GeneralEdit
d’Autres importantes équations fonctionnelles pour la fonction gamma d’Euler sont la formule de réflexion
Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\pas \in \mathbb {Z} }
ce qui implique
Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}
et Legendre formule de duplication
Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}
La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication (Voir Eq. 5.5.6)
∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}
Une propriété simple mais utile, qui peut être vue à partir de la définition limite, est:
Γ ( z ) = Γ ( z ) ⇒ Γ ( z ) Γ ( z ) ∈ R., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,il y a une différence entre la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur de la valeur\Gamma \left ({\tfrac{1} {2}} \pm n+bi\right) |^{2}&={\frac {\pi} {\cosh (\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left (\left (k-{\tfrac {1} {2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1}, \quad n \in \mathbb {N} \end {aligned}}}
Peut-être la valeur la plus connue de la fonction gamma à un argument non entier est
Γ (1 2)=π, {\displaystyle\Gamma\left ({\tfrac{1} {2}}\right)={\sqrt {\pi}},} Γ(1 2+n)=(2 n)!, 4 n n ! π = (2 n − 1 ) ! ! 2 n π = ( n − 1 2 n n ! π Γ (1 2 − n) = (−4 ) n n ! (2 n)! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π (- 1 / 2 n ) n ! {\displaystyle {\begin{aligné}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \plus de 4^{n} n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \sur (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!,}}\end {aligned}}}
Les dérivées de la fonction gamma sont décrites en termes de fonction polygamma. Par exemple:
Γ ‘ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) . {\displaystyle \Gamma ‘(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}
Pour un entier positif m, la dérivée de la fonction gamma peut être calculée comme suit (ici γ {\displaystyle \gamma } est la constante d’Euler–Mascheroni):
Γ ‘ ( m + 1 ) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k). {\displaystyle \ Gamma ‘ (m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.,}
Pour ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Re (x)>0} n {\displaystyle n} dérivée de la fonction gamma est:
Dérivée de la fonction Γ(z)
d n x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln t ) n d t . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.,}
(Ceci peut être dérivé en différenciant la forme intégrale de la fonction gamma par rapport à x {\displaystyle x} , et en utilisant la technique de différenciation sous le signe intégral.)
en Utilisant l’identité
Γ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n n ! π π π n i i = 1 r ζ ∗ ( a i ) k i ! ⋅ i ζ ∗ ( x ) := { ζ ( x ) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limites _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cas}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cas}}} π = 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 + ⋯ + r + ⋯ + r ⏟ k r termes , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ conditions}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ conditions}}},}
nous avons, en particulier,
Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\droite)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}
InequalitiesEdit
Lorsqu’elle est limitée aux nombres réels positifs, la fonction gamma est une fonction strictement logarithmiquement convexe., Cette propriété peut être déclaré dans l’une de ces trois façons équivalentes:
- Pour toutes les deux positives nombres réels x 1 {\displaystyle x_{1}} et x 2 {\displaystyle x_{2}} , et pour tout t ∈ {\displaystyle t\in } ,
Γ ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-i}.}
- Pour tout deux nombres réels x et y, avec y > x,
( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ( Γ ‘ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}
- Pour tout nombre réel positif x {\displaystyle x} ,
Γ » ( x ) Γ ( x ) > Γ ‘ ( x ) 2 . {\displaystyle \Gamma(x)\Gamma (x)>\Gamma ‘(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + a n x n 1 + ⋯ + n ) ≤ ( Γ ( x 1 ) 1 ⋯ Γ ( x n ) n ) 1 1 + ⋯ + n ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}
Il existe également des limites sur les rapports des fonctions gamma. La plus connue est Gautschi de l’inégalité, qui dit que, pour tout nombre réel positif x et tout s ∈ (0, 1),
x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-x}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-x}.}
Stirling’s formulaEdit
Le comportement de Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} pour une variable positive croissante est simple. Il se développe rapidement, plus vite qu’une fonction exponentielle en fait., Asymptotiquement comme z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} l’ampleur de la fonction gamma est donnée par la formule de Stirling
Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}
une limite asymptotique des approximations est:
lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}
ResiduesEdit
Le comportement pour z non positif {\displaystyle z} est plus complexe., L’intégrale d’Euler ne converge pas pour z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0} , mais la fonction qu’elle définit dans le demi-plan complexe positif a une suite analytique unique au demi-plan négatif. Une façon de trouver cette continuation analytique est d’utiliser l’intégrale d’Euler pour les arguments positifs et d’étendre le domaine aux nombres négatifs par application répétée de la formule de récurrence,
Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n ) , {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ( f , c ) = lim z → c ) f ( z ) ., {\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\c}(z-c)f(z).}
Pour la simple pôle en z = − n , {\displaystyle z=-n,} nous réécrire la récurrence de la formule:
( z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) . {\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}
Le numérateur à z = − n , {\displaystyle z=-n,} est
Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}
et le dénominateur
z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}
Donc les résidus de la fonction gamma en ces points sont:
Res ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
MinimaEdit
La fonction gamma a un minimum local à zmin ≈ +1,46163214496836234126 (tronqué) où elle atteint la valeur Γ(zmin) ≈ +0,88560319441088870027 (tronqué)., La fonction gamma doit alterner les signes entre les pôles car le produit dans la récurrence directe contient un nombre impair de facteurs négatifs si le nombre de pôles entre z {\displaystyle z} et z + n {\displaystyle z+n} est impair, et un nombre pair si le nombre de pôles est pair.
Représentations intégralesmodifier
Il existe de nombreuses formules, outre l’intégrale d’Euler du second type, qui expriment la fonction gamma comme une intégrale. Par exemple, lorsque la partie réelle de z est positif,
Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log 1 t ) z − 1 d t ., {\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}
Binet première formule intégrale de la fonction gamma stipule que, lorsque la partie réelle de z est positif, alors:
journal Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) journal z − z + 1 2 connectez-vous ( 2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t − 1 ) e − t z t d t . {\displaystyle \ log \ Gamma (z)= \ left(z-{\frac {1} {2}}\right) \ log z-z+{\frac {1} {2}}\log(2\pi) + \ int _{0}^{\infty} \ left({\frac {1}{2}}-{\il est possible de créer un lien entre les deux.}
L’intégrale du côté droit peut être interprétée comme une transformée de Laplace., C’est,
journal ( Γ ( z ) e z ) z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 t 2 + 1 t ( e t − 1 ) ) ( z ) . Si vous avez besoin d’une carte de crédit, vous pouvez utiliser la carte de crédit de la carte de crédit de la carte de crédit de la carte de crédit de la banque de crédit de la banque de crédit de la Banque de crédit de la Banque de crédit de la Banque de crédit de la Banque de crédit de la Banque de crédit de la Banque de crédit de la Banque de crédit de la Banque}
La deuxième formule intégrale de Binet indique que, encore une fois lorsque la partie réelle de z est positive, alors:
log Γ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log z z − z + 1 2 log log ( 2 π ) + 2 ∞ 0 ∞ arctan (t / z ) e 2 π t − 1 d t., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}
Soit C un contour de Hankel, c’est − à − dire un chemin qui commence et se termine au point ∞ de la sphère de Riemann, dont le vecteur tangent unitaire converge vers -1 au début du chemin et vers 1 à la fin, qui a le numéro d’enroulement 1 autour de 0, et qui ne traverse pas
Γ ( z) = − 1 2 i sin π π z ∫ C (−t ) z-1 e-t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C} (- t)^{z − 1}e^{−t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π π C (−t)-z e-t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C} (- t)^{- z}e^{- t}\,dt,}
à nouveau valide lorsque z n’est pas un entier.,l’onction est la suivante développement en série de Fourier pour 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}
ln Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln 2 ) + ( 1 − z ) ln π − 1 2 ln péché ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln n n sin ( 2 π n z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}
qui a été longtemps attribuée à Ernst Kummer, qui a dérivé en 1847., Cependant, Iaroslav Blagouchine a découvert que Carl Johan Malmsten a dérivé cette série pour la première fois en 1842.
