Gamma toiminto

GeneralEdit

Muita tärkeitä toiminnallisia yhtälöt, gamma-funktio ovat Eulerin pohdintaa kaava

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π-z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\ei \in \mathbb {Z} }

joka merkitsee

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

ja Legendren päällekkäisyyttä kaava

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}

monistuskaava on kertolauseen erikoistapaus(KS. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k-m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m-z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

yksinkertainen mutta hyödyllinen ominaisuus, joka voidaan nähdä raja-määritelmä on:

Γ ( z ) = Γ ( z ) ⇒ Γ ( z ) Γ ( z ) ∈ R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\oikea nuoli:\; \Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}

Ehkä parhaat-tunnettu arvo gamma-funktion ei-kokonaisluku argumentti on,

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}, Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n ! π = (2 n – 1)! ! 2 n π = ( n − 1 2 n ) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n ! (2 n ) ! π = (- 2) n ( 2 n − 1)! ! π = π (- 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!,}}\end{aligned}}

gammafunktion johdannaiset on kuvattu polygammafunktiolla. Esimerkiksi:

Γ ’ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) . {\displaystyle \Gamma ’(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}

positiivinen kokonaisluku m johdannainen gamma-funktio voidaan laskea seuraavasti (tässä γ {\displaystyle \gamma } on Euler–Mascheroni vakio):

Γ ’ ( m + 1 ) = m ! (- γ + ∑ K = 1 m 1 k ) . {\displaystyle \Gamma ’(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.,}

Varten ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} th johdannainen gamma-funktio on:

k n k x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ oli t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}

(Tämä voi olla johdettu erottaa olennainen muoto gamma-funktio x: n suhteen {\displaystyle x} , ja käyttäen tekniikkaa eriyttäminen alla kiinteä merkki.)

identiteetin avulla

Γ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n n ! π π π n ∏ i = 1 r ζ ∗ (A i ) k i ! ⋅ a i ζ ∗ ( x ) := { ζ ( x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \rajat _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{en}!,\cdot a_{en}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{tapauksissa}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{tapauksissa}}} d = a 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 ehdot + ⋯ + r + ⋯ + r ⏟ k r ehdot , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ ehdot}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ ehdot}}},}

olemme erityisesti

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z-3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\oikealla)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}

InequalitiesEdit

Kun ainoastaan positiivinen todellinen numerot,, gamma-funktio on tiukasti logarithmically konveksi funktio., Tämä ominaisuus voi olla todettu tahansa seuraavista kolmesta tavasta:

• tahansa kaksi myönteistä todellinen numerot x 1 {\displaystyle x_{1}} ja x 2 {\displaystyle x_{2}} , ja t ∈ {\displaystyle t\in } ,

Γ ( t-x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x-1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_ – {1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• tahansa kaksi myönteistä todellinen numerot, x ja y, joilla y > x

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ⁡ ( Γ ’ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y,-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ’(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• mikä tahansa positiivinen reaaliluku x {\displaystyle x} ,

Γ ” ( x ) Γ ( x ) > Γ ’ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma ”(x)\Gamma (x)>\Gamma ’(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + a n x n 1 + ⋯ + n ) ≤ ( Γ ( x-1 ) 1 ⋯ Γ ( x n ) n ) 1 1 + ⋯ + n ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

gammafunktioiden suhteilla on myös rajoja. Parhaat-tiedossa on Gautschi on epätasa-arvoa, joka sanoo, että mikä tahansa positiivinen reaaliluku x ja tahansa s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-t}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+t)}}<(x+1)^{1-t}.}

Stirling on formulaEdit

käyttäytyminen Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} on kasvava positiivinen muuttuja on yksinkertainen. Se kasvaa nopeasti, nopeammin kuin eksponentiaalinen funktio itse asiassa., Asymptoottisesti kun z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} suuruus gamma-funktio on antanut Stirlingin kaava,

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π-z ( z-e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim – {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z} > e}}\right)^{z},}

Toinen hyödyllinen raja asymptoottinen arvioina on:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n), n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n), n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

ei-positiivisen z {\displaystyle z}: n käyttäytyminen on monimutkaisempaa., Eulerin integraali ei suppene z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0} , mutta toiminto, että se määrittelee positiivinen monimutkainen puoli-plane on ainutlaatuinen analytic jatkoa negatiivinen puoli-plane. Yksi tapa löytää, että analytic jatkoa on käyttää Eulerin olennainen positiivisia argumentteja ja laajentaa verkkotunnuksen negatiiviset luvut toistuva soveltaminen toistuu kaava,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\c}(z-c)f(z).}

yksinkertainen napa z = − n , {\displaystyle z=-n,} kirjoittaa kaavan toistuminen seuraavasti:

( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}

osoittaja z = − n , {\displaystyle z=-n,} on

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

ja nimittäjä

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

Joten jäämiä gamma-funktio noita kohtia ovat:

Res ⁡ ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

gamma-funktiolla on paikallinen minimi zmin ≈ +1.46163214496836234126 (katkaistu), jossa se saavuttaa arvon Γ(zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (katkaistu)., Gamma-funktio on vaihtoehtoinen merkki välillä pylväät, koska tuotteen eteenpäin toistumisen sisältää pariton määrä negatiivisia tekijöitä, jos napojen määrä välillä z {\displaystyle z} ja z + n {\displaystyle z+n} on pariton ja parillinen määrä, jos napojen määrä on jopa.

