La vie et les nombres de Fibonacci

Fibonacci est l’un des noms les plus fameux en mathématiques. Cela serait une surprise pour Leonardo Pisano, le mathématicien que nous connaissons maintenant sous ce nom. Et il aurait pu être tout aussi surpris qu’il ait été immortalisé dans la fameuse séquence– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – plutôt que pour ce qui est considéré comme sa réalisation mathématique beaucoup plus grande – aider à populariser notre système numérique moderne dans le monde de langue latine.,

l’Empire romain a quitté L’Europe avec le système de chiffres romains que nous voyons encore, entre autres, dans les avis de copyright après les films et les programmes télévisés (2013 est MMXIII). Les chiffres romains n’étaient pasdisplacés jusqu’au milieu du 13ème siècle après JC, et le livre de Leonardo Pisano, Liber Abaci (qui signifie « Le Livre des calculs »), a été l’un des premiers livres occidentaux à décrire leur remplacement éventuel.

Leonardo Pisano est né à la fin du XIIe siècle à Pise, en Italie: Pisano en italien a indiqué qu’il était de Pise, de la même manière mancunienne indique que je suis de Manchester. Son père était un marchand appelé Guglielmo Bonaccio et C’est à cause du nom de son père que Leonardo Pisano est devenu connu sous le nom de Fibonacci. Des siècles plus tard, lorsqu’ils étudiaient les copies manuscrites du Liber Abaci(tel qu’il a été publié avant l’invention de l’impression), ils ont interprété une partie du titre – « filius Bonacci » signifiant « sonof Bonaccio » – comme son nom de famille, et Fibonacci est né.,

Fibonacci (comme nous continuerons à l’appeler) a passé son enfance en Afrique du Nord où son père était douanier. Il a été éduqué par theMoors et a beaucoup voyagé en Barbarie (Algérie), et a ensuite été envoyé en voyage d’affaires en Egypte, Syrie, Grèce, Sicile et Provence.In 1200 il retourna à Pise et utilisa les connaissances qu’il avait acquises sur ses voyages pour écrire Liber Abaci (publié en 1202) dans lequel il introduisit le monde Latin au système de nombres décimaux. Le premier chapitre de la partie 1 commence:

« Ce sont les neuf figures des Indiens: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Avec ces neuf chiffres, et avec ce signe 0 qui en arabe s’appelle zephirum, n’importe quel nombre peut être écrit, comme cela sera démontré. »

L’Italie de l’époque était composée de petites villes et régions indépendantes, ce qui a conduit à l’utilisation de nombreux types de poids et de systèmes monétaires. Les marchands devaient convertir de l’un à l’autre chaque fois qu’ils échangeaient entre ces systèmes., Fibonacci a écrit Liber Abaci pour ces marchands, rempli de problèmes pratiques et a travaillé des exemples démontrant comment des calculs simples commerciaux et mathématiques pourraient être effectués avec ce nouveau système de numération par rapport aux chiffres romains difficiles à manier. L’impact du livre de Fibonacci en tant que début de la propagation des nombres décimaux a été sa plus grande réalisation mathématique. Cependant, on se souvient mieux de Fibonacci pourune certaine séquence de nombres qui est apparue comme exemple dans LiberAbaci.,

le problème des lapins

L’un des problèmes mathématiques étudiés par Fibonacci dans Liber Abaci portait sur la rapidité avec laquelle les lapins pouvaient se reproduire dans des circonstances idéales.Supposons qu’une paire de lapins nouvellement nés, un mâle, une femelle, soit mise dans un champ. Les lapins sont capables de s’accoupler à l’âge de un mois, de sorte qu’à la fin de son deuxième mois, une femelle peut produire une autre paire de lapins., Supposons que nos lapins ne meurent jamais et que la femelle produise toujours une nouvelle paire (un mâle, une femelle) chaque mois à partir du deuxième mois. Le puzzle que Fibonacci a posé était… Combien y aura-t-il de paires en un an?

