Fourier-analyysi

(Jatkuva), Fourier-transformEdit

Useimmiten, kvalifioimaton aikavälin Fourier-muunnos viittaa muuttaa toimintojen jatkuva todellinen argumentti, ja se tuottaa jatkuvaa toiminta-taajuus, joka tunnetaan taajuus jakelu. Yksi funktio muuntuu toiseksi, ja toiminta on käännettävissä., Kun domain input (alkuperäinen) – toiminto on aika (t) ja toimialueen lähtö (lopullinen) – toiminto on tavallinen taajuus, muuttaa funktion s(t) taajuudella f annetaan monimutkainen numero:

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t ) ⋅ e − i 2 π f t d t . {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}

tämän määrän arvioiminen kaikille F: n arvoille tuottaa taajuusalueen funktion., Niin s(t) voidaan esittää rekombinaatio monimutkaisia exponentials kaikki mahdolliset taajuudet:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e-i 2 π f t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{2\pi ft}\,df}

mikä on käänteinen muunnos kaavalla. Kompleksiluku S (f)välittää sekä amplitudin että taajuuden f vaiheen.,

Katso Fourier-muunnos for paljon enemmän tiedot, mukaan lukien:

• yleissopimusten amplitudi normalisointi ja taajuuden skaalaus/yksiköt
• muuttaa ominaisuuksia
• taulukoitu muuttaa tiettyjä toimintoja
• laajennus/yleistys toiminnot useita mitat, kuten kuvia.,

Fourier seriesEdit

Fourier-muunnos on jaksollinen funktio, sP(t), joiden aikana S, tulee Diracin kampa-toiminto, moduloitu, jonka järjestys monimutkaisia kertoimia:

S = 1 P ∫ S s S ( t ) ⋅ e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z}} (missä ∫P on integraali yli välin pituus P).,

käänteinen muunnos, joka tunnetaan Fourier-sarja, on edustus sP(t) kannalta summattu mahdollisesti ääretön määrä harmonisesti liittyvät sinusoids tai monimutkaisia eksponentiaalinen toiminnot, kunkin kanssa amplitudi ja vaihe määritelty yksi kertoimet:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k, P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ N ⋅ e-i 2 π k P t . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S -\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

Kaikki sP(t) voi olla ilmaistu määräajoin summattu toinen funktio s(t):

s P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m-P ) , {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

ja kertoimet ovat suhteessa näytteet S( n ) diskreetti välein 1/S:

S = 1 P ⋅ S ( k-P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}

Huomaa, että s(t), joiden muunnos on sama diskreetti otos arvoja voidaan käyttää määräajoin summattu. Riittävä edellytys s(t) (ja siten s( f)): n saamiselle pelkästään näistä näytteistä (ts., alkaen Fourier-sarja) on, että ei-nolla-osa s(t) rajoittuu tunnettu välein kesto P, joka on taajuusalueen dual Nyquist–Shannon sampling theorem.

Katso Fourier-sarjasta lisätietoja, mukaan lukien historiallinen kehitys.

Discrete-time Fourier-muunnos (DTFT)Muokkaa

DTFT on matemaattinen dual time-domain Fourier-sarja.,e-kertoimet ovat näytteitä liittyvä jatkuva aika-toiminto:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k, T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ n ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ Fourier-sarja (DTFT) ⏟ Poisson summattu kaavaa = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n-T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier-sarja (DTFT)}}} _{\text{Poisson summattu kaavaa}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

joka tunnetaan DTFT., Näin ollen s-sarjan dtft on myös moduloidun Dirac-kampafunktion Fourier-muunnos.

Fourier-sarjan kertoimia (ja käänteinen muunnos), on määritelty:

s ≜ T ∫ 1 T T 1 T ( f ) ⋅ e-i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e-i 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n-T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

Parametri T vastaa näytteenottoväli, ja tämä Fourier-sarja voidaan nyt tunnustettu muoto Poisson summattu kaavaa. Näin meillä on tärkeä tulos, että kun diskreetti tietojen järjestys -, s -, on verrannollinen näytteiden taustalla jatkuva funktio s(t), yksi voi tarkkailla määräajoin summattu jatkuva Fourier-muunnos, S( f ). Huomaa, että s(t) samalla erillinen näyte arvot tuottaa saman DTFT Mutta tietyissä idealisoitu ehtoja voi teoriassa palauttaa S( f ) ja s(t) tarkalleen., Riittävä edellytys täydellinen elpyminen on, että ei-nolla osa S( f ) rajoittuu tunnettu taajuus väli, joiden leveys on 1/T. Kun se väli on , sovelletaan jälleenrakentamiseen kaava on Whittaker–Shannon interpoloimalla kaavaa. Tämä on kulmakivi digitaalisen signaalinkäsittelyn perustuksissa.

Toinen syy olla kiinnostunut S1/T( f ) on, että se usein tarjoaa tietoa määrä aliasing aiheuttama näytteenotto prosessi.

