítulo de la Parte 1 comienza:

» estas son las nueve figuras de los indios: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Con estas nueve figuras, y con este signo 0 que en árabe se llama céfiro, se puede escribir cualquier número, como se demostrará.»

Italia en ese momento estaba formada por pequeñas ciudades y regiones independientes y esto llevó al uso de muchos tipos de pesos y sistemas monetarios. Los comerciantes tenían que convertir de uno a otro cada vez que negociaban entre estos sistemas., Fibonacci escribió Liber Abaci para estos comerciantes, lleno de problemas prácticos y ejemplos trabajados que demostraban cómo se podían hacer cálculos simplemente comerciales y matemáticos con este nuevo sistema numérico en comparación con los números romanos difíciles de manejar. El impacto del libro de Fibonacci como el principio de la propagación de los números decimales fue su mayor logro matemático. Sin embargo, Fibonacci es mejor recordado para cierta secuencia de números que apareció como un ejemplo en LiberAbaci.,

El problema con los conejos

uno de los problemas matemáticos que Fibonacci investigó en Liber Abaci fue sobre qué tan rápido podían reproducirse los conejos en circunstancias ideales.Supongamos que un par de conejos recién nacidos, un macho y una hembra, son puestos en un campo. Los conejos pueden aparearse a la edad de un mes para que al final de su segundo mes una hembra pueda producir otro par de conejos., Supongamos que nuestros conejos nunca mueren y que la hembra siempre produce una nueva pareja (un macho, una hembra) cada mes a partir del segundo mes. El rompecabezas que Fibonacci planteó fue… ¿Cuántos pares habrá en un año?

• al final del primer mes, se aparean, pero todavía hay solo 1 par.
• al final del segundo mes la hembra produce un nuevo par, por lo que ahora hay 2 pares de conejos.
• al final del tercer mes, la hembra original produce un segundo par, haciendo 3 pares en total.,
• al final del cuarto mes, la hembra original ha producido otro par nuevo, la hembra nacida hace dos meses produjo su primer par también, haciendo 5 pares.

Ahora, imagine que hay pares de conejos después de meses. El número de pares en el mes será (en este problema, los conejos nunca mueren) más el número de nuevos pares nacidos. Pero los nuevos pares solo nacen para pares de al menos 1 mes de edad, por lo que habrá nuevos pares., Así que tenemos

que es simplemente la regla para generar la serie de Fibonacci: añadir los dos últimos para obtener el siguiente. Siguiendo esto, encontrará que después de 12 meses (o 1 año), habrá 233 parejas de conejos.

las abejas son mejores

el problema del conejo es obviamente muy artificial, pero la secuencia de Fibonacci ocurre en poblaciones reales. Las abejas son un ejemplo., En una colonia de abejas hay una hembra especial llamada La Reina. Las otras hembras son abejas obreras que, a diferencia de la abeja reina, no producen huevos. Las abejas macho no trabajan y se llaman abejas zánganos.

Los machos son producidos por los huevos no fertilizados de la Reina, por lo que las abejas macho solo tienen una madre pero no un padre. Todas las hembras se producen cuando la reina se ha apareado con un macho y por lo tanto tienen dos padres., Las hembras generalmente terminan como abejas obreras, pero algunas son alimentadas con una sustancia especial llamada jalea real que las hace crecer en reinas listas para comenzar una nueva colonia cuando las abejas forman un enjambre y abandonan su hogar (una colmena) en busca de un lugar para construir un nuevo nido. Así que las abejas hembras tienen dos padres, un macho y una hembra, mientras que las abejas machos tienen solo un padre, una hembra.

veamos el árbol genealógico de una abeja macho.

Tiene 1 padre, una mujer.tiene 2 abuelos, ya que su madre tenía dos padres, un hombre y una mujer.,tiene 3 Bisabuelos: su abuela tenía dos padres, pero su abuelo tenía solo uno.¿cuántos tatarabuelos tuvo?,»>

Número de padres abuelos gran
los abuelos gran-gran-
los abuelos gran-gran-gran-
los abuelos de un MACHO de la abeja 1 2 3 5 8 de una abeja FEMENINA 2 3 5 8 13

