méthode des éléments finis-Qu’est-ce que c’est? FEM et FEA expliqués

la méthode des éléments finis (FEM) est une technique numérique utilisée pour effectuer une analyse par éléments finis (FEA) de tout phénomène physique donné.

Il est nécessaire d’utiliser les mathématiques pour comprendre et quantifier de manière exhaustive tous les phénomènes physiques, tels que le comportement structurel ou fluide, le transport thermique, la propagation des ondes et la croissance des cellules biologiques. La plupart de ces processus sont décrits à l’aide d’équations aux Dérivées Partielles (eDP)., Cependant, pour qu’un ordinateur puisse résoudre ces eDP, des techniques numériques ont été développées au cours des dernières décennies et l’une des plus importantes aujourd’hui est la méthode des éléments finis.,

méthode des éléments finis Applications de la méthode des éléments finis

la méthode des éléments finis commencé avec des promesses significatives dans la modélisation de plusieurs applications mécaniques liées à l’aérospatiale et au génie civil. Les applications de la méthode des éléments finis commencent seulement à atteindre leur potentiel., L’une des perspectives les plus intéressantes est son application dans des problèmes couplés tels que l’interaction fluide-structure, les problèmes thermomécaniques, thermochimiques, thermo-chimio-mécaniques, la biomécanique, le génie biomédical, piézoélectrique, ferroélectrique et électromagnétique.

de nombreuses méthodes alternatives ont été proposées au cours des dernières décennies, mais leur applicabilité commerciale reste à prouver. En bref, FEM vient de faire un coup sur le radar!

avant de commencer avec les équations différentielles, il est essentiel de lire l’article sur le logiciel FEA dans le SimWiki., Il commence par les bases et progresse progressivement vers les équations différentielles.

FEM Equations Partial Differential Equations

tout d’abord, il est important de comprendre les différents genres d’EDP et leur aptitude à être utilisés avec FEM. Comprendre cela est particulièrement important pour tout le monde, quelle que soit la motivation à utiliser l’analyse par éléments finis. Il est essentiel de se rappeler que FEM est un outil et que tout outil n’est aussi bon que son utilisateur.

Les eDP peuvent être classés comme elliptiques, hyperboliques et paraboliques., Lors de la résolution de ces équations différentielles, des conditions limites et/ou initiales doivent être fournies. En fonction du type de PDE, les entrées nécessaires peuvent être évaluées. Les exemples de PDE dans chaque catégorie incluent l’équation de Poisson (elliptique), l’équation D’onde (hyperbolique) et la loi de Fourier (parabolique).

Il existe deux approches principales pour résoudre les eDP elliptiques, à savoir les méthodes de différence finie (FDM) et les méthodes variationnelles (ou énergétiques). FEM tombe dans la deuxième catégorie. Les approches variationnelles sont principalement basées sur la philosophie de la minimisation de l’énergie.,

Les PDE hyperboliques sont généralement associés à des sauts dans les solutions. Par exemple, l’équation d’onde est une PDE hyperbolique. En raison de l’existence de discontinuités (ou sauts) dans les solutions, la technologie FEM originale (ou méthode Bubnov-Galerkin) était considérée comme inappropriée pour résoudre les eDP hyperboliques. Cependant, au fil des ans, des modifications ont été développées pour étendre l’applicabilité de la technologie FEM.

avant de conclure cette discussion, il est nécessaire de considérer la conséquence de l’utilisation d’un cadre numérique qui ne convient pas au type de PDE., Une telle utilisation conduit à des solutions connues sous le nom de « mal posées.” Cela pourrait signifier que de petits changements dans les paramètres du domaine conduire à de grandes oscillations dans les solutions, ou que les solutions n’existent que dans une certaine partie du domaine ou de l’heure, qui ne sont pas fiables. Les explications bien posées sont définies comme celles où une solution unique existe en permanence pour les données définies. Par conséquent, compte tenu de la fiabilité, il est extrêmement important d’obtenir des solutions bien posées.,

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Principe FEM de minimisation de L’énergie

Comment fonctionne FEM? Quelle est la principale force motrice? Le principe de minimisation de l’énergie constitue l’épine dorsale primaire de la méthode des éléments finis. En d’autres termes, lorsqu’une condition aux limites particulière est appliquée à un corps, cela peut conduire à plusieurs configurations, mais une seule configuration particulière est réalistement possible ou réalisée., Même lorsque la simulation est effectuée plusieurs fois, les mêmes résultats prévalent. Pourquoi est-ce donc?