DTFT: n sovellukset eivät rajoitu otokseen valittuihin toimintoihin.,ing (finite-pituus sekvenssit)

muuttaa ominaisuuksia

taulukoitu muuttaa tiettyjä toimintoja

Diskreetti Fourier-muunnos (DFT)Muokkaa

Samanlainen Fourier-sarja, DTFT määräajoin järjestyksessä, sN, jolla ajan N, tulee Diracin kampa-toiminto, moduloitu, jonka järjestys monimutkaisia kertoimia (ks. DTFT § Määräajoin tiedot):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N N , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z}} (missä ∑n on summa yli tahansa sekvenssin pituus on N).,

S-sekvenssi on se, mikä tavallisesti tunnetaan SN: n yhden syklin DFT: nä. Se on myös n-jaksollinen, joten ei ole koskaan tarpeen laskea enemmän kuin N kertoimet. Käänteinen muunnos, joka tunnetaan myös nimellä diskreetti Fourier-sarja, saadaan:

s. N = 1 N ∑ k S ⋅ e i 2 π n n k {\displaystyle s_{N}={\frac {1}{N}}\sum _{k}S\cdot e^{2\pi {\frac {n}{N}}k},}, missä ∑k on summa yli tahansa sekvenssi pituus N.,

Kun sN on ilmaistu määräajoin summattu toinen tehtävä:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s} ja s ≜ s ( n-T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT),}

kertoimet ovat suhteessa näytteet S1/T( n ) diskreetti välein 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S 1 T ( k-S ) . {\displaystyle S={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).,}

Toisaalta, kun yksi haluaa laskea mielivaltaisen määrän (N) diskreetti näytteitä yhden jakson jatkuva DTFT, S1/T( f ), se voidaan tehdä laskemalla suhteellisen yksinkertainen DFT sN, kuten edellä on määritelty. Useimmissa tapauksissa, N on valittu yhtä pitkä ei-nolla-osa s. Kasvaa N, joka tunnetaan nimellä nolla-padding tai interpolointi, johtaa enemmän lähekkäin näytteitä yhden jakson S1/T( f ). Vähentää N, aiheuttaa päällekkäisyyttä (lisäämällä) time-domain (analoginen aliasing), joka vastaa decimation-in taajuusalueella., (ks. DTFT § Näytteenotto DTFT) useimmissa tapauksissa käytännön etua, s sekvenssi edustaa pidempi sekvenssi, joka oli katkaistu sovelluksen rajallinen pituus-ikkunan toiminto tai FIR-suodatin array.

DFT voidaan laskea fast Fourier transform (FFT) – algoritmilla, joka tekee siitä käytännöllisen ja tärkeän muunnoksen tietokoneissa.,

Katso Diskreetti Fourier-muunnos for paljon enemmän tiedot, mukaan lukien:

• muuttaa ominaisuuksia
• sovellukset
• taulukoitu muuttaa tiettyjä toimintoja

SummaryEdit

säännöllistä toiminnot, sekä Fourier-muunnos ja DTFT käsittää vain diskreetti joukko taajuus komponentteja (Fourier-sarja), ja muunnokset eroavat noita taajuuksia. Yksi yleinen käytäntö (ei käsitellä edellä) on käsitellä tätä eroa kautta Dirac Delta ja Dirac kampa toimintoja., Mutta sama spektritieto voidaan havaita vain yhdestä jaksollisen funktion syklistä, koska kaikki muut syklit ovat identtisiä. Samoin, finite-duration toiminnot voidaan esittää Fourier-sarja, jossa ei ole varsinaista tietojen menetys, paitsi että jaksotus käänteinen muunnos on pelkkä esine.

käytännössä on tavallista, että s: n(•) kesto rajoitetaan ajanjaksoon, P: hen tai N: hen.,

Symmetria propertiesEdit

Kun todellinen ja kuvitteellinen osat monimutkainen toiminto on hajotetaan niiden parilliset ja parittomat osia on neljä osia, merkitään alla alaindeksejä, RE, RO, IE, ja IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Vastaavasti tasasymmetrinen muunnos merkitsee reaaliarvoista aika-aluetta.
• muuttaa kuvitteellinen-arvoksi funktio (i sIE+ i sIO) on pariton ja symmetrinen funktio SRO+ i SIE, ja päinvastainen on totta.
• muuttaa vielä-symmetrinen funktio (sRE+ i sIO) on reaaliarvoinen funktio SRE+ SRO, ja päinvastainen on totta.
• muuttaa outo-symmetrinen funktio (sRO+ i sIE) on kuvitteellinen-arvoksi funktio en SIE+ i SIO, ja päinvastainen on totta.,

Fourier-muunnos on mielivaltainen paikallisesti kompakti topologinen abelin groupsEdit

Fourier-muunnokset voidaan myös yleistää Fourier-muunnos on mielivaltainen paikallisesti kompakti topologinen Abelin ryhmiä, jotka ovat tutkittu harmoninen analyysi; siellä, Fourier-muunnos kestää toimintoja ryhmän toimintoja dual-ryhmä. Tämä hoito mahdollistaa myös yleinen muotoilu konvoluutio lause, joka liittyy Fourier-muuntaa, ja convolutions. Katso myös Pontryagin duality for the generalized understandings of the Fourier transform.,

tarkempi, Fourier-analyysi voidaan tehdä cosets, jopa diskreetti cosets.

Aika–taajuus transformsEdit

signaalin käsittelyn kannalta, toiminto (aikaa) on edustus signaalin kanssa täydellinen aika päätöslauselman, mutta ei taajuuden tiedot, kun Fourier-muunnos on täydellinen taajuus päätöslauselma, mutta ei ole aikaa tietoa.,

vaihtoehtoina Fourier-muunnos, aika–taajuus analyysi, yksi käyttää aika–taajuus muuntaa edustamaan signaaleja muodossa, joka on jonkin aikaa tietoa ja joitakin taajuus tiedot – epävarmuus periaate, siellä on kompromissi näistä., Nämä voivat olla yleistyksiä Fourier-muunnos, kuten short-time Fourier transform, Gabor-muunnos tai murto Fourier-muunnos (FRFT), tai voit käyttää eri toimintoja edustavat signaalit, kuten wavelet-muunnokset ja chirplet transforms, jossa wavelet analoginen (jatkuva), Fourier-muunnos on jatkuva wavelet-muunnos.