Espirales y conchas

la Abeja de las poblaciones no son el único lugar en la naturaleza donde los números de Fibonacci se producen, también aparecen en las hermosas formas de conchas., Para ver esto, vamos a construir una imagen a partir de dos pequeños cuadrados de Tamaño 1 uno al lado del otro. En la parte superior de ambos dibuje un cuadrado de tamaño 2 (=1 + 1). Ahora podemos dibujar un nuevo cuadrado-tocando tanto uno de los cuadrados de la unidad y el último cuadrado del lado 2-sohaving lados 3 unidades de largo; y luego otro tocando tanto el 2-cuadrado y el 3-cuadrado (que tiene lados de 5 unidades). Podemos seguir sumando cuadrados alrededor de la imagen, cada nueva plaza tiene un lado que es tan largo como la suma de los dos últimos lados de la plaza., Este conjunto de rectángulos cuyos lados son dos números sucesivos de Fibonacci en longitud y que se componen de cuadrados con lados que son Fibonaccinumbers, llamaremos los rectángulos de Fibonacci.

Si ahora dibujamos un cuarto de círculo en cada cuadrado, podemos construir una espiral. La espiral no es una verdadera espiral matemática (ya que se compone de fragmentos que son partes de círculos y no se vuelve más pequeña y más pequeña), pero es una buena aproximación a una especie de espiral que aparece a menudo en la naturaleza., Tales Espirales (llamadas Espirales logarítmicas) se ven en la forma de conchas de caracoles y conchas marinas. La imagen de abajo de una sección transversal de una concha de nautilus muestra la curva espiral de la concha y las cámaras internas que el animal que la usa agrega a medida que crece. Las cámaras proporcionan flotabilidad en el agua.

Los números de Fibonacci también aparecen en plantas y flores. Algunas plantas se ramifican de tal manera que siempre tienen un número de Fibonacci de puntos de crecimiento. Las flores a menudo tienen un número Fibonacci de pétalos, margaritas pueden tener 34, 55 o incluso hasta 89 pétalos!,

una apariencia particularmente hermosa de los números de fibonacci está en las espirales de semillas en una cabeza de semilla. La próxima vez que veas un girasol, mira la disposición de las semillas en su centro. Parecen estar en espiral hacia afuera tanto a la izquierda como a la derecha.

En el borde de esta imagen de un girasol, si se tiene en cuenta que estas curvas de semillas de la espiral de la leftas de ir hacia el exterior, hay 55 espirales., En el mismo punto hay 34 espirales de semillas en espiral hacia la derecha.Un poco más hacia el centro y se pueden contar 34 espirales a la izquierda y 21 espirales a la derecha. El par de números (countingspirals curving left and curving right) son (casi siempre) vecinos en la serie Fibonacci.

lo mismo sucede en muchas cabezas de semillas y flores en la naturaleza., La razón parece ser que esta disposición forma un embalaje óptimo de las semillas de modo que, no importa cuán grande sea la cabeza de la semilla, se empacan uniformemente en cualquier etapa, todas las semillas son del mismo tamaño, sin apiñamiento en el centro y no demasiado dispersas en los bordes.

la naturaleza parece usar el mismo patrón para colocar pétalos alrededor del borde de una flor y colocar hojas alrededor de un tallo. Lo que es más, todos estos mantienen su eficacia a medida que la planta continúa creciendo y eso es mucho pedir de un proceso único! Entonces, ¿cómo crecen las plantas para mantener esta optimalidad del diseño?,

Golden growth

los botánicos han demostrado que las plantas crecen a partir de un solo grupo pequeño de células justo en la punta de cualquier planta en crecimiento, llamado meristemo. Hay un meristemo separado al final de cada rama o ramita donde se forman nuevas células. Una vez formadas, crecen en tamaño, pero las nuevas células solo se forman en tales puntos de crecimiento. Las células más temprano por el tallo se expanden y por lo tanto el punto de crecimiento se eleva.Además, estas células crecen en espiral: es como si el meristemo girara por un ángulo, produjera una nueva célula, girara de nuevo por el mismo ángulo, produjera una nueva célula, y así sucesivamente., Estas células pueden entonces convertirse en una semilla, una nueva hoja, una nueva rama, o tal vez en una flor se convierten en pétalos y estambres.