Ceci est régi par le principe de minimisation de l’énergie. Il stipule que lorsqu’une condition aux limites (comme le déplacement ou la force) est appliquée, parmi les nombreuses configurations possibles que le corps peut prendre, seule la configuration où l’énergie totale est minimale est celle qui est choisie.,

méthode des éléments finis Histoire de la méthode des éléments finis

techniquement, selon le point de vue de chacun, on peut dire que FEM a eu ses origines dans le travail d’Euler, dès le 16ème siècle. Cependant, les premiers articles mathématiques sur FEM peuvent être trouvés dans les travaux de Schellback et Courant .

FEM a été développé indépendamment par des ingénieurs pour résoudre les problèmes de mécanique des structures liés à l’aérospatiale et au génie civil. Les développements ont commencé au milieu des années 1950 avec les papiers de Turner, Clough, Martin, et Topp , Argyris , et Babuska et Aziz ., Les livres de Zienkiewicz et Strang, et Fix ont également jeté les bases du développement futur de FEM.

un examen intéressant de ces développements historiques peut être trouvé dans Oden . Un bilan de L’évolution de la FEM au cours des 75 dernières années peut être trouvé dans cet article de blog: 75 ans de la méthode des éléments finis.

technical FEM Aperçu technique de la méthode des éléments finis

La méthode des éléments finis est en soi un cours semestriel. Dans cet article, une description concise du mécanisme de FEM est décrite. Considérons un simple problème 1-D pour décrire les différentes étapes impliquées dans FEA.,

forme faible

une des premières étapes de FEM est d’identifier la PDE associée au phénomène physique. Le PDE (ou différentielle) est connu comme la forme forte et la forme intégrale est connu comme la forme faible. Considérez le PDE simple comme indiqué ci-dessous. L’équation est multipliée par une fonction d’essai v (x) des deux côtés et intégrée au domaine .,

Maintenant, grâce à l’intégration de pièces, le membre de GAUCHE de l’équation ci-dessus peut être réduit à

Comme on peut le voir, l’ordre de la continuité de la fonction inconnue u(x) est réduit par un. L’équation différentielle antérieure exigeait que u (x) soit différentiable au moins deux fois alors que l’équation intégrale exige qu’elle ne soit différentiable qu’une seule fois., Il en va de même pour les fonctions multidimensionnelles, mais les dérivées sont remplacées par des gradients et des divergences.

Sans entrer dans les mathématiques, le théorème de représentation de Riesz peut prouver qu’il existe une solution unique pour u(x) pour l’intégrale et donc la forme différentielle. De plus, si f(x) est lisse, il garantit également que u(x) est lisse.

Discrétisation

Une fois que la forme intégrale ou faible a été configurée, l’étape suivante est la discrétisation de la forme faible., La forme intégrale doit être résolue numériquement et donc l’intégration est convertie en une sommation qui peut être calculée numériquement. En outre, l’un des principaux objectifs de la discrétisation est également de convertir la forme intégrale en un ensemble d’équations matricielles qui peuvent être résolues à l’aide de théories bien connues de l’algèbre matricielle.

Comme indiqué dans la Fig., 03, le domaine est divisé en petits morceaux appelés « éléments” et le point d’angle de chaque élément est connu comme un « nœud”. Les U(x) fonctionnels inconnus sont calculés aux points nodaux. Les fonctions d’Interpolation sont définies pour chaque élément à interpoler, pour les valeurs à l’intérieur de l’élément, en utilisant des valeurs nodales. Ces fonctions d’interpolation sont également souvent appelées fonctions de forme ou ansatz., Ainsi, l’inconnu fonctionnelle u(x) peut être réduit à

où nen est le nombre de nœuds de l’élément, Ni de l’interface et sont la fonction d’interpolation et inconnus associés avec noeud i, respectivement., le formulaire peut être réécrit comme

Les schémas de sommation peuvent être transformés en produits matriciels et peuvent être réécrits comme

la forme faible peut maintenant être réduite à une forme matricielle {u} = {f}

notez ci-dessus que la fonction d’essai précédente V(X) qui avait été multipliée n’existe plus dans l’équation matricielle résultante., Ici aussi, est connue comme la matrice de rigidité, {u} est le vecteur des inconnues nodales, et {R} est le vecteur résiduel. Plus loin, en utilisant des schémas d’intégration numérique, comme la quadrature de Gauss ou de Newton-Cotes, les intégrations sous la forme faible qui forme la raideur tangente et le vecteur résiduel sont également traitées facilement.

beaucoup de mathématiques sont impliquées dans la décision de choisir des fonctions d’interpolation, ce qui nécessite une connaissance des espaces fonctionnels (tels que Hilbert et Sobolev). Pour plus de détails à cet égard, les références énumérées dans l’article « Comment puis-je apprendre L’analyse par éléments finis?,” sont recommandées.

