Finite Element Method – mikä se on? FEM-ja FEA Selitti

finite element method (FEM) on numeerinen menetelmä, jota käytetään suorittamaan finite element analysis (FEA) tahansa fyysinen ilmiö.

– Se on tarpeen käyttää matematiikan kattavasti ymmärtää ja mitata kaikki fysikaaliset ilmiöt, kuten rakenteellinen tai nesteen käyttäytyminen, lämpö-ja liikenne -, aalto lisääminen, ja kasvu biologisia soluja. Useimmat näistä prosesseista kuvataan osittaisdifferentiaaliyhtälöillä (PDEs)., Kuitenkin, tietokone ratkaisemaan näitä PDEs, numeerisia tekniikoita on kehitetty viime vuosikymmeninä ja yksi merkittävimmistä tänään on finite element method.,

finiitti-Elementti-menetelmš Sovelluksia Finite Element Method

Elementtimenetelmällä alkoi merkittävä lupaus mallinnus useita mekaanisia sovelluksia, jotka liittyvät ilmailu-ja vesirakentaminen. Äärellisen elementtimenetelmän sovellukset alkavat vasta nyt saavuttaa potentiaalinsa., Yksi mielenkiintoisimmista näkymät on sen soveltaminen yhdistettynä ongelmia, kuten neste-rakenne vuorovaikutus, termomekaaninen, kemiallisen, lämpö-chemo-mekaanisia ongelmia, biomekaniikan, biolääketieteen tekniikan, pietsosähköiset, ferroelectric, ja sähkömagnetiikka.

viime vuosikymmeninä on ehdotettu monia vaihtoehtoisia menetelmiä, mutta niiden kaupallista sovellettavuutta ei ole vielä todistettu. Lyhyesti sanottuna, FEM on juuri tehnyt välähdyksen tutkaan!

ennen differentiaaliyhtälöistä aloittamista on oleellista lukea Simwikistä artikkeli FEA-ohjelmistosta., Se alkaa perusasioista ja etenee vähitellen differentiaaliyhtälöihin.

FEM Yhtälöt Osittainen Differential Equations

Ensinnäkin, se on tärkeää ymmärtää eri genre of PDEs, ja niiden soveltuvuus käytettäväksi FEM. Tämän ymmärtäminen on erityisen tärkeää kaikille, riippumatta siitä, motivaatio käyttää äärellinen elementti analyysi. On tärkeää muistaa, että FEM on työkalu ja mikä tahansa työkalu on vain yhtä hyvä kuin sen käyttäjä.

PDEs voidaan luokitella soikeita, hyperboliset ja paraboliset., Näitä differentiaaliyhtälöitä ratkaistaessa on tarjottava raja-ja/tai alkuolosuhteet. PDE-tyypin perusteella voidaan arvioida tarvittavat panokset. Esimerkkejä PDEs kussakin kategoriassa ovat Poissonin yhtälö (ellipsinmuotoinen), Aaltoyhtälö (hyperbolinen) ja Fourier-laki (parabolinen).

On olemassa kaksi pääasiallista lähestymistapaa ratkaista ellipsinmuotoinen PDEs, nimittäin rajallinen ero menetelmiä (FDM) ja variational (tai energia) menetelmiä. FEM kuuluu toiseen kategoriaan. Variaatiomenetelmät perustuvat ensisijaisesti energian minimoinnin filosofiaan.,

hyperboliset PDEs: T liittyvät yleisesti ratkaisuissa tapahtuviin hyppyihin. Esimerkiksi aaltoyhtälö on hyperbolinen PDE. Koska olemassaolo epäjatkuvuuskohtia (tai hyppyjä) ratkaisuja, alkuperäinen FEM-tekniikka (tai Bubnov-Galerkin-Menetelmä) uskottiin olevan sopimaton ratkaisemaan hyperbolinen PDEs. FEM-teknologian sovellettavuuden laajentamiseksi on kuitenkin kehitetty vuosien saatossa muutoksia.

ennen tämän keskustelun päättämistä on tarpeen pohtia, mitä seuraa, jos käytetään numeerista kehystä, joka ei sovellu PDE: n tyypille., Tällainen käyttö johtaa ratkaisuihin, jotka tunnetaan nimellä ” väärin esitetty.”Tämä voi tarkoittaa, että pienet muutokset domain parametrit johtavat suuret heilahtelut ratkaisuja, tai ratkaisuja on olemassa vain tietyllä osa-alueella tai aikaa, jotka eivät ole luotettavia. Hyvin aiheutetut selitykset määritellään sellaisiksi, joissa yksilöivä ratkaisu on jatkuvasti olemassa määriteltyjä tietoja varten. Siksi, kun otetaan huomioon luotettavuus, on erittäin tärkeää saada hyvin aikaan ratkaisuja.,

Lataa ’Vinkkejä Arkkitehtuuri -, Insinööri – & Rakentaminen (AEC)’ valkoinen kirja oppia, miten optimoida malleja!