La formule de Raabemodifier
En 1840 , Joseph Ludwig Raabe a prouvé que
a a a + 1 ln Γ Γ ( z ) d z = 1 2 ln 2 2 π + a ln a a − a, a> 0. {\displaystyle \int _{a}^{un+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad>0.}
En particulier, si a = 0 {\displaystyle a=0} alors
∫ 0 1 ln Γ Γ ( z ) d z = 1 2 ln 2 2 π . {\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}
Ce dernier peut être dérivé en prenant le logarithme dans la formule de multiplication ci-dessus, ce qui donne une expression pour la somme de Riemann de l’intégrande. Prendre la limite pour a → ∞ {\displaystyle a \ rightarrow \infty} donne la formule.,
Pi functionEdit
Une notation alternative introduite à l’origine par Gauss et parfois utilisée est la Π {\displaystyle \Pi } -function, qui en termes de fonction gamma est
Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^pour que Π ( n ) = n ! {\displaystyle \ Pi (n)=n!} pour chaque entier non négatif n {\displaystyle n}.,
à l’Aide de la fonction pi la formule de réflexion prend la forme
Π ( z ) Π ( − z ) = π z péché ( π z ) = 1 sinc ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}
où sinc est la fonction normale de sinc, tandis que la multiplication théorème prend la forme
Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 Π ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}
Nous avons aussi parfois trouver
π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}
Le volume d’un n-ellipsoïde de rayons r1, …, rn peut être exprimé sous la forme
V n ( r 1 , … , r n ) = π 2 Π ( n 2 ) ∏ k = 1 n r k . {\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}
Relation avec d’autres fonctionsEdit
- Dans la première intégrale ci-dessus, qui définit la fonction gamma, les limites d’intégration sont fixées., Les fonctions gamma incomplètes supérieure et inférieure sont les fonctions obtenues en permettant à la limite inférieure ou supérieure (respectivement) d’intégration de varier.
- La fonction gamma est liée à la fonction beta par la formule
B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
- La dérivée logarithmique de la fonction gamma est appelée fonction digamma; les dérivées supérieures sont les fonctions polygamma.,
- L’analogue de la fonction gamma sur un champ fini ou un anneau fini est les sommes gaussiennes, un type de somme exponentielle.
- La fonction gamma réciproque est une fonction entière et a été étudiée comme un sujet spécifique.
- La fonction gamma apparaît également dans une relation importante avec la fonction zêta de Riemann, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .
π − z 2 Γ ( z 2 ) ζ ( z ) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2 ) ζ ( 1 − z ) ., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Il apparaît également dans la formule suivante: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}, qui est valide uniquement pour les ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., Le logarithme de la fonction gamma satisfait la formule suivante due à Lerch: log Γ Γ ( x ) = ζ H ‘( 0 , x ) − ζ ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),} où ζ H {\displaystyle \zeta _{H}} est la fonction zêta de Hurwitz, ζ {\displaystyle \zeta } est la fonction zêta de Riemann et le premier (‘) dénote une différenciation dans la première variable.
- La fonction gamma est liée à la fonction exponentielle étirée. Par exemple, les moments de cette fonction
⟨ τ n ⟩ ≡ ∫ 0 ∞ t t t n − 1 e − ( t-τ ) β = τ n β Γ ( n β ) ., {\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}
Valeurs particulièresmodifier
Y compris jusqu’aux 20 premiers chiffres après la virgule décimale, certaines valeurs particulières de la fonction gamma sont:
Γ (−3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ (- 1 2) = – 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ (1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ (1) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}
La fonction gamma à valeur complexe n’est pas définie pour les entiers non positifs, mais dans ces cas, la valeur peut être définie dans la sphère de Riemann comme ∞. La fonction gamma réciproque est bien définie et analytique à ces valeurs (et dans le plan complexe entier):
1 Γ ( − 3) = 1 Γ ( − 2) = 1 Γ ( − 1) = 1 Γ ( 0) = 0. {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}
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