En gros, une courbe différentiable est une courbe qui est définie comme étant localement l’image d’une fonction différentiable injective γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} à partir d’un intervalle I des nombres réels dans un collecteur différentiable X, souvent R n. {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
Plus précisément, une courbe différentiable est un sous-ensemble C de X où chaque point de C a un voisinage U tel que C ∩ U {\displaystyle C\cap U} est difféomorphe à un intervalle des nombres réels., En d’autres termes, une courbe différentiable est une variété différentiable de dimension un.
Longueur d’une curveEdit
La longueur d’une courbe est indépendante de la paramétrisation γ {\displaystyle \gamma } .
s = a a b 1 + 2 d x. J’ai besoin d’un peu de temps pour le faire.{1+^{2}}}~\ mathrm {d} {x}.,} Longueur ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1 ) ) | n ∈ N et a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Longueur} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{et}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} Longueur ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \operatorname {Longueur} \!,\left(\gamma |_{}\right)=t_{2}-t_{1}.} La vitesse γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Vitesse} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}
et ensuite montrer que
Longueur ( γ ) = ∫ a b Vitesse γ ( t ) d t . {\displaystyle \operatorname {Longueur} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Vitesse} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.,}
Géométrie différentielledit
Alors que les premiers exemples de courbes rencontrées sont principalement des courbes planes (c’est-à-dire, en termes courants, des lignes courbes dans un espace bidimensionnel), il existe des exemples évidents tels que l’hélice qui existent naturellement en trois dimensions. Les besoins de la géométrie, et aussi par exemple de la mécanique classique sont d’avoir une notion de courbe dans l’espace de n’importe quel nombre de dimensions. En relativité générale, une ligne du monde est une courbe dans l’espace-temps.,
Si X {\displaystyle X} est un collecteur différentiable, alors nous pouvons définir la notion de courbe différentiable dans X {\displaystyle X} . Cette idée générale est suffisante pour couvrir de nombreuses applications des courbes en mathématiques. D’un point de vue local, on peut prendre X {\displaystyle X} comme un espace euclidien. D’autre part, il est utile d’être plus général, en ce que (par exemple) il est possible de définir les vecteurs tangents à X {\displaystyle X} au moyen de cette notion de courbe.,
Si X {\displaystyle X} est un collecteur lisse, une courbe lisse dans X {\displaystyle X} est une carte lisse
γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} .
Une courbe différentiable est dite régulière si sa dérivée ne disparaît jamais. (En mots, une courbe régulière ne ralentit jamais jusqu’à un arrêt ou recule sur elle-même.,) Deux C k {\displaystyle C^{k}} dérivable courbes
γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X} et γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}
sont dites équivalentes s’il existe un bijective C k {\displaystyle C^{k}} map
p : J → I {\displaystyle p\colon J\rightarrow I}
tels que l’inverse de la carte
p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}
est aussi C k {\displaystyle C^{k}} et
γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}
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