Gamma-függvény

GeneralEdit

Egyéb fontos funkcionális egyenletek a gamma-függvény vagy Euler gondolkodási forma

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π sin ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\ne \a \mathbb {Z} }

ami azt jelenti,

Γ ( ε − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε ) , {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

a Legendre párhuzamos formula

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2, z ) ., {\displaystyle \ Gamma (z) \Gamma\left(z+{\tfrac {1}{2}}}\right)=2^{1-2z}\; {\sqrt {\pi}\; \ Gamma (2z).}

a párhuzamos képlet a szorzási tétel speciális esete (lásd, Eq. 5.5.6)

∏ k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \ prod _{k = 0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}}\; m^{\frac {1} {2}}}-MZ}\;\Gamma (Mz).}

egy egyszerű, de hasznos tulajdonság, amely a határmeghatározásból látható, a következő:

Γ (z) = Γ ( z) ⇒ Γ ( z) Γ ( z) Γ (z) Γ R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \balra(-n+bi\jobbra)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\jobbra)|^{2}&={\frac {\pi }{\ólmosbot(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{igazítva}}}

Talán a legismertebb érték a gamma-függvény a nem egész érvelés

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2, n ) !, 4 NN ! π = (2 n − 1 ) ! ! 2 n π = (n-1 2 n) n ! π Γ ( 1 2 − n ) = ( − 4 ) n n ! (2 n)! π = ( − 2 ) n ( 2 n − 1 ) ! ! π = π (- 1 / 2 n) n ! {\displaystyle {\begin {corined} \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{2}}}+n\right)&={(2n)! \ over 4^{n}n!{\sqrt {\pi } ={\frac {(2n-1)!!{2^{n}}} {\sqrt {\pi }} = {\binomom {n – {\frac {1}{2}}}} {n}}n!{\sqrt {\pi} \\Gamma\left ({\tfrac {1} {2}}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \ over (2n)!{\sqrt {\pi }} = {\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}ez a szócikk az alábbi linken érhető el:,}} \ end{igazított}}}}

a gamma-függvény származékait a polygamma-függvény szempontjából írják le. Például:

Γ ‘ (z) = Γ ( z) ψ 0 ( z). {\displaystyle \ Gamma ‘ (z)=\Gamma(z)\psi _{0} (z).}

pozitív egész m esetén a gamma-függvény deriváltja a következőképpen számítható ki (itt γ {\displaystyle \ gamma } az Euler-Mascheroni állandó):

Γ ‘ ( m + 1) = m ! (- γ + ∑ k = 1 m 1 k). {\displaystyle \ Gamma ‘ (m + 1) = m!\ left (- \gamma + \ sum _ {k = 1}^{m} {\frac {1}{K}}\right)\,.,}

for ℜ ( x ) >0 {\displaystyle \Re (x)>0} a gamma − függvény n {\displaystyle n} deriváltja:

d n d x n γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 E-t ( Ln ⁡ t ) n d t függvény deriváltja . {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}}} \ Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}E^{-t} (\Ln t)^{n}\,dt.,}

(Ez a gamma-függvény integrált formájának x {\displaystyle x} – hez viszonyított megkülönböztetésével , valamint az integrált jel alatt történő differenciálás technikájával származtatható.)

Γ ( n) (1) = (−1) n n ! π π π n ∏ i = 1 r ζ ∗ (A i) k i ! ⋅ a i ζ ∗ (x): = { ζ (x) x ≠ 1 γ x = 1 {\displaystyle \ Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\ sum \ limits _{\pi \, \ vdash\, n}\, \ prod _{i=1}^{r} {\frac {\zeta ^{ * } (a_{i})}{k_{i}!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}} π = a 1 + ⋯ + A 1 ⏟ K 1 kifejezések + ⋯ + a r + ⋯ + A r ⏟ K R kifejezések , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ terms}}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}} {\text{ terms}}}}}},}

van különösen

γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) Z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + o ( z 3 ) ., {\displaystyle \ Gamma (z) = {\frac {1}{z}} – \ gamma +{\tfrac {1}{2}} \ bal (\gamma ^{2} + {\frac {\pi ^{2}}{6}}\jobb) z – {\tfrac {1}{6}}} \ bal (\gamma ^{3} + {\frac {\gamma \ pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3) \ right) z^{2} + O (z^{3}).}