• à la fin du premier mois, ils s’accouplent, mais il n’y a encore qu’une paire.
• à la fin du deuxième mois, la femelle produit une nouvelle paire, il y a maintenant 2 paires de lapins.
• à la fin du troisième mois, la femelle originale produit une deuxième paire, faisant 3 paires en tout.,
• à la fin du quatrième mois, la femelle d’origine a produit une autre nouvelle paire, la femelle née il y a deux mois a également produit sa première paire, faisant 5 paires.

Maintenant, imaginez qu’il y a des paires de lapins après mois. Le nombre de paires en un mois sera (dans ce problème, les lapins ne meurent jamais) plus le nombre de nouvelles paires né. Mais les nouvelles paires ne naissent que pour des paires d’au moins 1 mois, il y aura donc de nouvelles paires., Nous avons donc

ce qui est tout simplement la règle pour générer les nombres de Fibonacci: ajouter les deux derniers pour obtenir le suivant. Après cela, vous constaterez qu’après 12 mois (ou 1 an), il y aura 233 paires de lapins.

les abeilles sont meilleures

le problème du lapin est évidemment très artificiel, mais la séquence de Fibonacci se produit dans des populations réelles. Les abeilles domestiques en fournissent un exemple., Dans une colonie d’abeilles, il y a une femelle appelée la reine. Les autres femelles sont des ouvrières qui, contrairement à la Reine des abeilles, ne produisent pas d’œufs. Les abeilles mâles ne fonctionnent pas et sont appelées abeilles bourdons.

Les mâles sont produits par les œufs non fécondés de la Reine, de sorte que les abeilles mâles n’ont qu’une mère mais pas de père. Toutes les femelles sont produites lorsque la reine s’est accouplée avec un mâle et ont donc deux parents., Les femelles finissent généralement comme des abeilles ouvrières, mais certaines sont nourries avec une substance spéciale appelée gelée royale qui les fait grandir en reines prêtes à partir pour commencer une nouvelle colonie lorsque les abeilles forment un essaim et quittent leur maison (une ruche) à la recherche d’un endroit pour construire un nouveau nid. Si les abeilles femelles ont deux parents, un mâle et une femelle, alors que les abeilles mâles ont un seul parent, une femme.

voyons l’arbre de la famille d’un homme bourdon abeille.

Il a 1 parent, une femme.
il a 2 grands-parents, puisque sa mère avait deux parents, un homme et une femme.,
il a 3 arrière-grands-parents: sa grand-mère avait deux parents mais son grand-père n’en avait qu’un.
combien d’arrière-arrière-grands-parents avait-il?, »>

Nombre parents parents grand-
parents -grand-
parents -grand-
parents d’un MÂLE de l’abeille 1 2 3 5 8 d’une abeille FEMELLE 2 3 5 8 13

volutes et coquilles

les populations d’Abeilles ne sont pas le seul endroit dans la nature où les nombres de Fibonacci se produire, ils apparaissent également dans les belles formes de coquillages., Pour voir cela, construisons une image en commençant par deuxpetits carrés de taille 1 l’un à côté de l’autre. Au-dessus de ces deuxdessinez un carré de taille 2 (=1+1). Nous pouvons maintenant dessiner un nouveau carré-touchant à la fois l’un des carrés unitaires et le dernier carré du côté 2 – donc ayant des côtés de 3 unités de long; puis un autre touchant à la fois le 2-carré et le 3-carré (qui a des côtés de 5 unités). Nous pouvons continuer à ajouter des carrés autour de l’image, chaque nouveau carré ayant un côté qui est aussi long que la somme des deux derniers côtés du carré., Cet ensemble de rectangles dont les côtés sont deux nombres de Fibonacci successifs en longueur et qui sont composés de carrés dont les côtés sont des nombres de Fibonacci, nous appellerons les Rectangles de Fibonacci.

