Karkeasti ottaen on derivoituva käyrä on käyrä, joka on määritelty niin, että paikallisesti kuvan, joka injective derivoituva funktio γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\white X} alkaen väli I todellinen määrä osaksi differentiable manifold X, usein R-n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
tarkemmin, differentiable käyrä on osajoukko C X, jossa jokainen piste C on naapuruston U siten, että C ∩ U {\displaystyle C\cap U} on diffeomorphic väli todellinen määrä., Toisin sanoen differentioituva käyrä on differentioituva monisto ulottuvuudesta yksi.
Pituus curveEdit
Pituus ( γ ) = def ∫ a b | γ ’ ( t ) | d-t . {\displaystyle \operatorname {Pituus} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {f}.}
käyrän pituus on parametrisaatiosta γ {\displaystyle \gamma} riippumaton .
s = ∫ a b 1 + 2 D x . {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Pituus ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ N ja a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Pituus} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{ja}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} Pituus ( γ | ) = t 2 − t-1 . {\displaystyle \operatorname {Length} \!,\left(\gamma |_{}\right)=t_{2}-t_{1}.} Nopeus γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Nopeus} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}
ja sitten näyttää, että
Pituus ( γ ) = ∫ a b Nopeus γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Pituus} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Nopeus} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {f}.,}
Ero geometryEdit
Kun ensimmäisiä esimerkkejä käyrät, jotka ovat tavanneet ovat enimmäkseen lentokone kaartaa (joka on jokapäiväisessä sanoja, kaarevat linjat kaksi-ulotteinen avaruus), on selviä esimerkkejä, kuten spiraali, joka esiintyy luonnossa kolmessa ulottuvuudessa. Tarpeet geometria, ja myös esimerkiksi klassinen mekaniikka on käsite käyrä avaruudessa tahansa määrän ulottuvuuksia. Yleisessä suhteellisuusteoriassa maailmanraja on avaruuskäyrä.,
Jos X {\displaystyle X} on differentiable manifold, niin voimme määritellä käsite derivoituva käyrä X {\displaystyle X} . Tämä yleinen ajatus riittää kattamaan monia sovelluksia käyriä matematiikassa. Paikallisesta näkökulmasta voidaan ottaa X {\displaystyle X} on Euklidisen avaruuden. Toisaalta on hyödyllistä olla yleisempi, sillä (esimerkiksi) tangenttivektorit voidaan määritellä x {\displaystyle X}: lle tämän käyrän käsitteen avulla.,
Jos X {\displaystyle X} on sileä moninaiset, sileä käyrä X {\displaystyle X} on sileä kartta
γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\white X} .
differentioituvan käyrän sanotaan olevan säännöllinen, jos sen derivaatta ei koskaan katoa. (Toisin sanoen, säännöllinen käyrä ei koskaan hidastuu, pysähtyy tai perääntyy itse.,) Kaksi C k {\displaystyle C^{k}} derivoituva käyriä,
γ-1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\white X} ja γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\white X}
on sanottu olevan vastaavia, jos on bijective C k {\displaystyle C^{k}} kartan
s : J → I {\displaystyle p\colon J\oikea nuoli: I}
sellainen, että käänteinen kartta
s − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\oikea nuoli: J}
on myös C k {\displaystyle C^{k}} , ja
γ 2 ( t ) = γ-1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(s(t))}
Vastaa