Egyenlőtlenségekszerkesztés

a pozitív valós számokra korlátozva a gamma-függvény szigorúan logaritmikusan konvex függvény., Ezt a tulajdonságot a következő három egyenértékű módon lehet megadni:

• bármely két pozitív valós szám x 1 {\displaystyle x_{1}}} és x 2 {\displaystyle x_{2}}, valamint bármely t ∈ {\displaystyle T \ in},

Γ (t x 1 + (1-t ) x 2) ≤ Γ (x 1 )t Γ ( x 2 ) 1 − t. {\displaystyle \ Gamma (TX_{1} + (1-t)x_{2}) \ leq \ Gamma (x_{1})^{t} \ Gamma(x_{2})^{1-t}.}

• bármely két pozitív valós szám esetén X és y, y > x,

(Γ (y) Γ ( x)) 1 y-x > Exp ⁡ ( Γ ‘ (x) Γ (x)))., {\displaystyle \ left ({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}}\right)^{\frac {1} {y-x}}>\exp \left ({\Frac {\Gamma ‘(x)} {\Gamma (x)}}}\right).}

• bármely pozitív valós szám x {\displaystyle x},

Γ “(x) Γ (x) > Γ ‘ (x ) 2 . {\displaystyle \ Gamma ” (x)\Gamma (x)> \ Gamma ” (x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + A N x N a 1 + ⋯ + A n) ≤ (Γ ( x 1 ) A 1 Γ Γ (x n ) A n ) 1 a 1 + ⋯ + A n ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}}} {a_{1}+\cdots +a_{n}}}}\right)\leq {\bigl (} \Gamma (x_{1})^{a_{1}}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}}}}}} ^{\bigr)}} ^ {\frac {1} {a_{1}+\cdots +a_{n}}}}}.}

a gamma-függvények arányának is vannak határai. A legismertebb Gautschi egyenlőtlensége, amely azt mondja, hogy minden pozitív valós szám x és bármely s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s} <{\Frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}}<(x+1)^{1-s}.}

Stirling formulaEdit

A Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (Z)} viselkedése egy növekvő pozitív változóhoz egyszerű. Gyorsan növekszik, gyorsabb, mint valójában egy exponenciális függvény., Aszimptotikusan z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} a gamma-függvény nagyságát Stirling képlete adja

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( z e ) z , {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\bal({\frac {z}{e}}}\jobb)^{z},}

egy másik hasznos határ az aszimptotikus közelítésekhez:

lim n → ∞ γ ( n + α ) γ ( n ) n α = 1 , α ∈ c . {\displaystyle \ lim _{N\to \ infty } {\Frac {\Gamma (n + \ alpha)} {\Gamma (n) n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}

ResiduesEdit

a nem pozitív z {\displaystyle z} viselkedése bonyolultabb., Az Euler integrálja nem konvergál z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0} esetén, de a pozitív komplex félsíkban definiált függvény egyedi analitikus folytatása a negatív félsíknak. Az egyik módja, hogy megtalálják az analitikus folytatása az, hogy használja Euler szerves része a pozitív érvek, valamint meghosszabbítja a domain hogy a negatív számok ismételt alkalmazása az ismétlődés képlet,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n),, {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \ operatorname {Res} (f,c) = \ lim _{z \ to c} (z-c) f (z).}

az egyszerű z = − n pólusnál {\displaystyle z= – n,} átírjuk a megismétlődési képletet:

(z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1) ⋯ (z + n − 1 ) . {\displaystyle (z + n)\Gamma (z)={\Frac {\Gamma (z+n+1)} {z(z+1) \ cdots (z+n-1)}}}}.}

A számláló z = − n , {\displaystyle z=-n,} az

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

a nevező

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z (z + 1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n) \ cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

tehát a gamma-függvény maradékai ezeken a pontokon:

Res ⁡ (Γ , − n) = (−1) n n ! . {\displaystyle \ operatorname {Res} (\Gamma, – n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

a gamma-függvény helyi minimuma zmin ≈ +1, 46163214496836234126 (csonka), ahol eléri a Γ(zmin) értéket ≈ +0, 88560319441088870027 (csonka)., A gamma-függvénynek váltakoznia kell a pólusok között, mert az előremenetben lévő termék páratlan számú negatív tényezőt tartalmaz, ha a Z {\displaystyle z} és z + n {\displaystyle z+n} közötti Pólusok száma páratlan, és páros szám, ha a pólusok száma páros.

