Görbe

Nagyjából egy differenciálható görbe egy olyan görbe, amely úgy van definiálva, hogy helyben a kép egy injektív differenciálható függvény γ : I → X {\displaystyle \gamma \vastagbél I\működik a legjobban, X} egy intervallum azt a valós számok egy differenciálható sokrétűek X, gyakran R n . ez a szócikk az alábbi linken érhető el:}

pontosabban, egy differenciálható görbe X c részhalmaza, ahol a C minden pontjának u szomszédsága van, úgy, hogy a C ∩ U {\displaystyle C \ cap U} diffeomorf a valós számok intervallumára., Más szóval, a differenciálható görbe egy differenciálható sokrétű dimenzió egy.

görbület hossza

Hossz ⁡ ( γ ) = def ∫ a b | γ ‘ ( t ) | d t . {\displaystyle \ operatorname {Length} (\gamma) ~{\stackrel {\text{def}}} {=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.}

a görbe hossza független a γ {\displaystyle \gamma} parametrizációtól .

s = ∫ a b 1 + 2 D x . ez a szócikk az alábbi linken érhető el:{1+^{2}}}~\ mathrm {d} {x}.,} Length ⁡ ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t i − 1))) | n ∈ N és a = T 0 < t 1 < … < t n = B}), {\displaystyle \operatorname {length} (\Gamma) ~{\stackrel {\text{Def}}{=}}~\SUP \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} hossz ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \ operatorname {Length}\!,\ left (\gamma / _ {} \right) = t_{2} – t_{1}.} Speed γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma}}} (t)~{\stackrel {\text{def}}} {=}}~\limsup _{\ni s\to t} {\frac {d(\gamma (s),\gamma (t)}}} {|S-t|}}}}

majd mutassa meg, hogy

/p > hossz ⁡ ( γ) = ∫ a B sebesség γ ( t) d t . {\displaystyle \ operatorname {Length} (\gamma) = \int _{a}^{b} {\operatorname {Speed} _{\gamma}}} (t)~ \ mathrm {d} {t}.,}

differenciál geometriaszerkesztés

míg a teljesülő görbék első példái többnyire síkgörbék (azaz mindennapi szavakban ívelt vonalak kétdimenziós térben), nyilvánvaló példák vannak, például a hélix, amelyek természetesen léteznek három dimenzióban. A geometria szükségletei, valamint például a klasszikus mechanika az, hogy tetszőleges számú dimenzió térben görbe legyen. Az Általános relativitáselméletben a világvonal a téridő görbéje.,

Ha X {\displaystyle X} differenciálható sokrétű, akkor meghatározhatjuk a differenciálható görbe fogalmát X {\displaystyle X} – ben . Ez az általános ötlet elegendő ahhoz, hogy a matematika görbéinek számos alkalmazását lefedje. Helyi szempontból x {\displaystyle X} lehet euklideszi tér. Másrészt hasznos általánosabbnak lenni, mivel (például) a görbe fogalmával meg lehet határozni az érintő vektorokat X {\displaystyle X} – re.,

Ha X {\displaystyle X} egy sima sokrétű, egy sima görbe x {\displaystyle X} egy sima térkép

γ :i → X {\displaystyle \ gamma \ colon I \ rightarrow X}.

azt mondják, hogy egy differenciálható görbe szabályos, ha származéka soha nem tűnik el. (Szavakkal, egy szabályos görbe soha nem lassul a stop vagy backtracks önmagában.,) Két C k {\displaystyle C^{k}} differenciálható görbék

γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\vastagbél I\működik a legjobban, X}, aztán γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\vastagbél J\működik a legjobban, X}

azt mondta, hogy egyenértékű, ha van egy bijective C k {\displaystyle C^{k}} térkép

p : J → I {\displaystyle p\vastagbél J\működik a legjobban, úgy}

olyan, hogy az inverz térkép

p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\vastagbél I\működik a legjobban, J}

a is C-k {\displaystyle C^{k}} , és

γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}