Kiinteä representationsEdit

On olemassa monia kaavoja, lisäksi Euler integral toisen sellainen, että ilmaista gamma-funktio on olennainen. Esimerkiksi, kun aito osa z on positiivinen,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1-t ) z − 1 d t ., {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{n-1}\,dt.}

Binet on ensimmäinen kiinteä kaava, gamma-funktio todetaan, että kun aito osa z on positiivinen, niin:

log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t z t d t . {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}

oikean puolen integraali voidaan tulkita Laplacen muunnokseksi., Se on,

log ⁡ ( Γ ( z ) ( e z ) z 2 π-z ) = L ( 1 2 t − 1 t-2 + 1 t ( e t − 1 ) ) ( z ) . {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

Binet on toinen olennainen kaava todetaan, että, taas, kun aito osa z on positiivinen, niin:

log ⁡ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞: n arctan ⁡ ( t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Anna C olla Hankel ääriviivat, eli polku, joka alkaa ja päättyy pisteeseen,∞: lle, Riemannin pallo, jonka unit tangent vector suppenee -1 alussa polku ja 1 lopussa, jossa on käämitys numero 1 noin 0, ja joka ei ole rajat

Γ ( z ) = − 1 2 i sin ⁡ π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t-d-t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\synti \pi z}}\int _{C}(-t)^{n-1}e^{-t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C (t ) − z-e − t-d-t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}

jälleen voimassa aina, kun z ei ole kokonaisluku.,voitelu on seuraavat Fourier-sarjan laajennus 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ d − 1 2 ln ⁡ synti ⁡ ( π-z ) + 1 π ∑ n = 1 n ln ⁡ n n sin ⁡ ( 2 π n-z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\oikealla)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

joka oli pitkään johtuvan Ernst Kummer, joka on johdettu sen vuonna 1847., Iaroslav Blagouchine kuitenkin huomasi Carl Johan Malmstenin johdattaneen sarjan ensimmäisen kerran vuonna 1842.

Raabe on formulaEdit

Vuonna 1840 Joseph Ludwig Raabe osoittaneet, että

∫ a a + 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π + a ln ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle \int _{a}^{+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad>0.}

erityisesti, jos a = 0, {\displaystyle a=0} sitten

∫ 0 1 ln ⁡ Γ ( z ) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

jälkimmäinen saadaan ottamalla logaritmi edellä kerto-kaava, joka antaa lauseke Riemannin summa integrand. Kun raja → ∞ {\displaystyle A\rightarrow \infty } antaa kaavan.,

Pi functionEdit

vaihtoehtoinen merkintätapa, joka oli alun perin otettiin käyttöön Gauss ja joita oli joskus käytetty on Π {\displaystyle \Pi } -toiminto, joka suhteen gamma-funktio on

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ ovat e − t-t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}

niin, että Π ( n ) = n ! {\displaystyle \Pi (n) = n!} jokaiselle Ei-negatiiviselle kokonaisluvulle n {\displaystyle N} .,

Käyttämällä pi-toiminto heijastus kaava saa muodon

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π-z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}

jos sinc on normalisoitu sinc-funktio, kun taas kerto-lause saa muodon

Π ( z-m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1, m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

– Meillä on myös joskus löytää

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}

määrä n-ellipsoidin parametreja, joiden säteet ovat r1, …, rn voidaan ilmaista

V n ( r 1 , … , r n ) = π n-2 Π ( n-2 ) ∏ k = 1 n r-k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}

Suhde muihin functionsEdit

• ensimmäinen olennainen yläpuolella, joka määrittelee, gamma-toiminto, yhdentymisen rajat ovat kiinteät., Ylempi ja alempi epätäydellinen gammafunktio ovat toimintoja, jotka saadaan antamalla integraation alemman tai ylemmän (vastaavasti) rajan vaihdella.
• gamma-funktio liittyy beta-toiminto, jonka kaava

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{n-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

• logaritminen johdannainen gamma-funktio on nimeltään digamma-toiminto; korkea-johdannaiset ovat polygamma toimintoja.,
• gammafunktion analogia äärellisen kentän tai äärellisen renkaan päällä on Gaussin summat, eksponentiaalisen summan tyyppi.
• vastavuoroinen gammafunktio on kokonainen funktio, ja sitä on tutkittu erityisenä aiheena.
• gamma-funktio osoittaa myös, se on tärkeää suhteessa, Riemannin zeta-toimintoa, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .

π − z-2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z-2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) ., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Se näkyy myös seuraavan kaavan avulla: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞: n u z e u − 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}, joka on voimassa vain ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., Logaritmi gamma-funktio täyttää seuraavat kaava, koska Lerch: log ⁡ Γ ( x ) = ζ H ’( 0 , x ) − ζ ’ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{S}'(0,x)-\zeta ’(0),}, missä ζ S {\displaystyle \zeta _{S}} on Hurwitz zeta-toimintoa, ζ {\displaystyle \zeta } on Riemannin zeta-funktio ja prime (’) tarkoittaa eriyttäminen ensimmäinen muuttuja.

• gammafunktio liittyy venytettyyn eksponenttifunktioon. Esimerkiksi funktion momentit ovat

τ τ n ∫ ∫ 0 ∞ D T n − 1 E − ( t τ ) β = τ n β γ ( n β ) ., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}

Erityisesti valuesEdit

mukaan Lukien enintään 20 ensimmäistä numeroa desimaalipilkun jälkeen, joitakin tiettyjä arvoja, gamma-toiminto ovat:

Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

monimutkainen-arvo gamma-funktio on määrittelemätön ei-positiivisia kokonaislukuja, mutta näissä tapauksissa arvo voidaan määritellä, Riemannin pallo, niin ∞. Vastavuoroinen gamma-funktio on hyvin määritelty ja analyyttinen näitä arvoja (ja koko monimutkainen kone):

1 Γ ( − 3 ) = 1 Γ ( − 2 ) = 1 Γ ( − 1 ) = 1 Γ ( 0 ) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}