Integral representationsEdit

a második fajta Euler-integrálján kívül számos olyan képlet létezik, amelyek a gamma-funkciót integrálként fejezik ki. Például, ha a Z valós része pozitív,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log ⁡ 1 t ) z − 1 d t ., {\displaystyle \ Gamma (z)=\int _{0}^{1}\Bal(\log {\frac {1}{t}}}\jobb)^{z-1}\, dt.}

Binet első integrált képlete a gamma-függvényhez azt állítja, hogy amikor a Z valós része pozitív, akkor:

Log ⁡ Γ (z) = (z-1 2) log ⁡ z-z + 1 2 log ⁡ (2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t-1 ) e-t z T t T t . {\displaystyle \ log \ Gamma (z) = \ left (z-{\frac {1}{2}}}\right)\log z-z+{\frac {1} {2}} \ log (2 \ pi ) + \ int _ {0}^{\infty } \ left ({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}} + {\frac {1} {E^{t}-1}}\jobb) {\frac {e^{- tz}} {t}}\, dt.}

A jobb oldali integrál Laplace transzformációként értelmezhető., Vagyis

log ⁡ ( Γ ( Z ) ( E z ) Z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 t 2 + 1 t ( e t − 1 ) ) ( z ) . {\displaystyle \ log \ left (\Gamma (z)\left ({\frac {E}{z}}}\right)^{z} {\sqrt {2\pi z}}}\right)={\mathcal {l}}}\left ({\frac {1} {2T}}}-{\frac {1}} {T^{2}}}}}}+{\frac {1} {T(E^{t} -1)}} \ right) (z).}

Binet második integrált képlete azt állítja, hogy ismét, amikor a Z valós része pozitív, akkor:

Log Γ Γ (z) = (z − 1 2) log ⁡ z − z + 1 2 log ⁡ ( 2 π) + 2 ∫ 0 arc arctan ⁡ ( t / z) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \ log \ Gamma (z) = \left(z-{\frac {1}{2}}}}\right)\log z-z+{\frac {1} {2}}\log(2\pi) +2\int _{0}^{\infty} {\FRAC {\arctan(t/z)} {e^{2\pi t} -1}}\, dt.,}

Let C egy Hankel kontúr, ami azt jelenti, egy utat kezd ér véget azon a ponton, ∞ a Riemann-féle gömb, amelynek egységet érintő vektor közelít, hogy -1 az elején az az út, valamint 1 a végén, amely kanyargós 1-es szám körül, 0, amelyek nem kereszt

Γ ( z ) = − 1 2 i sin ⁡ π z ∫ C ( − t ) z − 1 e − t-d-t,, {\displaystyle \Gamma – (z)=-{\frac {1}{2i\bűn \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{t}\dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C ( − t ) − z-e − t-d-t,, {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{t}\dt,}

ismét érvényes, ha z nem egy egész szám.,unction a következő Fourier-sor terjeszkedés 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) a ⁡ π − 1 2 ln ⁡ bűn ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n sin ⁡ ( 2 π n, z ) , {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\jobbra)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\a \pi -{\frac {1}{2}}\a \a bűn(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\összeg _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

ami régóta tudható, hogy Ernst Kummer, aki nyert már 1847-ben., Iaroslav Blagouchine azonban felfedezte, hogy Carl Johan Malmsten először 1842-ben hozta létre ezt a sorozatot.

Raabe formulaszerkesztés

1840-ben Joseph Ludwig Raabe bebizonyította, hogy

∫ a + 1 ln Γ Γ (z) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π + a ln ⁡ a − a , a > 0. {\displaystyle \ int _ {a}^{A+1}\Ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}}\ln 2\pi +a\Ln a-a,\quad a>0.}

különösen, ha a = 0 {\displaystyle a = 0} akkor

∫ 0 1 ln Γ Γ (z) d z = 1 2 ln ⁡ 2 π . {\displaystyle \ int _ {0}^{1}\Ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .,}

Ez utóbbi a fenti szorzatképlet logaritmusát figyelembe véve származtatható, amely kifejezi az integrand Riemann-összegét. A → ∞ {\displaystyle A\rightarrow \infty} határértékének felvétele adja a képletet.,

Pi functionEdit

Egy alternatív jelölést, amely eredetileg be a Gauss-amely néha használják a Π {\displaystyle \Pi } -funkció, amely tekintetében a gamma-függvény

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e − t t z d t {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{t}t^{z}\dt,}

tehát, hogy Π ( n ) = n ! {\displaystyle \ Pi (n) = n!} minden nem negatív egész számra n {\displaystyle n} .,

