Calcul I-dérivées des fonctions Trig

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Section 3-5 : dérivées de fonctions trigonométriques

Avec cette section, nous allons commencer à examiner les dérivées de fonctions autres que les polynômes ou les racines de polynômes. Nous allons commencer ce processus en regardant les dérivées des six fonctions trig. Deux des dérivés sera dérivée. Les quatre autres sont laissés à vous et suivront des preuves similaires pour les deux données ici.

avant d’entrer réellement dans les dérivées des fonctions trig, nous devons donner quelques limites qui apparaîtront dans la dérivation de deux des dérivées.,

Fact

Voir la section Preuve des limites de trigonométrie du chapitre Extras pour voir la preuve de ces deux limites.

Avant de procéder à une note rapide. Les étudiants demandent souvent pourquoi nous utilisons toujours des radians dans un cours de calcul. C’est la raison pour laquelle! La preuve de la formule impliquant le sinus ci-dessus exige que les angles soient en radians. Si les angles sont en degrés, la limite impliquant le sinus n’est pas 1 et donc les formules que nous dériverons ci-dessous changeraient également. Les formules ci-dessous ramasseraient une constante supplémentaire qui gênerait notre travail et nous utilisons donc des radians pour éviter cela., Alors, n’oubliez pas de toujours utiliser des radians dans une classe de calcul!

avant de commencer à différencier les fonctions trig, travaillons un ensemble rapide de problèmes de limite que ce fait nous permet maintenant de faire.

D’accord, maintenant que nous avons sorti cet ensemble d’exemples de limites, revenons au point principal de cette section, en différenciant les fonctions trig.

Nous allons commencer par trouver la dérivée de la fonction sinus. Pour ce faire, nous devrons utiliser la définition de la dérivée. Cela fait un moment que nous n’avons pas eu à l’utiliser, mais parfois il n’y a tout simplement rien que nous pouvons faire à ce sujet., Voici la définition de la dérivée de la fonction sinus.

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puisque nous ne pouvons pas simplement brancher \(h = 0\) pour évaluer la limite, nous devrons utiliser la formule trig suivante sur le premier sinus du numérateur.

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cela nous donne,

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comme vous pouvez le voir en utilisant la formule trig, nous pouvons combiner le premier et le troisième terme, puis en factoriser un sinus. Nous pouvons alors décomposer la fraction en deux morceaux, qui peuvent être traitées séparément.

\

À ce stade, tout ce que nous devons faire est d’utiliser les limites dans le fait ci-dessus pour terminer ce problème.,

\

la différenciation du cosinus se fait de la même manière. Il faudra une formule trig différente, mais à part cela est une preuve presque identique. Les détails seront laissés à vous. Lorsque vous avez terminé avec la preuve que vous devriez obtenir,

\

avec ces deux à l’écart, les quatre autres sont assez simples à obtenir. Toutes les quatre fonctions trigonométriques restantes peuvent être définies en termes de sinus et de cosinus et ces définitions, ainsi que les règles de dérivées appropriées, peuvent être utilisées pour obtenir leurs dérivées.

jetons un coup d’œil à tangent., La tangente est définie comme,

\

Maintenant que nous avons les dérivées du sinus et du cosinus, tout ce que nous devons faire est d’utiliser la règle du quotient à ce sujet. Faisons-le.

\ \

Les trois autres fonctions trig sont également des quotients impliquant le sinus et/ou le cosinus et peuvent donc être différenciés de manière similaire. Nous vous laisserons les détails. Voici les dérivées des six fonctions trig.

les Dérivés de six fonctions trigonométriques

À ce stade, nous devrions travailler quelques exemples.

En guise de dernier problème, n’oublions pas que nous avons toujours nos interprétations standard des dérivés.,

Dans cette section, nous avons vu comment différencier les fonctions trigonométriques. Nous avons également vu dans le dernier exemple que nos interprétations de la dérivée sont toujours valables, nous ne pouvons donc pas les oublier.

de plus, il est important que nous puissions résoudre les équations trigonométriques car c’est quelque chose qui se produira de temps en temps dans ce cours. Il est également important que nous puissions faire les types de nombre de lignes que nous avons utilisé dans le dernier exemple, pour déterminer où une fonction est positive et où une fonction est négative. C’est quelque chose que nous ferons à l’occasion dans ce chapitre et dans le prochain.