el método de elementos finitos (FEM) es una técnica numérica utilizada para realizar análisis de elementos finitos (FEA) de cualquier fenómeno físico dado.
es necesario utilizar las matemáticas para comprender y cuantificar de manera integral cualquier fenómeno físico, como el comportamiento estructural o de fluidos, el transporte térmico, la propagación de ondas y el crecimiento de células biológicas. La mayoría de estos procesos se describen utilizando ecuaciones diferenciales parciales (PDEs)., Sin embargo, para que una computadora resuelva estos eDP, las técnicas numéricas se han desarrollado en las últimas décadas y una de las más prominentes hoy en día es el método de elementos finitos.,
método de elementos finitos aplicaciones del método de elementos finitos
el método de elementos finitos con una promesa significativa en el modelado de varias aplicaciones mecánicas relacionadas con la ingeniería aeroespacial y civil. Las aplicaciones del método de elementos finitos solo ahora están empezando a alcanzar su potencial., Una de las perspectivas más interesantes es su aplicación en problemas acoplados como la interacción fluido-estructura, problemas Termomecánicos, termoquímicos, termoquímicos, biomecánicos, Ingeniería Biomédica, piezoeléctricos, ferroeléctricos y electromagnéticos.
en las últimas décadas se han propuesto muchos métodos alternativos, pero aún no se ha demostrado su aplicabilidad comercial. En resumen, FEM acaba de hacer un punto en el radar!
antes de comenzar con las ecuaciones diferenciales, es esencial leer el artículo sobre el software FEA en el SimWiki., Comienza con lo básico y progresa gradualmente a las ecuaciones diferenciales.
ecuaciones Fem Ecuaciones Diferenciales Parciales
En primer lugar, es importante entender los diferentes géneros de EDP y su idoneidad para su uso con MEF. Entender esto es particularmente importante para todos, independientemente de la motivación para usar el análisis de elementos finitos. Es fundamental recordar que FEM es una herramienta y cualquier herramienta es tan buena como su usuario.
Las eDP pueden ser categorizadas como elípticas, hiperbólicas y parabólicas., Al resolver estas ecuaciones diferenciales, se deben proporcionar condiciones de límite y/o iniciales. En función del tipo de EDP, se pueden evaluar los insumos necesarios. Ejemplos de EDP en cada categoría incluyen la ecuación de Poisson (elíptica), la ecuación de onda (hiperbólica) y la Ley de Fourier (parabólica).
Hay dos enfoques principales Para resolver las PDEs elípticas, a saber, los métodos de diferencia finita (FDM) y los métodos variacionales (o de energía). FEM cae en la segunda categoría. Los enfoques variacionales se basan principalmente en la filosofía de minimización de energía.,
Las eDP hiperbólicas se asocian comúnmente con saltos en soluciones. Por ejemplo, la ecuación de onda es una PDE hiperbólica. Debido a la existencia de discontinuidades (o saltos) en las soluciones, se creía que la tecnología FEM original (o método Bubnov-Galerkin) no era adecuada para resolver PDEs hiperbólicos. Sin embargo, a lo largo de los años, se han desarrollado modificaciones para ampliar la aplicabilidad de la tecnología FEM.
antes de concluir esta discusión, es necesario considerar la consecuencia de utilizar un marco numérico que no es adecuado para el tipo de PDE., Tal uso conduce a soluciones que se conocen como » impropiamente planteadas.»Esto podría significar que pequeños cambios en los parámetros del dominio conducen a grandes oscilaciones en las soluciones, o que las soluciones existen solo en una cierta parte del dominio o tiempo, que no son confiables. Las explicaciones bien planteadas se definen como aquellas en las que existe continuamente una solución única para los datos definidos. Por lo tanto, considerando la confiabilidad, es extremadamente importante obtener soluciones bien planteadas.,
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principio FEM de minimización de energía
¿Cómo funciona FEM? ¿Cuál es la principal fuerza impulsora? El principio de minimización de la energía forma la columna vertebral principal del método de elementos finitos. En otras palabras, cuando una condición de frontera particular se aplica a un cuerpo, esto puede conducir a varias configuraciones, pero solo una configuración particular es realísticamente posible o lograda., Incluso cuando la simulación se realiza varias veces, prevalecen los mismos resultados. ¿Por qué es así?
