Analyse de Fourier

Transformée de Fourieredit

Le plus souvent, le terme non qualifié transformée de Fourier fait référence à la transformée de fonctions d’un argument réel continu, et il produit une fonction continue de fréquence, connue sous le nom de distribution de fréquence. Une fonction est transformée en une autre, et l’opération est réversible., Lorsque le domaine de la fonction d’entrée (initiale) est le temps (t) et que le domaine de la fonction de sortie (finale) est la fréquence ordinaire, la transformée de la fonction s(t) à la fréquence f est donnée par le nombre complexe:

S ( f ) = ∫ − ∞ ∞ s ( t) e e − i 2 π f t d t. {\displaystyle S(f)=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi pi}\,dt.}

L’évaluation de cette quantité pour toutes les valeurs de f produit la fonction domaine fréquentiel., Alors s (t) peut être représenté comme une recombinaison d’exponentielles complexes de toutes les fréquences possibles:

s ( t) = ∫ − ∞ ∞ S ( f) e e i 2 π f t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}

qui est la formule de transformation inverse. Le nombre complexe, S (f), transmet à la fois l’amplitude et la phase de la fréquence f.,

Voir transformée de Fourier pour plus d’informations, y compris:

• conventions pour la normalisation d’amplitude et la mise à l’échelle de fréquence/unités
• propriétés de transformation
• transformations tabulées de fonctions spécifiques
• une extension / généralisation pour les fonctions de dimensions multiples, telles que les images.,

Série de Fouriersmodifier

La transformée de Fourier d’une fonction périodique, sP(t), de période P, devient une fonction de peigne de Dirac, modulée par une suite de coefficients complexes:

S = 1 P s P s P ( t) e e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (où ∫ P est l’intégrale sur tout intervalle de longueur P).,

La transformée inverse, dite série de Fourier, est une représentation de sP(t) en termes de somme d’un nombre potentiellement infini de sinusoïdes harmoniquement apparentés ou de fonctions exponentielles complexes, chacune avec une amplitude et une phase spécifiées par l’un des coefficients:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k P t. {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

sP(t) peut être exprimée comme un périodique de sommation d’une autre fonction, – s(t):

s P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m et P ) , {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}

et les coefficients sont proportionnelles à des échantillons de S( f ) à intervalles discrets de 1/P:

S = 1 P ⋅ S ( k P ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}

Notez que tout s (t) dont la transformation a les mêmes valeurs d’échantillon discrètes peut être utilisé dans la sommation périodique. Une condition suffisante pour récupérer s (t) (et donc S (f)) à partir uniquement de ces échantillons (c.-à-d., de la série de Fourier) est que la partie non nulle de s (t) soit confinée à un intervalle connu de durée P, qui est le domaine fréquentiel dual du théorème d’échantillonnage de Nyquist–Shannon.

Voir Série de Fourier pour plus d’informations, y compris le développement historique.

Transformée de Fourier en temps discret (DTFT)Modifier

La DTFT est le dual mathématique de la série de Fourier dans le domaine temporel.,e les coefficients sont des échantillons d’un temps continu de la fonction:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ les séries de Fourier (DTFT) ⏟ de Poisson, la sommation de la formule = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{les séries de Fourier (DTFT)}}} _{\text{Poisson sommation formule}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

ce qui est connu comme la DTFT., Ainsi la DTFT de la séquence s est aussi la transformée de Fourier de la fonction peigne de Dirac modulée.

La série de Fourier coefficients (et de la transformation inverse), sont définies par:

s ≜ T ∫ 1 T S 1 T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.,}

Le paramètre T correspond à l’intervalle d’échantillonnage, et cette série de Fourier peut maintenant être reconnue comme une forme de la formule de sommation de Poisson. Nous avons donc le résultat important que lorsqu’une séquence de données discrète, s, est proportionnelle aux échantillons d’une fonction continue sous-jacente, s(t), on peut observer une sommation périodique de la transformée de Fourier continue, S( f ). Notez que tout s( t) avec les mêmes valeurs d’échantillon discrètes produit le même DTFT Mais dans certaines conditions idéalisées, on peut théoriquement récupérer S(f ) et s (t) exactement., Une condition suffisante pour une récupération parfaite est que la partie non nulle de S (f) soit confinée à un intervalle de fréquence connu de largeur 1/T. Lorsque cet intervalle est , la formule de reconstruction applicable est la formule d’interpolation de Whittaker–Shannon. C’est une pierre angulaire de la fondation du traitement du signal numérique.

Une autre raison d’être intéressé par S1/T( f ) est qu’il fournit souvent un aperçu de la quantité de crénelage causée par le processus d’échantillonnage.