Lo sorprendente es que un solo ángulo fijo de rotación puede producir el diseño óptimo sin importar cuán grande crezca la planta., El principio de que un solo ángulo produce empaques uniformes sin importar cuánto crecimiento aparezca fue sospechado ya en el siglo pasado, pero solo se demostró matemáticamente en 1993 por Stéphane Douady e Yves Couder, dos matemáticos franceses. Hacer 0.618 de un turno antes de producir una nueva semilla (o hoja, pétalo, etc.) produce el empaque óptimo de las semillas sin importar el tamaño de la cabeza de la semilla. Pero, ¿de dónde viene este número mágico 0.618?,

la proporción áurea

Si tomamos la proporción de dos números sucesivos en la serie de Fibonacci,dividiendo cada uno por el número anterior, encontraremos la siguiente serie de números:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

si traza un gráfico de estos valores verá que parecen estar tendiendo a un límite, que llamamos la proporción áurea (también conocida como goldennumber y sección áurea).

tiene un valor de (aproximadamente 1.618034) y a menudo está representado por una letra griega Phi, escrita como . El valor estrechamente relacionado que escribimos como , una phi en minúsculas, es solo la parte decimal de Phi, a saber, 0.618034… (), el número que explica las espirales en las cabezas de semilla y la disposición de las hojas en muchas plantas. Pero, ¿por qué vemos phi en tantas plantas?

El número Phi (1.618034…), y por lo tanto también phi (0.618034…,), son números irracionales: no se pueden escribir como una simple fracción. Vamos a ver qué pasaría si el meristemo en una cabeza de semilla en su lugar girado por algún número más simple, por ejemplo, la fracción 1/2. Después de dos vueltas a través de la mitad de un círculo estaríamos de vuelta a donde se produjo la primera semilla. Con el tiempo, dar media vuelta entre semillas produciría una cabeza de semilla con dos brazos irradiando desde un punto central, dejando mucho espacio desperdiciado.

Una semilla en la cabeza producida por 0.,5 = 1/2 vueltas entre las semillas: las semillas alternas se alinean.

una cabeza de semilla producida por 0.48=12/25 vueltas entre semillas: las semillas forman dos brazos giratorios.

una cabeza de semilla producida por 0.6=3/5 vueltas entre semillas: las semillas forman 5 brazos rectos.,

algo similar sucede para cualquier otra fracción simple de un turno: las semillas crecen en brazos espirales que dejan mucho espacio entre ellos (el número de brazos es el denominador de la fracción). Así que el mejor valor para las vueltas entre semillas será un número irracional. Pero no cualquier número irracional servirá. Por ejemplo, la cabeza de semilla creada con vueltas pi por semilla parece tener siete brazos en espiral de semillas., Esto es porque 22/7 es una muy buena aproximación racional de pi.

lo que se necesita para no desperdiciar espacio es un número irracional que no está bien aproximado por un número racional. Y resulta que Phi (1.618034…) y su parte decimal phi (0.618034…) son los «más irracionales» de todos los números irracionales. (Puedes averiguar por qué en Chaos in number land: The secret life of continued fractions.) Esta es la razón por la que un giro de Phi da el embalaje óptimo de semillas y hojas en las plantas., También explica por qué los números de Fibonacci aparecen en la hoja de arreglos y como el número de espirales en las inflorescencias. Los números adyacentes de Fibonacci dan las mejores aproximaciones de la proporción áurea. Se turnan para ser el denominador de las aproximaciones y definen el número o espirales a medida que las cabezas de semillas aumentan de tamaño.

¿Cómo descubrieron tantas plantas este hermoso y útil número, Phi?Obviamente no de resolver las matemáticas como lo hizo Fibonacci., En cambio, asumimos que, así como la proporción de números sucesivos de Fibonacci se asienta eventualmente en la proporción áurea, la evolución se asienta gradualmente en el número correcto también. El legado de Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, se encuentra en el corazón de cada flor, así como en el corazón de nuestro sistema numérico.

más información

Si ha disfrutado de este artículo, puede visitar los números de Fibonacci y la sección dorada.

acerca de este artículo

Este artículo se basa en material escrito por el Dr. R., Knott, quien anteriormente fue profesor en el Departamento de Estudios de computación en la Universidad de Surrey. Knott comenzó el sitio web sobre los números de Fibonacci y la sección dorada en 1996 como un experimento en el uso de la web para inspirar y alentar más investigaciones matemáticas tanto dentro como fuera del tiempo escolar. Desde entonces ha crecido y ahora cubre muchos otros temas, todos con elementos interactivos y calculadoras en línea. Aunque ahora retirado, Knott todavía mantiene y extiende las páginas web., Actualmente es Profesor Visitante en la Universidad de Surrey y da charlas en todo el país a escuelas, universidades, conferencias y sociedades de matemáticas. También le gusta caminar, recreaciones matemáticas, cultivar cosas para comer y cocinarlas.