Précession (Français)

La précession induite par le couple (précession gyroscopique) est le phénomène dans lequel l’axe d’un objet tournant (par exemple, un gyroscope) décrit un cône dans l’espace lorsqu’un couple externe lui est appliqué. Le phénomène est couramment observé dans un plateau de jouet en rotation, mais tous les objets en rotation peuvent subir une précession. Si la vitesse de rotation et l’amplitude du couple externe sont constantes, l’axe de rotation se déplacera perpendiculairement à la direction qui résulterait intuitivement du couple externe., Dans le cas d’un plateau de jouet, son poids agit vers le bas à partir de son centre de masse et la force normale (réaction) du sol pousse vers le haut au point de contact avec le support. Ces deux forces opposées produisent un couple qui fait précéder le sommet.

L’appareil représenté à droite (ou au-dessus sur les appareils mobiles) est monté sur cardan., De l’intérieur vers l’extérieur, il y a trois axes de rotation: le moyeu de la roue, l’axe du cardan et le pivot vertical.

Pour distinguer les deux axes horizontaux, la rotation autour du moyeu de roue sera appelée rotation, et la rotation autour de l’axe du cardan sera appelée tangage. La rotation autour de l’axe de pivot vertical est appelée rotation.

Tout d’abord, imaginez que l’appareil entier tourne autour de l’axe de pivot (vertical). Ensuite, la rotation de la roue (autour du wheelhub) est ajoutée. Imaginez que l’axe du cardan soit verrouillé, de sorte que la roue ne puisse pas tanger., L’axe de cardan a des capteurs, qui mesurent s’il y a un couple autour de l’axe de cardan.

Sur l’image, une section de la roue a été nommée dm1. Au moment représenté dans le temps, la section dm1 est au périmètre du mouvement de rotation autour de l’axe de pivot (vertical)., La section dm1, par conséquent, a beaucoup de vitesse de rotation angulaire par rapport à la rotation autour de l’axe de pivot, et comme dm1 est forcé plus près de l’axe de pivot de la rotation (par la roue tournant plus loin), en raison de l’effet de Coriolis, par rapport à l’axe de pivot vertical, dm1 a tendance à se déplacer dans le sens de la flèche en haut à gauche dans le diagramme (représenté à 45°) dans le sens de rotation autour de l’axe de pivot. La section dm2 de la roue s’éloigne de l’axe de pivotement, et donc une force (encore une fois, une force de Coriolis) agit dans la même direction que dans le cas de dm1., Notez que les deux flèches pointent dans la même direction.

Le même raisonnement s’applique pour la moitié inférieure de la roue, mais là les flèches pointent dans la direction opposée à celle des flèches du haut. Combiné sur toute la roue, il y a un couple autour de l’axe du cardan lorsque de la rotation est ajoutée à la rotation autour d’un axe vertical.

Il est important de noter que le couple autour de l’axe du cardan se produit sans aucun retard; la réponse est instantanée.

Dans la discussion ci-dessus, la configuration a été maintenue inchangée en empêchant le tangage autour de l’axe du cardan., Dans le cas d’une toupie, lorsque la toupie commence à s’incliner, la gravité exerce un couple. Cependant, au lieu de rouler, la toupie tangue un peu. Ce mouvement de tangage réoriente la toupie par rapport au couple qui est exercé. Le résultat est que le couple exercé par la gravité – via le mouvement de tangage – provoque une précession gyroscopique (qui à son tour donne un contre-couple contre le couple de gravité) plutôt que de faire tomber la toupie sur le côté.,

La précession ou les considérations gyroscopiques ont un effet sur les performances du vélo à grande vitesse. La précession est également le mécanisme derrière les gyrocompas.

Édition classique (newtonienne)

La précession est le changement de vitesse angulaire et de moment angulaire produit par un couple., L’équation générale qui relie le couple au taux de variation du moment angulaire est:

τ = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}

En raison de la façon dont les vecteurs de couple sont définis, c’est un vecteur perpendiculaire au plan des forces qui le créent. Ainsi, on peut voir que le vecteur moment angulaire changera perpendiculairement à ces forces. Selon la façon dont les forces sont créées, elles tournent souvent avec le vecteur moment angulaire, puis une précession circulaire est créée.,ese circonstances, la vitesse angulaire de précession est donnée par:

ω p = m g r I s ω s = τ I s ω s sin ⁡ ( θ ) {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ fich}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}

où Est le moment d’inertie, ws est la vitesse angulaire de rotation sur l’axe de rotation, m est la masse, g est l’accélération due à la gravité, θ est l’angle entre l’axe de rotation et l’axe de précession et r est la distance entre le centre de masse et le pivot., Le vecteur de couple provient du centre de masse. À l’aide de ω = 2π/T, nous constatons que la période de précession est donnée par:

T p = 4 π 2 I s m g r T s = 4 π 2 I s sin ⁡ ( θ ) τ T s {\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}

Où Est le moment d’inertie, Ts est la période de rotation sur l’axe de rotation, et τ est le couple. En général, le problème est plus compliqué que cela, cependant.,

DiscussionEdit

Il existe un moyen facile de comprendre pourquoi la précession gyroscopique se produit sans utiliser de mathématiques. Le comportement d’un objet tournant obéit simplement à des lois d’inertie en résistant à tout changement de direction. Un objet tournant possède une propriété connue sous le nom de rigidité dans l’espace, ce qui signifie que l’axe de rotation résiste à tout changement d’orientation., C’est l’inertie de la matière composant l’objet tel qu’il résiste à tout changement de direction qui offre cette propriété. Bien sûr, la direction dans laquelle cette matière se déplace change constamment à mesure que l’objet tourne, mais tout autre changement de direction est résisté. Si une force est appliquée à la surface d’un disque en rotation, par exemple, la matière ne subit aucun changement de direction à l’endroit où la force a été appliquée (ou à 180 degrés de cet endroit). Mais 90 degrés avant et 90 degrés après cet endroit, la matière est obligée de changer de direction., Cela provoque le comportement de l’objet comme si la force était appliquée à ces endroits à la place. Lorsqu’une force est appliquée à quelque chose, l’objet exerce une force égale en arrière mais dans la direction opposée. Comme aucune force réelle n’a été appliquée à 90 degrés avant ou après, rien n’empêche la réaction d’avoir lieu et l’objet se déplace en réponse. Un bon moyen de visualiser pourquoi cela se produit est d’imaginer que l’objet en rotation est un grand beignet creux rempli d’eau, comme décrit dans le livre Thinking Physics de Lewis Epstein. Le beignet est maintenu immobile pendant que l’eau circule à l’intérieur., Au fur et à mesure que la force est appliquée, l’eau à l’intérieur change de direction de 90 degrés avant et après ce point. L’eau exerce alors sa propre force contre la paroi interne du beignet et provoque la rotation du beignet comme si la force était appliquée 90 degrés en avant dans le sens de rotation. Epstein exagère le mouvement vertical et horizontal de l’eau en changeant la forme du beignet de rond en carré avec des coins arrondis.

Imaginez maintenant que l’objet soit une roue de vélo en rotation, tenue aux deux extrémités de son essieu dans les mains d’un sujet., La roue tourne en mode horloge, vue d’un spectateur à la droite du sujet. Les positions d’horloge sur la roue sont données par rapport à cette visionneuse. Au fur et à mesure que la roue tourne, les molécules qui la composent se déplacent exactement horizontalement et vers la droite à l’instant où elles passent la position 12 heures. Ils se déplacent ensuite verticalement vers le bas à l’instant où ils passent 3 heures, horizontalement vers la gauche à 6 heures, verticalement vers le haut à 9 heures et horizontalement vers la droite à nouveau à 12 heures. Entre ces positions, chaque molécule parcourt des composants de ces directions., Imaginez maintenant que le spectateur applique une force sur la jante de la roue à 12 heures. Pour cet exemple, imaginez la roue s’inclinant lorsque cette force est appliquée; elle s’incline vers la gauche comme vue du sujet la tenant à son essieu. Lorsque la roue s’incline vers sa nouvelle position, les molécules à 12 heures (où la force a été appliquée) ainsi que celles à 6 heures, voyagent toujours horizontalement; leur direction n’a pas changé pendant que la roue basculait. Leur direction n’est pas différente non plus après que la roue se soit installée dans sa nouvelle position; ils se déplacent toujours horizontalement à l’instant où ils passent 12 et 6 heures., MAIS, les molécules passant 3 et 9 heures ont été obligées de changer de direction. Ceux à 3 heures ont été contraints de changer de se déplacer tout droit vers le bas, vers le bas et vers la droite comme vu du sujet tenant la roue. Les molécules passant à 9 heures ont été obligées de passer d’un mouvement droit vers le haut, vers le haut et vers la gauche. Ce changement de direction est résisté par l’inertie de ces molécules. Et quand ils subissent ce changement de direction, ils exercent une force égale et opposée en réponse À CES ENDROITS-3 ET 9 HEURES., À 3 heures, où ils ont été forcés de passer de la descente droite à la descente et à la droite, ils exercent leur propre force réactive égale et opposée à gauche. À 9 heures, ils exercent leur propre force réactive vers la droite, vue du sujet tenant la roue. Cela fait réagir la roue dans son ensemble en tournant momentanément dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, vu directement au-dessus. Ainsi, comme la force était appliquée à 12 heures, la roue se comportait comme si cette force était appliquée à 3 heures, soit 90 degrés en avant dans le sens de la rotation., Ou, vous pouvez dire qu’il s’est comporté comme si une force de la direction opposée était appliquée à 9 heures, 90 degrés avant la direction de rotation.