Fem energian minimoinnin periaate

miten FEM vaikuttaa? Mikä on ensisijainen liikkeelle paneva voima? Energian minimoinnin periaate muodostaa äärellisen elementtimenetelmän ensisijaisen selkärangan. Toisin sanoen, kun tietyn reunaehto on sovellettu kehon, tämä voi johtaa useita kokoonpanoja, mutta silti vain yksi tietty kokoonpano on realistisesti mahdollista tai saavuttaa., Silloinkin, kun simulaatio suoritetaan useita kertoja, samat tulokset vallitsevat. Miksi näin on?

Tämä ohjaa periaate minimointi energiaa. Siinä todetaan, että kun reunaehto (kuten siirtymä-tai voima) on sovellettu, on useita mahdollisia kokoonpanoja, että keho voi ottaa, vain, että kokoonpano, jossa koko energia on minimi on yksi, joka on valittu.,

finiitti-Elementti-menetelmš Historian Finite Element Method

Teknisesti, riippuen näkökulmasta, FEM voidaan sanoa on saanut alkunsa työn Euler, jo vuonna 16-luvulla. Kuitenkin varhaisimmat matemaattiset paperit FEM löytyy teoksia Schellback ja Courant .

fem kehitettiin itsenäisesti insinöörien toimesta ilmailu-ja vesirakentamiseen liittyvien rakennemekaniikan ongelmien ratkaisemiseksi. Kehitys alkoi 1950-luvun puolivälissä paperit Turner, Clough, Martin, ja Topp , Argyris , ja Babuska ja Aziz ., Kirjat Zienkiewicz ja Strang, ja Fix loi myös perustan tulevalle kehitykselle FEM.

mielenkiintoinen katsaus näihin historiallisiin tapahtumiin löytyy Odenista . Katsaus FEM-kehitykseen viimeisten 75 vuoden aikana löytyy tästä blogikirjoituksesta: 75 vuotta Finite Element-menetelmästä.

Tekniset FEM Tekninen Yleiskatsaus, Finite Element Method

Finite element method on itsessään lukukauden kurssi. Tässä artiklassa kuvataan suppea kuvaus FEM: N mekanismista. Harkitse yksinkertainen 1-D ongelma kuvaamaan eri vaiheissa mukana FEA.,

Heikko Muoto

Yksi ensimmäisistä vaiheet FEM on tunnistaa PDE liittyy fyysinen ilmiö. PDE (tai differentiaalimuoto) tunnetaan vahvana muotona ja integraalimuoto tunnetaan heikkona muotona. Harkitse yksinkertainen PDE kuten alla. Yhtälö kerrotaan kokeilutoiminnolla v (x) molemmin puolin ja integroidaan verkkotunnukseen .,

Nyt, käyttäen integrointi osat, LHS edellä yhtälö voidaan vähentää

Koska se voidaan nähdä, jotta jatkuvuus tarvitaan tuntematon funktio u(x) on vähennetty yksi. Aiemmin differentiaaliyhtälön vaadittu u(x) on derivoituva ainakin kahdesti, kun integraaliyhtälö vaatii se olla derivoituva vain kerran., Sama pätee multi-ulotteinen toimintoja, mutta johdannaiset korvataan kaltevuudet ja eroja.

Ilman menee matematiikka, Riesz edustus lause voidaan todistaa, että on ainutlaatuinen ratkaisu u(x) integraali ja siten ero muodossa. Lisäksi, jos f(x) on sileä, se myös varmistaa, että u(x) on sileä.

Diskretointi

Kun kiinteä tai heikko muoto on määritetty, seuraava askel on diskretointi heikko muodossa., Kiinteä muoto on ratkaistava numeerisesti ja siten integrointi muutetaan summaus, joka voidaan laskea numeerisesti. Lisäksi yksi tärkeimmistä tavoitteista diskretointi on myös muuntaa kiinteä muoto joukko matrix-yhtälöt, jotka voidaan ratkaista käyttämällä tunnettuja teorioita matrix algebra.

Kuten on esitetty Kuviossa., 03, verkkotunnus on jaettu pieniin paloihin tunnetaan ” elementtejä ”ja kulmapiste kunkin elementin tunnetaan”solmu”. Tuntematon funktionaalinen u(x) lasketaan solmukohdista. Interpolointi toiminnot ovat määritelty kunkin elementin interpoloida, arvojen sisällä elementti, käyttäen solmukohtien arvoja. Näitä interpolointifunktioita kutsutaan usein myös muoto-tai ansatz-funktioiksi., Näin tuntematon toiminnallinen u(x) voidaan vähentää

nen, jossa on useita solmuja elementti, Ni ja ui ovat interpolointi funktio ja tuntemattomia liittyy solmun i, vastaavasti., lomake voidaan kirjoittaa muotoon

summattu järjestelmiä voidaan muuntaa matriisi tuotteita, ja se voidaan kirjoittaa uudelleen

heikko muoto voidaan nyt vähentää matriisin muodossa {u} = {f}

Huomaa edellä, että aikaisemmassa oikeudenkäynnissä funktio v(x) että oli kerrottu ei enää ole olemassa tuloksena matriisi yhtälö., Myös tässä tunnetaan jäykkyysmatriisi, {u} on solmujen tuntemattomien vektori ja {R} on jäännösvektori. Edelleen, käyttäen numeerista integrointia järjestelmien, kuten Gauss tai Newton-Cotes quadrature, integraatiot heikko muoto, joka muodostaa tangentti jäykkyys ja jäljellä oleva vektori on myös helppo käsitellä.