esto se rige por el principio de minimización de la energía. Establece que cuando se aplica una condición límite (como desplazamiento o fuerza), de las numerosas configuraciones posibles que el cuerpo puede tomar, solo esa configuración donde la energía total es mínima es la que se elige.,
método de elementos finitos historia del método de elementos finitos
técnicamente, dependiendo de la perspectiva de uno, se puede decir que FEM tuvo sus orígenes en el trabajo de Euler, ya en el siglo XVI. Sin embargo, los primeros documentos matemáticos sobre FEM se pueden encontrar en las obras de Schellback y Courant .
FEM fue desarrollado independientemente por ingenieros para abordar problemas de mecánica estructural relacionados con la ingeniería aeroespacial y civil. Los desarrollos comenzaron a mediados de la década de 1950 con los papeles de Turner, Clough, Martin y Topp, Argyris , y Babuska y Aziz ., Los libros de Zienkiewicz y Strang, y Fix también sentaron las bases para el desarrollo futuro en FEM.
Una revisión interesante de estos desarrollos históricos se puede encontrar en Oden . Una revisión del desarrollo de FEM en los últimos 75 años se puede encontrar en este artículo del blog: 75 años del método de elementos finitos.
Technical Fem Technical Overview of Finite Element Method
Finite element method is in itself a semestral course. En este artículo, se describe una descripción concisa del mecanismo de MEF. Considere un simple problema 1-D para representar las diversas etapas involucradas en FEA.,
forma débil
uno de los primeros pasos en FEM es identificar el PDE asociado al fenómeno físico. La PDE (o forma diferencial) se conoce como la forma fuerte y la forma integral se conoce como la forma débil. Considere el PDE simple como se muestra a continuación. La ecuación se multiplica por una función de prueba v (x) en ambos lados e integrada con el dominio .,
Ahora, mediante la integración de las partes, el lado izquierdo de la ecuación anterior puede ser reducido a
Como se puede observar, el orden de la continuidad necesaria para la función desconocida u(x) se reduce en uno. La ecuación diferencial anterior requería que u(x) fuera diferenciable al menos dos veces, mientras que la ecuación integral requiere que sea diferenciable solo una vez., Lo mismo es cierto para las funciones multidimensionales, pero las derivadas son reemplazadas por gradientes y divergencia.
sin entrar en las matemáticas, el teorema de representación de Riesz puede probar que hay una solución única para u (x) para la integral y por lo tanto la forma diferencial. Además, si f(x) es suave, también asegura que u (x) es suave.
discretización
Una vez configurada la forma integral o débil, el siguiente paso es la discretización de la forma débil., La forma integral debe resolverse numéricamente y, por lo tanto, la integración se convierte en una suma que se puede calcular numéricamente. Además, uno de los objetivos principales de la discretización es también convertir la forma integral en un conjunto de ecuaciones matriciales que se pueden resolver utilizando teorías bien conocidas del álgebra matricial.
Como se muestra en la Fig., 03, el dominio se divide en pequeñas piezas conocidas como» elementos «y el punto de esquina de cada elemento se conoce como un»nodo». Las U(x) funcionales desconocidas se calculan en los puntos nodales. Las funciones de interpolación se definen para cada elemento a interpolar, para los valores dentro del elemento, utilizando valores nodales. Estas funciones de interpolación también se conocen a menudo como funciones de forma o ansatz., Por lo tanto, la función u(x) desconocida se puede reducir a
donde nen Es el número de nodos en el elemento, Ni y ui son la función de interpolación y las incógnitas asociadas con el nodo i, respectivamente., la forma puede ser reescrita como
La suma de los esquemas pueden ser transformados en la matriz de productos y puede escribirse como
La forma débil ahora puede ser reducida a una forma de la matriz {u} = {f}
Nota por encima que el anterior juicio de la función v(x) que se habían multiplicado no existe en la matriz resultante de la ecuación., También aquí se conoce como la matriz de rigidez, {u} es el vector de incógnitas nodales, y {R} es el vector residual. Más adelante, utilizando esquemas de integración numérica, como La cuadratura de Gauss o Newton-Cotes, las integraciones en la forma débil que forma la rigidez tangente y el vector residual también se manejan fácilmente.
