Fourier-analízis

(Continuous) Fourier transformEdit

leggyakrabban a Fourier-transzformáció képzetlen kifejezés egy folyamatos valós argumentum funkcióinak átalakítására utal, és folyamatos frekvenciaeloszlásként ismert frekvencia-függvényt hoz létre. Az egyik funkció átalakul egy másikba, a művelet visszafordítható., Ha a bemeneti (kezdeti) függvény tartománya idő (t), és a kimeneti (végső) függvény tartománya rendes frekvencia, akkor az S(t) függvény F frekvencián történő átalakítását a komplex szám adja:

S ( f) = ∫ ∞ ∞ S ( t) ⋅ e − i 2 π F T D t . {\displaystyle S (f) = \ int _ {- \infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt.}

ennek a mennyiségnek az értékelése az f összes értékére a frekvenciatartomány függvényt hozza létre., Ezután az s ( t) az összes lehetséges frekvencia komplex exponenciáljának rekombinációjaként ábrázolható:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ s(f ) ⋅ e i 2 π F t d f f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }s (f)\cdot e^{I2\pi ft}\,DF,}

amely az inverz transzformációs képlet. A komplex szám, S (f), mind az F frekvencia amplitúdóját, mind fázisát közvetíti.,

lásd Fourier transzformáció sokkal több információt, beleértve:

• egyezmények amplitúdó normalizálás és frekvencia méretezés / egységek
• transzformáció Tulajdonságok
• tabulált transzformációk specifikus funkciók
• egy kiterjesztés / általánosítás funkciók több dimenzióban, mint például a képek.,

Fourier seriesEdit

A Fourier egy periodikus függvény, sP(t), korabeli P válik Dirac comb funkció, modulált által sorozata komplex együtthatós:

S = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ e − i 2 π k O t a d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (ahol ∫P a szerves minden intervallum hossza P).,

Az inverz transzformáció, ismert, mint a Fourier-sor, ábrázolása sP(t) szempontjából összegzése egy potenciálisan végtelen számú harmonikusan kapcsolódó sinusoids vagy komplex exponenciális függvények, mindegyik egy amplitúdó illetve fázis által meghatározott egyik együtthatók:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k O t . {\displaystyle s_{p}(t)\ \ = \ {\mathcal {F}}}^{-1} \bal\{\sum _{k=-\infty} ^{+\infty} s\,\delta\bal(F-{\frac {k} {p}}\jobb)\jobb\}\\ = \ \ sum _{k=- \ infty} ^{\infty} s\cdot e^{I2\pi {\frac {K} {P}}} {P}}}}}}} t}.,}

bármely sP(t) kifejezhető egy másik függvény időszakos összegzéseként, s(t):

S P ( t) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t − m p ) , {\displaystyle s_{p}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-MP),}

és az együtthatók arányosak az S( F ) mintáival 1/p diszkrét intervallumokban:

s = 1 p ⋅ s ( k p ) . {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}

vegye figyelembe, hogy bármely s (t), amelynek transzformációja azonos diszkrét mintaértékekkel rendelkezik, felhasználható az időszakos összegzésben. Elegendő feltétel az S(t) (és ezért s( f )) kinyeréséhez csak ezekből a mintákból (azaz, a Fourier-sorozatból) az, hogy az s(t) nem nulla része a P időtartam ismert intervallumára korlátozódik, amely a Nyquist–Shannon mintavételi tétel frekvenciatartomány-kettőse.

lásd Fourier sorozat további információ, beleértve a történelmi fejlődés.

diszkrét idejű Fourier-transzformáció (DTFT)Edit

a dtft az idő-domain Fourier-sorozat matematikai kettőse.,e együtthatók mintákat kapcsolódó folyamatos idő függvényében:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k-T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ Fourier-sor (DTFT) ⏟ Poisson összegzése képlet = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\összeg _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\összeg _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier-sor (DTFT)}}} _{\text{Poisson összegzése forma}}={\mathcal {F}}\maradt\{\összeg _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\rendben\},\,}

ami úgy ismert, mint a DTFT., Így az s szekvencia DTFT-je a modulált Dirac fésű függvény Fourier-transzformációja is.