En résumé, lorsque vous appliquez une force à un objet tournant pour changer la direction de son axe de rotation, vous ne changez pas la direction de la matière comprenant l’objet à l’endroit où vous avez appliqué la force (ni à 180 degrés de celui-ci); la matière subit zéro changement de direction à ces endroits. La matière subit le changement maximal de direction 90 degrés avant et 90 degrés au-delà de cet endroit, et des quantités moindres plus proches de lui., La réaction égale et opposée qui se produit à 90 degrés avant et après provoque alors l’objet à se comporter comme il le fait. Ce principe est démontré dans les hélicoptères. Les commandes de l’hélicoptère sont gréées de manière à ce que les entrées soient transmises aux pales du rotor aux points 90 degrés avant et 90 degrés au-delà du point auquel le changement d’assiette de l’aéronef est souhaité. L’effet est considérablement ressenti sur les motos. Une moto va soudainement se pencher et tourner dans la direction opposée les barres de poignée sont tournées.,

La précession gyroscopique provoque un autre phénomène pour les objets en rotation tels que la roue de bicyclette dans ce scénario. Si le sujet qui tient la roue enlève une main d’une extrémité de son essieu, la roue ne basculera pas, mais restera debout, soutenue juste à l’autre extrémité. Cependant, il prendra immédiatement un mouvement supplémentaire; il commencera à tourner autour d’un axe vertical, pivotant au point d’appui pendant qu’il continue de tourner. Si vous permettez à la roue de continuer à tourner, vous devrez tourner votre corps dans la même direction que la roue a tourné., Si la roue ne tournait pas, elle basculerait évidemment et tomberait lorsqu’une main serait retirée. L’action initiale de la roue qui commence à se renverser équivaut à lui appliquer une force à 12 heures dans le sens vers le côté non supporté (ou une force à 6 heures vers le côté supporté). Lorsque la roue tourne, le manque soudain d’appui à une extrémité de son essieu équivaut à cette même force. Ainsi, au lieu de basculer, la roue se comporte comme si une force continue lui était appliquée à 3 ou 9 heures, selon le sens de rotation et la main retirée., Cela provoque le début du pivotement de la roue à l’extrémité supportée de son essieu tout en restant verticale. Bien qu’il pivote à ce point, il ne le fait que parce qu’il y est soutenu; l’axe réel de rotation précessive est situé verticalement à travers la roue, passant par son centre de masse. De plus, cette explication ne tient pas compte de l’effet de variation de la vitesse de l’objet en rotation; elle illustre seulement comment l’axe de rotation se comporte en raison de la précession., Plus correctement, l’objet se comporte en fonction de l’équilibre de toutes les forces basée sur la grandeur de la force appliquée, la masse et la vitesse de rotation de l’objet. Une fois que l’on a visualisé pourquoi la roue reste verticale et tourne, on peut facilement voir pourquoi l’axe d’une toupie tourne lentement pendant que le haut tourne comme indiqué dans l’illustration de cette page. Un sommet se comporte exactement comme la roue de vélo en raison de la force de gravité tirant vers le bas. Le point de contact avec la surface sur laquelle elle tourne est équivalent à l’extrémité de l’essieu sur lequel la roue est supportée., Lorsque la rotation du sommet ralentit, la force réactive qui le maintient debout en raison de l’inertie est surmontée par la gravité. Une fois que la raison de la précession gyroscopique est visualisée, les formules mathématiques commencent à avoir un sens.

Édition relativiste (Einsteinienne)

Les théories spéciales et générales de la relativité donnent trois types de corrections à la précession newtonienne, d’un gyroscope près d’une grande masse telle que la Terre, décrite ci-dessus. Ils sont:

• Précession de Thomas, une correction relativiste spéciale qui rend compte de l’accélération d’un objet (tel qu’un gyroscope) le long d’une trajectoire courbe.,
• précession de de Sitter, une correction relativiste générale tenant compte de la métrique de Schwarzschild de l’espace incurvé près d’une grande masse non rotative.
• Précession de Lense–Thirring, une correction relativiste générale tenant compte de la traînée de trame par la métrique de Kerr de l’espace incurvé près d’une grande masse en rotation.