Si, maintenant, nous tracer un quart de cercle dans chaque carré, nous pouvons construire asort de la spirale. La spirale n’est pas une vraie spirale mathématique (car elle est constituée d’offragments qui sont des parties de cercles et ne va pas plus petit et plus petit) mais c’est une bonne approximation d’une sorte d’ofspiral qui apparaît souvent dans la nature., De telles spirales (appelées spirales logarithmiques) sont vues dans leforme de coquilles d’escargots et de coquillages. L’image ci-dessous d’une coupe transversale d’une coquille de nautilus montre la courbe en spirale de la coquille et les chambres internes que l’animal qui l’utilise ajoute au fur et à mesure de sa croissance. Les chambres offrent une flottabilité dans l’eau.

nombres de Fibonacci apparaissent également dans les plantes et les fleurs. Certaines plantes se ramifient de telle sorte qu’elles aient toujours un nombre de Fibonacci de points de croissance. Les fleurs ont souvent un nombre de pétales Fibonacci, Les Marguerites peuvent avoir 34, 55 ou même jusqu’à 89 pétales!,

une apparence particulièrement belle des nombres de fibonacci est dans lesespiraux de graines dans une tête de graine. La prochaine fois que vous verrez un tournesol,regardez les dispositions des graines en son centre. Ils semblent être en spirale vers l’extérieur à la fois à gauche et à droite.

Au bord de cette image d’un tournesol, si l’on compte ceux des courbes de graines de spirale à la leftas vous allez à l’extérieur, il y a 55 spirales., Au même point, il y a 34 spirales de graines en spirale vers la droite.Un peu plus loin vers le centre et vous pouvez compter 34 spirales à gauche et 21 spirales à droite. Les paires de nombres (countingspirals courbant à gauche et courbant à droite) sont (presque toujours) voisines dans la série desfibonacci.

la même chose se produit dans de nombreuses têtes de graines et de fleurs dans la nature., La raison semble être que cette disposition forme un emballage optimal des graines de sorte que, quelle que soit la taille de la tête de graine, elles sont uniformément emballées à n’importe quel stade, toutes les graines étant de la même taille, pas d’encombrement au centre et pas trop clairsemées sur les bords.

la Nature semble utiliser le même motif pour disposer les pétales autour du bord d’une fleur et pour placer des feuilles autour d’une tige. De plus, tous ceux-ci maintiennent leur efficacité à mesure que la plante continue de croître et c’est beaucoup demander à un processus unique! Alors, comment les plantes poussent-elles pour maintenir cette optimalité de conception?,

croissance dorée

les botanistes ont montré que les plantes poussent à partir d’un seul petit groupe de cellules à la pointe de toute plante en croissance, appelé méristème. Il y a un méristème séparé à la fin de chaque branche ou brindille où de nouvelles cellules sont formées. Une fois formées, elles grossissent, mais de nouvelles cellules ne se forment qu’à de tels points de croissance. Les cellules plus tôt dans la tige se dilatent et le point de croissance augmente.En outre, ces cellules se développent en spirale: c’est comme si le méristème tournait d’un angle, produisait une nouvelle cellule, tournait à nouveau du même angle, produisait une nouvelle cellule, etc., Ces cellules peuvent alors devenir une graine, une nouvelle feuille, une nouvelle branche, ou peut-être sur une fleur devenir des pétales et des étamines.

la chose étonnante est qu’un seul angle de rotation fixe peut produire le design optimal, quelle que soit la taille de la plante., Le principe selon lequel un seul angle produit des emballages uniformes, quelle que soit la croissance, a été suspecté dès le siècle dernier, mais n’a été prouvé mathématiquement qu’en 1993 par Stéphane Douady et Yves Couder, deux mathématiciens français. Faire 0,618 tour avant de produire une nouvelle graine (ou feuille, pétale, etc.) produit l’emballage optimal des graines, quelle que soit la taille de la tête de graine. Mais d’où vient ce nombre magique 0.618?,

le nombre d’or

Si nous prenons le rapport de deux nombres successifs dans la série de Fibonacci, en divisant chacun par le nombre qui le précède, nous trouverons la série de nombres suivante:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Si vous tracez un graphique de ces valeurs, vous verrez qu’elles semblent tendre vers une limite, que nous appelons le nombre d’or (également connu sous le nom de nombre d’or et section d’or).

