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contexte théorique

table des matières

Introduction

Le faisceau cantilever est l’une des structures les plus simples. Il ne dispose que d’un seul support, à l’une de ses extrémités. Le support est un support dit fixe qui inhibe tout mouvement, y compris les déplacements verticaux ou horizontaux ainsi que les rotations éventuelles. L’autre extrémité n’est pas prise en charge, et il est donc libre de se déplacer ou de tourner. Cette extrémité libre est souvent appelée la pointe du porte-à-faux.,

retirer le support de singe ou insérer une charnière interne rendrait le faisceau cantilever dans un mécanisme: un corps sans restriction dans une ou plusieurs directions. C’est une situation indésirable pour une structure porteuse. En conséquence, la poutre cantilever n’offre aucune redondance en termes de soutiens. Si une défaillance locale se produit, toute la structure s’effondrerait., Ces types de structures, qui n’offrent aucune redondance, sont appelées structures critiques ou déterminantes. Au contraire, une structure qui dispose de plus de supports que nécessaire pour restreindre ses mouvements libres est appelée structure redondante ou indéterminée. La poutre en porte-à-faux est une structure déterminante.

les Hypothèses

L’analyse statique de toute structure de transport de charges implique l’estimation de ses forces internes et les moments, ainsi que ses flèches., Typiquement, pour une structure plane, avec chargement dans le plan , les actions internes d’intérêt sont la force axiale N, La force de cisaillement transversale V et le moment de flexion M. Pour une poutre en porte-à-faux qui ne porte que des charges transversales, la force axiale est toujours nulle, à condition que les déflexions soient faibles. Par conséquent, il est plutôt courant de négliger les forces axiales.,

les résultats calculés dans cette page sont basés sur les hypothèses suivantes:

• Le matériau est homogène et isotrope (en d’autres termes, ses caractéristiques sont les mêmes en tout point et dans n’importe quelle direction)
• Le matériau est élastique linéaire
• Les charges sont appliquées de manière statique (elles ne changent pas avec le temps)
• la section transversale est la même sur toute la longueur du faisceau
• Les déflexions sont faibles
• Chaque la section qui est initialement plane et également normale à l’axe longitudinal, reste plane et normale à l’axe dévié aussi., C’est le cas lorsque la hauteur de la section transversale est assez inférieure à la longueur de la poutre (10 fois ou plus) et que la section transversale n’est pas multicouche (pas une section de type sandwich).

Les deux dernières hypothèses satisfont aux exigences cinématiques de la théorie du faisceau D’Euler Bernoulli qui est adoptée ici aussi.

Convention de signe

pour le calcul des forces et des moments internes, à n’importe quelle coupe de la poutre, une convention de signe est nécessaire., Voici ce qui suit:

1. La force axiale est considérée comme positive lorsqu’elle provoque une tension sur la pièce
2. La force de cisaillement est positive lorsqu’elle provoque une rotation en horloge de la pièce.
3. le moment de flexion est positif lorsqu’il provoque une tension vers la fibre inférieure de la poutre et une compression vers la fibre supérieure.

ces règles, bien qu’elles ne soient pas obligatoires, sont plutôt universelles. Un ensemble de règles différent, s’il est suivi de manière cohérente, produirait également les mêmes résultats physiques.,E, V et moment de flexion, M

symboles

• E : le module d’élasticité du matériau (module de Young)
• I : le moment d’inertie de la section transversale autour de l’axe neutre élastique de flexion
• L : La longueur totale du faisceau
• R : réaction : déviation
• m : moment de flexion
• v : Force de cisaillement transversale
• \thêta : Pente

poutre en porte-à-faux avec une charge répartie uniforme

la charge W est répartie sur toute la portée en porte-à-faux, ayant une amplitude et une direction constantes., Ses dimensions sont la force par longueur. La quantité totale de force appliquée à la poutre en porte-à-faux est W=w L , où L La longueur de la poutre. La force totale W ou la force distribuée par longueur w peut être donnée, selon les circonstances.

le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique du faisceau cantilever sous une charge répartie uniforme W.

poutre Cantilever avec le point de force à la pointe

La force est concentrée en un seul point, situé à l’extrémité libre de la poutre., Dans la pratique Cependant, la force peut être répartie sur une petite zone, bien que les dimensions de cette zone devraient être sensiblement plus petites que la longueur en porte-à-faux. Dans le voisinage proche de l’application de la force, des concentrations de contraintes sont attendues et, par conséquent, la réponse prédite par la théorie classique du faisceau est peut-être inexacte. Ce n’est qu’un phénomène local cependant. Au fur et à mesure que nous nous éloignons de l’emplacement de la force, les résultats deviennent valables, en vertu du principe de Saint-Venant.,

le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique du faisceau cantilever sous une force ponctuelle concentrée P , imposée à la pointe.