A Fourier-sor együtthatók (illetve inverz transzformáció), határozza meg:

s ≜ T ∫ 1 T S 1 T ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f n T d f ⏟ ≜ s ( n T ) . {\displaystyle s\ \ triangleq \ t \ int _ {\frac {1}{t}}S_ {\frac {1}{T}}} (f)\cdot e^{i2\pi fnt}\, df = t \ underbrace {\int _{- \infty }^{\infty }s (f) \ cdot e^{I2\pi fnt}\, DF} _{\triangleq \, s (nT)}}}.,}

A t paraméter megfelel a mintavételi intervallumnak, és ez a Fourier-sorozat most a Poisson-összegzési képlet egyik formájaként ismerhető fel. Így van az a fontos eredmény, hogy amikor egy diszkrét adatszekvencia, s, arányos egy mögöttes folyamatos függvény mintáival, s (t), megfigyelhetjük a folyamatos Fourier-transzformáció, S( f) időszakos összegzését. Vegye figyelembe, hogy az azonos diszkrét mintaértékekkel rendelkező s(t) ugyanazt a dtft-t állítja elő, de bizonyos idealizált körülmények között elméletileg pontosan vissza lehet állítani az S( f ) és s(t) értéket., A tökéletes helyreállításhoz elegendő feltétel az , hogy az S( f ) nem nulla része az 1/t szélességű ismert frekvenciaintervallumra korlátozódik.ha ez az intervallum, az alkalmazandó rekonstrukciós képlet a Whittaker–Shannon interpolációs képlet. Ez egy sarokköve az alapja a digitális jelfeldolgozás.

Az S1/t( f ) iránti érdeklődés másik oka az, hogy gyakran betekintést nyújt a mintavételi folyamat által okozott aliasing mennyiségébe.

A DTFT alkalmazásai nem korlátozódnak a mintavételezett funkciókra.,az ing (véges hosszúságú sorozatok)

transform tulajdonságok

táblázatos átalakítja a speciális funkciók

Diszkrét Fourier-transzformáció (DFT)Edit

Hasonló a Fourier-sor, a DTFT időszakos sorozat, sN, korabeli N, lesz egy Dirac comb funkció, árnyalja a sorozata komplex együtthatók (lásd a DTFT § Időszakos adatok):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N n , k ∈ Z,, {\displaystyle S=\összeg _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (ahol ∑n az összeget bármely, sorozat hossz N).,

az S szekvencia az, amit szokásosan ismert, mint a DFT egy ciklus sN. Ez is n-periodikus, ezért soha nem szükséges több, mint N együtthatót kiszámítani. Az inverz transzformációt, más néven diszkrét Fourier-sorozatot, a következők adják:

S N = 1 n ∑ k s ⋅ e i 2 π n n k, {\displaystyle s_{N} = {\frac {1}{n}}} \ sum _ {k}s \ cdot e^{I2 \ pi {\frac {n}{n}}} k}, ahol ∑k az n hosszúságú szekvenciák összege.,

Amikor sN fejezik ki, mint egy rendszeres összegzése másik funkció:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\összeg _{m=-\infty }^{\infty }s, a}, s ≜ s ( n T),, {\displaystyle s\,\triangleq \s(nT),}

az együtthatók arányos mintát S1/T( f ) a diszkrét időközönként 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S 1 T ( k-P ) . ez a szócikk a következő szöveggel egészül ki:,}

fordítva, ha egy folytonos DTFT, S1/T (f) ciklusának diszkrét mintáinak tetszőleges számát( N) akarjuk kiszámítani, akkor ezt a fent meghatározott SN viszonylag egyszerű DFT-jének kiszámításával lehet elvégezni. A legtöbb esetben, N választjuk egyenlő a hossza nem nulla része s. növekvő N, úgynevezett nulla-padding vagy interpoláció, eredményez szorosabban elhelyezett minták egy ciklus S1 / T (f). Csökkenő N, okoz átfedés (hozzátéve) az idő-tartomány (analóg aliasing), amely megfelel decimation a frekvenciatartományban., (lásd DTFT § mintavétel a DTFT) a legtöbb esetben a gyakorlati érdeklődés, az s szekvencia egy hosszabb szekvencia, amely csonka alkalmazásával véges hosszúságú ablak funkció vagy fenyő szűrő tömb.