muchas matemáticas están involucradas en la decisión de elegir funciones de interpolación, lo que requiere el conocimiento de espacios funcionales (como Hilbert y Sobolev). Para más detalles en este sentido, las referencias enumeradas en el artículo «¿Cómo puedo aprender análisis de elementos finitos?,»se recomienda.
solucionadores
Una vez que se han establecido las ecuaciones de matriz, Las ecuaciones se pasan a un solucionador para resolver el sistema de ecuaciones. Dependiendo del tipo de problema, generalmente se utilizan solucionadores directos o iterativos. Una descripción más detallada de los solucionadores y cómo funcionan, así como consejos sobre cómo elegir entre ellos, están disponibles en el artículo del blog «¿Cómo elegir solucionadores: directos o iterativos?,»
tipos de FEM diferentes tipos de método de elementos finitos
como se discutió anteriormente, la tecnología fem tradicional ha demostrado deficiencias en el modelado de problemas relacionados con la mecánica de fluidos y la propagación de ondas. Recientemente se han realizado varias mejoras para mejorar el proceso de solución y ampliar la aplicabilidad del análisis de elementos finitos a una amplia gama de problemas., Algunos de los importantes que todavía se utilizan incluyen:
método de elementos finitos extendidos (XFEM)
El método Bubnov-Galerkin requiere continuidad de desplazamiento a través de los elementos. Aunque los problemas como el contacto, la fractura y el daño involucran discontinuidades y saltos que no pueden ser manejados directamente por el método de elementos finitos. Para superar esta deficiencia, XFEM nació en la década de 1990. xfem trabaja a través de la expansión de las funciones de forma con las funciones de paso Heaviside. Se asignan grados adicionales de libertad a los nodos alrededor del punto de discontinuidad para que se puedan considerar los saltos.,
método de elementos finitos generalizados (Gfem)
GFEM se introdujo casi al mismo tiempo que XFEM en los años 90. combina las características de los métodos tradicionales FEM y meshless. Las funciones de forma se definen principalmente por las coordenadas globales y se multiplican aún más por la partición de unidad para crear funciones de forma elemental locales. Una de las ventajas de GFEM es la prevención del Re-mallado alrededor de singularidades.
método de elementos finitos mixtos
en varios problemas, como el contacto o la incompresibilidad, se imponen restricciones utilizando multiplicadores de Lagrange., Estos grados adicionales de libertad que surgen de los multiplicadores de Lagrange se resuelven de forma independiente. El sistema de ecuaciones se resuelve como un sistema acoplado de ecuaciones.
hp-método de elementos finitos
hp-FEM es una combinación de refinamiento automático de malla (h-refinamiento) y un aumento en el orden de polinomios (P-refinamiento). Esto no es lo mismo que hacer refinamientos h y p por separado. Cuando se utiliza hp-refinamiento automático, y un elemento se divide en elementos más pequeños (h-refinamiento), cada elemento puede tener diferentes órdenes polinómicos también.,
El método discontinuo de elementos finitos de Galerkin (DG-FEM)
DG-FEM ha mostrado una promesa significativa para utilizar la idea de elementos finitos para resolver ecuaciones hiperbólicas, donde los métodos tradicionales de elementos finitos han sido débiles. Además, también ha mostrado mejoras en la flexión y problemas incompresibles que se observan típicamente en la mayoría de los procesos materiales. Aquí, se agregan restricciones adicionales a la forma débil que incluye un parámetro de penalización (para evitar la interpenetración) y términos para otro equilibrio de tensiones entre los elementos.,
conclusión FEM
esperamos que este artículo haya cubierto las respuestas a sus preguntas más importantes con respecto a lo que es el método de elementos finitos. Si desea verlo en la práctica, SimScale ofrece la posibilidad de realizar análisis de elementos finitos en el navegador web. Para descubrir todas las funciones proporcionadas por la plataforma de simulación basada en la nube de SimScale, descargue este resumen o vea la grabación de uno de nuestros seminarios web.
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