Fonction implicite

dans le calcul, une méthode appelée différenciation implicite utilise la règle de la chaîne pour différencier les fonctions implicitement définies.

pour différencier une fonction implicite y(x), définie par une équation R(x, y) = 0, Il n’est généralement pas possible de la résoudre explicitement pour y puis de la différencier. Au lieu de cela, on peut totalement différencier R(x, y) = 0 par rapport à x et y, puis résoudre l’équation linéaire résultante pour dy/dx pour obtenir explicitement la dérivée en termes de x et Y., Même quand il est possible de résoudre explicitement l’équation d’origine, la formule résultant de total différenciation est, en général, beaucoup plus simple et plus facile à utiliser.

Examplesmodifier

exemple 1. Considérons

y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y + x + 5=0\,.}

Cette équation est simple à résoudre pour y donner

y = − x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}

lorsque le côté droit est la forme explicite de la fonction y(x). La différenciation donne alors dy / dx = -1.

Sinon, on peut totalement se différencier de l’équation d’origine:

d y d x + d x d x + d x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin{aligné}{\frac {dy}{dx}}+{\frac {dx}{dx}}+{\frac {d}{dx}}(5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}}+1+0&=0\,.\end{aligné}}}

la Résolution de dy/dx donne

d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}

la même réponse obtenue précédemment.

exemple 2. Un exemple de fonction implicite pour laquelle la différenciation implicite est plus facile que d’utiliser la différenciation explicite est la fonction y(x) définie par l’équation

x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.,}

Pour différencier explicitement par rapport à x, on a tout d’abord pour obtenir

y ( x ) = ± 8 − 4 x 2 , {\displaystyle y(x)=\pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

et puis la distinction de cette fonction. Cela crée deux dérivées: une pour y ≥ 0 et une autre pour y < 0.

Il est beaucoup plus facile d’utiliser implicitement différencier l’équation d’origine:

4 x 3 + 4 o d o d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

donner

d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-4x^{3}}{4y}}=-{\frac {x^{3}}{y}}\,.}

exemple 3., Souvent, il est difficile ou impossible de résoudre explicitement pour y, et la différenciation implicite est la seule méthode de différenciation possible. Un exemple est l’équation

y 5 y = x . {\displaystyle y^{5}-y=x\,.}

Il est impossible d’exprimer algébriquement y explicitement en fonction de x, et donc on ne peut pas trouver dy/dx par différenciation explicite. À l’aide de la méthode implicite, dy/dx peut être obtenue en différenciant l’équation pour obtenir

le 5 y 4 d y d x d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}

où dx/dx = 1., L’affacturage hors dy/dx montre que

( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}

ce qui donne le résultat

d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}

qui est définie pour

y ≠ ± 1 5 4 et y ≠ ± i 5 4 . {\displaystyle y\neq \h {\frac {1}{\sqrt{5}}}\quad {\text{et}}\quad y\neq \h {\frac {i}{\sqrt{5}}}\,.}

Formule générale pour la dérivée de la fonction implicitEdit

Si R(x, y) = 0, la dérivée de la fonction implicite y(x) est donnée par:§11.,5

d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial R}{\partial x}}\,}{\frac {\partial R}{\partial y}}}=-{\frac {R_{x}}{R_{y}}}\,,}

où Rx et Ry indiquer les dérivées partielles de R par rapport à x et y.,

La formule ci-dessus vient de l’utilisation généralisée de la chaîne de règle pour obtenir le total des produits dérivés par rapport à x — des deux côtés de la R(x, y) = 0:

∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

donc

∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

qui, lorsque résolu pour dy/dx, donne l’expression ci-dessus.