Il a une valeur de ( environ 1.618034) et est souvent représentée par une lettre grecque Phi, écrit ainsi: . La valeur étroitement liée que nous écrivons sous la forme , un phi minuscule, n’est que la partie décimale de Phi, à savoir 0.618034… (), le nombre qui représente les spirales dans les têtes de graines et la disposition des feuilles dans de nombreuses plantes. Mais pourquoi voyons-nous du phi dans tant de plantes?

Le nombre Phi (1.618034…), et donc aussi phi (0.618034…,), sont des nombres irrationnels: ils ne peuvent pas être écrits comme une simple fraction. Voyons ce qui se passerait si le méristème dans une tête de graine tournait plutôt par un nombre plus simple, par exemple la fraction 1/2. Après deux tours à travers la moitié d’un cercle, nous serions de retour à l’endroit où la première graine a été produite. Au fil du temps, tourner d’un demi-tour entre les graines produirait une tête de graine avec deux bras rayonnant à partir d’un point central, laissant beaucoup d’espace gaspillé.

Une graine tête produites par 0.,5 = 1/2 tours entre les graines: les graines alternées s’alignent.

Une graine tête produites par 0.48=12/25 tourne entre les graines: les graines se forment renouvelable deux bras.

Une graine de chef produit de 0,6=3/5 tourne entre les graines: les graines de forme 5 bras droit.,

quelque Chose de semblable se produit pour tous les autres simples d’une fraction de tour: les graines poussent dans les bras spiraux qui laissent beaucoup d’espace entre eux (le nombre d’armes est le dénominateur de la fraction). Donc, la meilleure valeur pour les tours entre les graines sera un nombre irrationnel. Mais pas n’importe quel nombre irrationnel va faire. Par exemple, la tête de graine créée avec des tours pi par graine semble avoir sept bras de graines en spirale., En effet, 22/7 est une très bonne approximation rationnelle de pi.

Ce qui est nécessaire afin de ne pas gaspiller de l’espace est un nombre irrationnel qui n’est pas bien approchée par un nombre rationnel. Et il s’avère que Phi (1.618034…) et sa partie décimale phi (0.618034…) sont le » plus irrationnel  » de tous les nombres irrationnels. (Vous pouvez découvrir pourquoi dans Chaos in number land: la vie secrète des fractions continues.) C’est pourquoi un tour de Phi donne l’emballage optimal des graines et des feuilles dans les plantes., Il explique également pourquoi les nombres de Fibonacci apparaissent dans les agencements des feuilles et comme le nombre de spirales dans les têtes de graines. Les nombres de Fibonacci adjacents donnent les meilleures approximations du nombre d’or. Ils se relaient pour être le dénominateur des approximations et définissent le nombre ou les spirales à mesure que les têtes de graines augmentent en taille.

Comment tant de plantes ont-elles découvert ce beau et utile nombre, Phi?Évidemment pas de résoudre les mathématiques comme L’a fait Fibonacci., Au lieu de cela, nous supposons que, tout comme le rapport des nombres de Fibonacci successifs s’installe régulièrement sur le nombre d’or, l’évolution s’installe progressivement sur le nombre droit aussi. L’héritage de Leonardo Pisano, alias Fibonacci, se trouve au cœur de chaque fleur, ainsi qu’au cœur de notre système de nombres.

pour en savoir plus

Si vous avez apprécié cet article, vous pouvez visiter les nombres de Fibonacci et la section D’or.

à Propos de cet article

Cet article est basé sur des documents écrits par le Dr R., Knott, qui était auparavant chargé de cours au Département D’études informatiques de l’Université de Surrey. Knott a lancé le site Web sur les nombres de Fibonacci et la section D’or en 1996 comme une expérience d’utilisation du web pour inspirer et encourager plus d’enquêtes en mathématiques à l’intérieur et à l’extérieur du temps scolaire. Il a depuis grandi et couvre maintenant de nombreux autres sujets, tous avec des éléments interactifs et des calculatrices en ligne. Bien que maintenant à la retraite, Knott maintient et étend toujours les pages web., Il est actuellement chercheur invité à L’Université de Surrey et donne des conférences dans tout le pays à des écoles, des universités, des conférences et des sociétés de mathématiques. Il aime aussi la marche, les récréations mathématiques, faire pousser des choses à manger et les cuisiner.