Les applications de la DTFT ne sont pas limitées aux fonctions échantillonnées.,ing (finite-length sequences)

transform properties

transformations tabulées de fonctions spécifiques

Discrete Fourier transform (DFT)Edit

Semblable à une série de Fourier, la DTFT d’une séquence périodique, sN, de période N, devient une fonction peigne de Dirac, modulée par une séquence de coefficients complexes (voir DTFT § Periodic data):

S = ∑ n s N e e − i 2 π k n n , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (où ∑n est la somme sur toute séquence de longueur N).,

La séquence S est ce que l’on appelle habituellement la DFT d’un cycle de sN. Il est également N-périodique, il n’est donc jamais nécessaire de calculer plus de N coefficients. La transformée inverse, également appelée série de Fourier discrète, est donnée par:

s N = 1 N k k S ⋅ e i 2 π n N k, {\displaystyle s_ {N}={\frac{1} {N}}\sum _{k}S\cdot e^{i2\pi {\frac{n} {N}}k},} où ∑k est la somme sur toute suite de longueur N.,

Lorsque sN est exprimé comme somme périodique d’une autre fonction:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s,} et s ≜ s ( n T ) , {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT),}

les coefficients sont proportionnels aux échantillons de S1/T( f ) à intervalles discrets de 1/P = 1/NT:

S = 1 T S S 1 T ( k P ) . Il est possible de créer un fichier de type cdot S_ {\frac {1} {T}}\left ({\frac {k} {P}}\right).,}

Inversement, quand on veut calculer un nombre arbitraire (N) d’échantillons discrets d’un cycle d’un DTFT continu, S1/T( f ), on peut le faire en calculant le DFT relativement simple de sN, tel que défini ci-dessus. Dans la plupart des cas, N est choisi égal à la longueur de la partie non nulle de s. L’augmentation de N, connue sous le nom de remplissage zéro ou d’interpolation, entraîne des échantillons plus rapprochés d’un cycle de S1/T( f). Décroissant N, provoque un chevauchement (ajout) dans le domaine temporel (analogue à l’aliasing), ce qui correspond à une décimation dans le domaine fréquentiel., (voir DTFT § Échantillonnage du DTFT) Dans la plupart des cas d’intérêt pratique, la séquence s représente une séquence plus longue qui a été tronquée par l’application d’une fonction de fenêtre de longueur finie ou d’un réseau de filtres FIR.

La DFT peut être calculée à l’aide d’un algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT), ce qui en fait une transformation pratique et importante sur les ordinateurs.,

Voir Transformation de Fourier discrète pour plus d’informations, notamment:

• propriétés de la transformation
• applications
• transformations tabulées de fonctions spécifiques

Résumé

Pour les fonctions périodiques, la transformée de Fourier et la DTFT ne comprennent qu’un ensemble discret de composantes de fréquence (séries de Fourier), et les transformées divergent à ces fréquences. Une pratique courante (non discutée ci-dessus) consiste à gérer cette divergence via les fonctions Dirac delta et Dirac comb., Mais la même information spectrale peut être discernée à partir d’un seul cycle de la fonction périodique, puisque tous les autres cycles sont identiques. De même, les fonctions de durée finie peuvent être représentées comme une série de Fourier, sans perte réelle d’information, sauf que la périodicité de la transformée inverse est un simple artefact.

Il est courant dans la pratique que la durée de s(•) soit limitée à la période, P ou N. Mais ces formules n’exigent pas cette condition.,

Symmetry propertiesEdit

Lorsque les parties réelles et imaginaires d’une fonction complexe sont décomposées en leurs parties paires et impaires, il y a quatre composantes, notées ci-dessous par les indices RE, RO, IE et IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Inversement, une transformation symétrique paire implique un domaine temporel à valeur réelle.
• La transformation d’une fonction à valeur imaginaire (i sIE+ i sIO) est la fonction symétrique impaire SRO+ i SIE, et l’inverse est vrai.
• La transformation d’une fonction symétrique paire (sRE+ i sIO) est la fonction à valeur réelle SRE+ SRO, et l’inverse est vrai.
• La transformation d’une fonction à symétrie impaire (sRO+ i sIE) est la fonction à valeur imaginaire i SIE+ i SIO, et l’inverse est vrai.,

Transformées de Fourier sur des groupes topologiques abéliens localement compacts arbitrairesmodifier

Les variantes de Fourier peuvent également être généralisées aux transformées de Fourier sur des groupes topologiques abéliens localement compacts arbitraires, qui sont étudiées en analyse harmonique; là, la transformée de Fourier prend des fonctions sur un groupe à des fonctions sur le groupe dual. Ce traitement permet également une formulation générale du théorème de convolution, qui relie les transformées de Fourier et les circonvolutions. Voir aussi la dualité de Pontryagin pour les fondements généralisés de la transformée de Fourier.,

Plus spécifique, l’analyse de Fourier peut être effectuée sur des cosets, même discrets.

Time–frequencemodifier

En termes de traitement du signal, une fonction (du temps) est une représentation d’un signal avec une résolution temporelle parfaite, mais aucune information de fréquence, tandis que la transformée de Fourier a une résolution fréquentielle parfaite, mais aucune information temporelle.,

Comme alternatives à la transformée de Fourier, dans l’analyse temps–fréquence, on utilise des transformations temps–fréquence pour représenter des signaux sous une forme qui a des informations de temps et des informations de fréquence – par le principe d’incertitude, il y a un compromis entre ceux-ci., Celles-ci peuvent être des généralisations de la transformée de Fourier, telles que la transformée de Fourier à court terme, la transformée de Gabor ou la transformée de Fourier fractionnaire (FRFT), ou peuvent utiliser différentes fonctions pour représenter des signaux, comme dans les transformées en ondelettes et les transformées en chirplets, l’analogue en ondelettes de la transformée de Fourier (continue) étant