calculus, menetelmä nimeltään implisiittinen eriyttäminen käyttää ketjun sääntö erottaa implisiittisesti määriteltyjä toimintoja.
erottaa implisiittinen funktio y(x), määritellään yhtälön R(x, y) = 0, se ei ole yleensä mahdollista ratkaista se nimenomaisesti y ja sitten erottaa. Sen sijaan voi täysin erottaa R(x, y) = 0 x: n suhteen ja y ja sitten ratkaista mikä lineaarinen yhtälö dy/dx nimenomaisesti saada johdannainen kannalta x ja y., Vaikka alkuperäinen yhtälö olisi mahdollista yksiselitteisesti ratkaista, kokonaiserottelusta johtuva kaava on yleensä paljon yksinkertaisempi ja helpompi käyttää.
ExamplesEdit
Esimerkki 1. Harkitse
y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y + x + 5 = 0\,.}
Tämä yhtälö on helppo ratkaista y, jolloin
y = − x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}
jos oikealla puolella on selkeä muoto funktio y(x). Differentiaatio antaa sitten dy / dx = -1.
Vaihtoehtoisesti, voi täysin erottaa alkuperäinen yhtälö:
d y d x + d x d x d d x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligned}}}
Ratkaiseminen dy/dx antaa
d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}
sama vastaus kuin se on saatu aiemmin.
Esimerkki 2. Esimerkki implisiittinen funktio, jonka implisiittinen eriyttäminen on helpompaa kuin käyttämällä avointa eriyttäminen on funktio y(x) on määritelty yhtälössä
4 x + 2 y-2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.,}
erottaa tämän nimenomaisesti x: n suhteen, on ensimmäinen saada
y ( x ) = ± 8 − 4 x 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}
ja sitten erottaa tämä toiminto. Tämä luo kaksi johdannaiset: yksi y ≥ 0 ja y < 0.
Se on huomattavasti helpompi epäsuorasti eriyttää alkuperäinen yhtälö:
4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
antaa
d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}, {y}}\,.}
esimerkki 3., Usein se on vaikeaa tai mahdotonta ratkaista nimenomaisesti y, ja implisiittinen eriyttäminen on ainoa käyttökelpoinen menetelmä eriyttäminen. Esimerkki on yhtälö
y 5 − y = x . {\displaystyle y^{5}-y=x\,.}
on mahdotonta algebrallisesti express y nimenomaisesti koska funktio x, ja siksi kukaan ei voi löytää dy/dx, jonka selkeä eriyttäminen. Käyttämällä implisiittinen menetelmä, dy/dx, saadaan derivoimalla yhtälö saada
5 y 4 d y d x d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}
jos dx/dx = 1., Factoring ulos dy/dx osoittaa, että
( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}
joka saadaan tulos,
d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}
joka on määritelty
y ≠ ± 1 5 4 ja y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \pm {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{ja}}\quad y\neq \pm {\frac {i}{\sqrt{5}}}\,.}
Yleinen kaava johdettu implisiittinen functionEdit
Jos R(x, y) = 0, derivaatta implisiittisesti funktion y(x) saadaan seuraavasti:§11.,5
d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial T}{\osittainen x}}\,}{\frac {\partial T}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}
missä Rx ja Ry ilmoittaa osittaisderivaatat R x: n suhteen ja y.,
edellä Oleva kaava tulee käyttää yleisen ketjun sääntö saada yhteensä johdannaissopimukset — suhteen x — molemmin puolin R(x, y) = 0:
∂ R ∂ x d x d x + ∂ T ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial T}{\osittainen x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial T}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
siten
∂ R ∂ x ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial T}{\osittainen x}}+{\frac {\partial T}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
joka, kun ratkaista dy/dx, antaa ilmaisun edellä.
Vastaa