poutre en porte-à-faux avec une force ponctuelle à une position aléatoire

la force est concentrée en un seul point, n’importe où sur toute la longueur du porte-à-faux. Dans la pratique Cependant, la force peut être répartie sur une petite zone. Cependant, pour considérer la force comme concentrée, les dimensions de la zone d’application doivent être sensiblement plus petites que la longueur du faisceau., Dans le voisinage proche de la force, des concentrations de contraintes sont attendues et, par conséquent, la réponse prédite par la théorie classique du faisceau peut être inexacte. Il ne s’agit cependant que d’un phénomène local, et à mesure que nous nous éloignons de l’emplacement de la force, l’écart des résultats devient négligeable.

le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique du faisceau cantilever sous une force ponctuelle concentrée P , imposée à une distance aléatoire a du support fixe.,

poutre en porte-à-faux avec moment ponctuel

dans ce cas, un moment est imposé en un seul point de la poutre, n’importe où à travers la travée. En pratique, il pourrait s’agir d’un couple de force, ou d’un élément en torsion, relié hors du plan et perpendiculaire à la poutre.

dans tous les cas, la zone d’application du moment doit s’étendre sur une petite longueur du porte-à-faux, de sorte qu’elle puisse être idéalisée avec succès comme un moment concentré à un point., Bien qu’à proximité de la zone d’application, les résultats prévus par la théorie classique du faisceau soient inexacts (en raison des concentrations de contraintes et d’autres effets localisés), les résultats prévus deviennent parfaitement valides, lorsque nous nous éloignons, comme indiqué par le principe de Saint-Venant.

le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique du faisceau cantilever sous un moment ponctuel concentré M , imposé à une distance a du support fixe.,

poutre en porte-à-faux avec une charge distribuée variable

la charge est répartie sur toute la longueur en porte-à-faux, ayant une amplitude variable linéairement, à partir de w_1 au niveau du support fixe, à w_2 à l’extrémité libre. Les dimensions de w_1 et w_2 sont la force par longueur. La quantité totale de force appliquée à la poutre est W={L \ over2} (w_1+w_2) , où L La longueur en porte-à-faux.

le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique du faisceau cantilever sous une charge distribuée variable, de forme trapézoïdale.,

poutre en porte-à-faux avec répartition de charge trapézoïdale de type dalle

cette répartition de charge est typique des poutres en porte-à-faux supportant une dalle. La distribution ressemble à un trapèze droit, avec une partie croissante proche du support fixe et une partie constante, avec une magnitude égale à w , à la longueur restante, jusqu’à la pointe. Les dimensions de w sont la force par longueur. La quantité totale de force appliquée à la poutre est W=w (L-a/2) , où, L , est la longueur en porte-à-faux et, a , est la longueur proche du support fixe, où la répartition de la charge est variable (triangulaire).,

Le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique de la poutre cantilever sous une forme trapézoïdale répartition de la charge, en raison d’un bloc, comme représenté dans le schéma ci-dessus.

poutre Cantilever avec partiellement distribué charge uniforme

La charge est répartie sur une partie du levier de longueur, avec une grandeur constante w , alors que la longueur restante est déchargé. Les dimensions de w sont la force par longueur., La quantité totale de force appliquée à la poutre est W=w \ left (L-a-b\right) , où L La longueur en porte-à-faux et a , b les longueurs déchargées sur les côtés gauche et droit de la poutre, respectivement.

le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique du faisceau cantilever sous une charge uniforme partiellement répartie.

poutre Cantilever avec partiellement distribué trapézoïdale à charger

La charge est répartie sur une partie du levier de longueur, ayant linéairement variables grandeur de w_1 à w_2 , tandis que la longueur restante est déchargé., Les dimensions de w_1 et w_2 sont la force par longueur. La quantité totale de force appliquée au faisceau est W={L-a-b\over2}(w_1+w_2) , où L La longueur du faisceau et a , b les longueurs déchargées à gauche et à droite du faisceau respectivement.

le tableau suivant contient les formules décrivant la réponse statique du faisceau cantilever sous une charge trapézoïdale partiellement distribuée.,