Solveurs

une Fois la matrice des équations ont été établies, les équations sont transmises à un solveur pour résoudre le système d’équations. Selon le type de problème, des solveurs directs ou itératifs sont généralement utilisés. Un aperçu plus détaillé des solveurs et de leur fonctionnement, ainsi que des conseils sur la façon de choisir entre eux, sont disponibles dans l’article de blog  » Comment choisir les solveurs: Direct ou itératif?, »

Types de FEM différents types de méthode par éléments finis

comme discuté précédemment, la technologie fem traditionnelle a démontré des lacunes dans la modélisation des problèmes liés à la mécanique des fluides et à la propagation des ondes. Plusieurs améliorations ont été apportées récemment pour améliorer le processus de solution et étendre l’applicabilité de l’analyse par éléments finis à un large éventail de problèmes., Certains des plus importants encore utilisés incluent:

Extended Finite Element Method (XFEM)

La méthode Bubnov-Galerkin nécessite une continuité du déplacement entre les éléments. Bien que des problèmes tels que le contact, la fracture et les dommages impliquent des discontinuités et des sauts qui ne peuvent pas être directement gérés par la méthode des éléments finis. Pour pallier cette lacune, XFEM est né dans les années 1990. XFEM travaille à travers l’expansion des fonctions de forme avec les fonctions Step Heaviside. Des degrés de liberté supplémentaires sont attribués aux nœuds autour du point de discontinuité afin que les sauts puissent être pris en compte.,

Generalized Finite Element Method (GFEM)

gfem a été introduit à peu près en même temps que XFEM dans les années 90. Il combine les caractéristiques des méthodes FEM et meshless traditionnelles. Les fonctions de forme sont principalement définies par les coordonnées globales et multipliées par la partition de l’unité pour créer des fonctions de forme élémentaires locales. L’un des avantages du GFEM est la prévention du ré-maillage autour des singularités.

méthode des éléments finis mixtes

dans plusieurs problèmes, comme le contact ou l’incompressibilité, des contraintes sont imposées à l’aide de multiplicateurs de Lagrange., Ces degrés de liberté supplémentaires découlant des multiplicateurs de Lagrange sont résolus indépendamment. Le système d’équations est résolu comme un système couplé d’équations.

hp-méthode des éléments finis

hp-FEM est une combinaison de raffinement automatique du maillage (raffinement h) et d’une augmentation de l’ordre du polynôme (raffinement p). Ce n’est pas la même chose que de faire des raffinements h et p séparément. Lorsque le raffinement hp automatique est utilisé et qu’un élément est divisé en éléments plus petits (raffinement h), chaque élément peut également avoir des ordres polynomiaux différents.,

méthode discontinue des éléments finis de Galerkin (DG-FEM)

DG-FEM a montré une promesse significative pour l’utilisation de l’idée des éléments finis pour résoudre les équations hyperboliques, où les méthodes traditionnelles des éléments finis ont été faibles. En outre, il a également montré des améliorations dans la flexion et les problèmes incompressibles qui sont généralement observés dans la plupart des processus de matériaux. Ici, des contraintes supplémentaires sont ajoutées à la forme faible qui inclut un paramètre de pénalité (pour éviter l’interpénétration) et des termes pour d’autres équilibres de contraintes entre les éléments.,

FEM Conclusion

Nous espérons que cet article a couvert les réponses à vos questions les plus importantes concernant ce qu’est la méthode des éléments finis. Si vous souhaitez le voir en pratique, SimScale offre la possibilité d’effectuer des analyses par éléments finis dans le navigateur web. Pour découvrir toutes les fonctionnalités de la plateforme de simulation Cloud SimScale, téléchargez cet aperçu ou regardez l’enregistrement de l’un de nos webinaires.

Vous trouverez du matériel pour commencer avec SimScale dans l’article du blog « 9 ressources D’apprentissage pour vous aider à démarrer avec la Simulation D’Ingénierie ».,