a DFT egy gyors Fourier transzformációs (FFT) algoritmus segítségével számítható ki, ami gyakorlati és fontos átalakítást tesz lehetővé a számítógépeken.,

Lásd a Diszkrét Fourier-sokkal több információt, beleértve a következőket:

• transform tulajdonságok
• alkalmazások
• táblázatos átalakítja a speciális funkciók

SummaryEdit

Az időszakos funkciókat, mind a Fourier-a DTFT között csak egy diszkrét meghatározott frekvencia-összetevők (Fourier-sor), a átalakítja a számok, hogy azokat a frekvenciákat. Az egyik bevett gyakorlat (a fentiekben nem tárgyalt) az, hogy ezt a divergenciát Dirac delta és Dirac fésű funkciókkal kezeljük., De ugyanazok a spektrális információk észlelhetők az időszakos függvény egyetlen ciklusából, mivel az összes többi ciklus azonos. Hasonlóképpen, a véges időtartamú függvények Fourier-sorozatként is ábrázolhatók, tényleges információveszteség nélkül, kivéve, hogy az inverz transzformáció periodicitása pusztán tárgy.

a gyakorlatban az s (•) időtartamára korlátozódik, p vagy N. de ezek a képletek nem igénylik ezt a feltételt.,

szimmetria tulajdonságokszerkesztés

amikor egy komplex függvény valós és képzeletbeli részei páros és páratlan részeikre bomlanak, négy komponens van, amelyeket az alábbiakban a RE, RO, IE és IO alkriptek jelölnek.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Ezzel szemben egy egyenletes szimmetrikus transzformáció valós értékű időtartományt jelent.
• egy képzeletbeli értékű függvény (i sIE+ i sIO) transzformációja a páratlan szimmetrikus függvény SRO+ i SIE, és a konverse igaz.
• egy páros szimmetrikus függvény (sRE+ i sIO) transzformációja az sre+ SRO valós értékű függvénye, a konverse pedig igaz.
• egy páratlan-szimmetrikus függvény (sRO+ i sIE) transzformációja az I SIE+ i SIO képzeletbeli értékű függvénye, a konvergencia pedig igaz.,

Fourier átalakítja tetszőleges lokálisan kompakt abel-topológiai groupsEdit

A Fourier-változatok is lehet generalizált, hogy a Fourier-át tetszőleges lokálisan kompakt Abel-topológiai csoportok, amelyek vizsgálták a harmonikus analízis; ott, a Fourier veszi funkciók egy csoport funkciók dual csoport. Ez a kezelés lehetővé teszi a konvolúciós tétel általános megfogalmazását is, amely a Fourier-transzformációkat és a konvolúciókat érinti. Lásd még a Pontryagin kettősséget a Fourier-transzformáció általános alátámasztására.,

pontosabban, a Fourier-analízist coseteken, akár diszkrét coseteken is el lehet végezni.

Time-frequency transformsEdit

a jelfeldolgozás szempontjából a függvény (az idő) egy jel tökéletes időfelbontású ábrázolása, de nincs frekvencia információ, míg a Fourier-transzformációnak tökéletes frekvenciafelbontása van, de nincs időinformáció.,

a Fourier-transzformáció alternatívájaként az idő-frekvencia analízisben az idő–frekvencia transzformációkat használjuk a jelek megjelenítésére olyan formában, amely bizonyos időinformációval és bizonyos frekvenciainformációval rendelkezik – a bizonytalanság elve szerint ezek között kompromisszum van., Ezek lehetnek generalizations a Fourier, mint például a rövid idejű Fourier, a Gábor átalakítani, vagy tört Fourier-transzformáció (FRFT), vagy használhatja a különböző funkciókat képviseli, jelek, mint a hullám átalakítja, illetve chirplet átalakítja, a wavelet analóg a (folyamatos) Fourier, hogy a folytonos wavelet transzformáció.