– paljon matematiikka on mukana päätöksen valita interpolointi toimintoja, joka edellyttää tietämystä toiminnalliset tilat (kuten Hilbert ja Sobolev). Lisätietoja tästä aiheesta on artikkelissa ” Miten voin oppia äärellisen Elementtianalyysin?,”suositellaan.

Ratkaisijoita

Kun matrix yhtälöt on perustettu, yhtälöt siirtyvät ratkaisija ratkaista järjestelmän yhtälöt. Ongelman tyypistä riippuen käytetään yleensä suoria tai iteratiivisia ratkaisijoita. Tarkempi katsaus ratkaisussa ja miten ne toimivat, sekä vinkkejä siitä, miten valita niiden välillä, ovat saatavilla blogin artikkeli ”Miten Valita Solvers: Suora tai Iteratiivinen?,”

Tyypit FEM Erilaisia Finite Element Method

Kuten aiemmin, perinteisessä FEM-teknologia on osoittanut puutteita mallintamiseen liittyviä ongelmia virtausmekaniikka ja aallon etenemisnopeus. Useita parannuksia on tehty viime aikoina parantamaan ratkaisu prosessi ja laajentaa soveltaminen finite element analysis monenlaisia ongelmia., Joitakin tärkeitä asioita yhä olla käytetty ovat:

Laajennettu Finite Element Method (XFEM)

Bubnov-Galerkin menetelmä vaatii jatkuvuutta siirtymä eri elementtejä. Vaikka ongelmat, kuten kontakti, murtuma, ja vaurio liittyvät epäjatkuvuuteen ja hyppyihin, joita ei voida suoranaisesti käsitellä äärellisellä elementtimenetelmällä. Voittaa tämän puutteen, XFEM oli syntynyt 1990-luvulla. XFEM toimii laajentamalla muoto toimintoja Heaviside step toiminnot. Ylimääräiset vapausasteet osoitetaan epäjatkuvuuden pisteen ympärillä oleviin solmuihin, jotta hyppyjä voidaan harkita.,

Yleistynyt Finite Element Method (GFEM)

GFEM otettiin käyttöön samoihin aikoihin kuin XFEM 90-luvulla. Siinä yhdistyvät ominaisuudet perinteisen FEM ja meshless menetelmiä. Muotofunktiot määritellään ensisijaisesti globaalien koordinaattien avulla ja kerrotaan edelleen yhtenäisyyden jakautumisella paikallisten elementtimuotofunktioiden luomiseksi. Yksi GFEM: n eduista on singulariteettien uudelleenmuotoilun estäminen.

Sekafiniittielementtimenetelmä

useissa ongelmissa, kuten kosketuksessa tai keskeneräisyydessä, asetetaan rajoituksia Lagrangen kertoimilla., Nämä Lagrangen kertoimista johtuvat ylimääräiset vapausasteet ratkaistaan itsenäisesti. Yhtälöjärjestelmä ratkeaa kuin kytketty yhtälöjärjestelmä.

hp-Finite Element Method

hp-FEM on yhdistelmä automaattinen mesh hienostuneisuus (s-jalostus) ja kasvua, jotta polynomi (p-jalostus). Tämä ei ole sama asia kuin h – ja p – tarkennusten tekeminen erikseen. Kun käytetään automaattista hp-hienostuneisuutta ja elementti jaetaan pienempiin alkuaineisiin (h-hienostuneisuus), jokaisella alkuaineella voi olla myös erilaiset polynomitilaukset.,

Epäjatkuva Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM on osoittanut merkittäviä lupaus hyödyntäen ajatus elementtisuunnittelun ratkaista hyperbolic yhtälöt, jossa perinteinen elementtimenetelmät on ollut heikko. Lisäksi, se on myös osoittanut parannuksia taivutus ja incompressible ongelmia, jotka ovat yleensä havaittu useimmissa materiaali prosesseja. Täällä, muita rajoitteita lisätään heikko muoto, joka sisältää rangaistus parametri (estää vuorovaikutusta) ja muut ehdot tasapainon korostaa elementtien välillä.,

FEM Johtopäätös

toivomme, että tämä artikkeli on katettu vastauksia tärkeimpiin kysymyksiin siitä, mitä on finite element method. Jos haluat nähdä sen käytännössä, SimScale tarjoaa mahdollisuuden tehdä rajallisia elementtianalyysejä verkkoselaimessa. Löytää kaikki ominaisuudet tarjoamia SimScale pilvi-pohjainen simulointi alustan, lataa tämä katsaus tai katsella tallenne yksi webinaareistamme.

Materiaalit saada alkoi kanssa SimScale löytyy blogin artikkeli ”9 Oppimisen Resursseja, joilla pääset Alkuun kanssa Engineering Simulointi”.,