A Pi függvény használatával a reflexiós képlet a

Π ( z ) Π ( − z ) = π z sin ⁡ ( π z ) = 1 sinc ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}}}={\frac {1} {\operatorname {sinc} (z)}}}}

ahol sinc a normalizált sinc függvény, míg a szorzási tétel

π ( z m ) π ( z − 1 m) π π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 π ( z) formát veszi fel . {\displaystyle\pi\left ({\frac {z}{m}}}}\right)\,\pi\left ({\frac {z-1} {m}} \right) \cdots\pi\left ({\frac {z-m+1} {m}}} \right)=(2\pi) ^{\frac {m-1} {2}}} m^{-z-{\frac {1} {2}}}}}} \ Pi (z)\.,}

néha találunk

π ( z ) = 1 Π ( z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}}\,}

egy n-ellipszoid térfogata radii r1-vel, …, rn kifejezhető

v n (r 1,…, r n) = π n 2 Π ( n 2) ∏ K = 1 n r k . {\displaystyle V_ {n} (r_{1}, \ dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}}} {\pi \ bal ({\frac {n} {2}}} \ jobb)}} \ prod _ {k=1}^{n}R_{k}.}

kapcsolat más funkciókkalszerkesztés

• a fenti első integrálban, amely meghatározza a gamma funkciót, az integráció korlátai rögzítve vannak., A felső és az alsó hiányos gamma-függvények azok a függvények, amelyeket úgy kapunk, hogy az integráció alsó vagy felső (ill.
• a gamma-függvény a

B ( x , y ) = ∫ 0 1 T x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y) képlettel kapcsolódik a béta-függvényhez . {\displaystyle \ mathrm {B} (x, y) = \ int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\, dt={\Frac {\Gamma (x)\, \ Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}}}.}

• a gamma-függvény logaritmikus származékát digamma-függvénynek nevezzük; a magasabb származékok a polygamma-függvények.,
• a gamma-függvény analógja véges mező vagy véges gyűrű felett a Gauss-összegek, az exponenciális összeg típusa.
• a reciprok gamma-függvény egy teljes függvény, és egy adott témaként vizsgálták.
• a gamma-függvény a Riemann-zéta-függvény fontos összefüggésében is megjelenik, ζ ( z ) {\displaystyle \zeta (z)} .

π-z 2 Γ (z 2) ζ (z) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2) ζ ( 1 − z)., {\displaystyle \ pi ^{- {\frac {z} {2}}}}\; \ Gamma \ left ({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left ({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} A következő képletben is megjelenik: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − 1 d u u , {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}}}}}}}}\, {\FRAC {du} {u}}}}}}, amely csak ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (Z)>1}., A logaritmusa a gamma-függvény kielégíti az alábbi képlet miatt Lerch: napló ⁡ Γ ( x ) = z H ( 0 , x ) − z ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zéta ‘(0),}, hol gyöke H {\displaystyle \zeta _{H}} a Hurwitz zéta-függvény, gyöke {\displaystyle \zeta } a Riemann-féle zéta-függvény, valamint a prime (‘) jelöli differenciálás az első változó.

• a gamma függvény a feszített exponenciális függvényhez kapcsolódik. Például ennek a függvénynek a pillanatai:

τ τ n ⟩ ≡ ∫ 0 ∞ d t n-1 E – (t τ ) β = τ n β γ ( n β ) ., {\displaystyle \langle\tau ^{n} \rangle \equiv\int _{0}^{\infty }DT\, t^{n-1}\, e^{- \bal ({\frac {t} {\tau}}} \ jobb)^{\beta}}} ={\FRAC {\tau ^{n}} {\beta}} \Gamma \bal({n \over\} \jobb).}

különleges értékekszerkesztés

beleértve a tizedespont utáni első 20 számjegyet is, a gamma-függvény bizonyos értékei:

Γ (−3 2) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ (- 1 2) = – 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ (1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ (1) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}}

a komplex értékű gamma függvény nem definiált nem pozitív egész számokra, de ezekben az esetekben az érték a Riemann-szférában ∞-ként definiálható. A reciprok gamma-függvény jól definiált és analitikus ezen értékeken (és a teljes komplex síkon):

1 Γ ( − 3) = 1 Γ ( − 2) = 1 Γ ( − 1) = 1 Γ ( 0) = 0. {\displaystyle {\frac {1} {\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}