Algèbre intermédiaire

Le Discriminant

La formule quadratique ne génère pas seulement les solutions à une équation quadratique, elle nous parle de la nature des solutions. Quand on considère le discriminant, ou l’expression sous le radical, {b}^{2} – 4ac, il nous dit si les solutions sont des nombres réels ou des nombres complexes, et combien de solutions de chaque type à attendre., Le tableau ci-dessous relie la valeur du discriminant aux solutions d’une équation quadratique.

Nous avons vu qu’une équation quadratique peut avoir deux solutions réelles, une solution réelle ou deux solutions complexes.

• Si b^{2}-4ac>0, alors le nombre sous le radical sera une valeur positive. Vous pouvez toujours trouver la racine carrée d’un positif, donc l’évaluation de la Formule quadratique entraînera deux solutions réelles (une en ajoutant la racine carrée positive et une en la soustrayant).,
• Si b^{2} – 4ac=0, alors vous prendrez la racine carrée de 0, qui est 0. Puisque l’ajout et la soustraction de 0 donnent le même résultat, la partie « \pm” de la formule n’a pas d’importance. Il y aura une vraie solution répétée.
• Si b^{2}-4ac<0, alors le nombre sous le radical aura une valeur négative. Comme vous ne pouvez pas trouver la racine carrée d’un nombre négatif en utilisant des nombres réels, il n’y a pas de vraies solutions. Cependant, vous pouvez utiliser des nombres imaginaires., Vous aurez alors deux solutions complexes, l’une en ajoutant la racine carrée imaginaire et l’autre en la soustrayant.

Dans le dernier exemple, nous allons établir une corrélation entre le nombre et le type de solutions d’une équation quadratique et le graphique de sa fonction correspondante.

Nous pouvons résumer nos résultats comme suit:

Dans la vidéo ci-dessous nous montrent d’autres exemples de la façon d’utiliser le discriminant pour décrire le type de solutions à une équation quadratique.

Résumé

Le discriminant peut aussi nous renseigner sur le comportement du graphe d’une fonction quadratique.