Implicit függvény

a kalkulusban az implicit differenciálásnak nevezett módszer a láncszabályt használja az implicit definiált függvények megkülönböztetésére.

az Y(x) implicit függvény megkülönböztetéséhez, amelyet R(x, y) = 0 egyenlet határoz meg, általában nem lehet kifejezetten y-ra megoldani, majd megkülönböztetni. Ehelyett teljesen meg lehet különböztetni az R (x, y) = 0-t x és y tekintetében, majd meg lehet oldani a kapott lineáris egyenletet a dy/dx-hez, hogy kifejezetten megkapja a származékot x és y szempontjából., Még akkor is, ha az eredeti egyenletet kifejezetten meg lehet oldani, a teljes differenciálásból eredő képlet általában sokkal egyszerűbb és könnyebben használható.

ExamplesEdit

példa 1. Fontolja meg

y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y + x + 5=0\,.}

Ez az egyenlet könnyen megoldható y esetén, így

y = − x − 5, {\displaystyle y=-x-5\,,}

ahol a jobb oldal az y(x) függvény kifejezett formája. A differenciálás ezután dy / dx = -1 értéket ad.

Alternatív megoldásként teljesen meg lehet különböztetni az eredeti egyenletet:

d y d x + d x D x + d D x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., {\displaystyle {\begin {corined} {\frac {dy}{dx}} + {\frac {DX}}} + {\frac {d} DX}}}} (5)&=0\,;\\{\frac {dy}{dx}} + 1 + 0&=0\,.\end{igazított}}}

megoldása dy / dx AD

D y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}

ugyanaz a válasz, mint korábban kapott.

2. példa. Egy olyan implicit függvény példája, amelyre az implicit differenciálás könnyebb, mint az explicit differenciálás, az y(x) függvény, amelyet a

x 4 + 2 y 2 = 8 egyenlet határoz meg . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.,}

annak érdekében, hogy ezt kifejezetten megkülönböztessük x-hez képest, először

y ( x ) = ± 8 − x 4 2 , {\displaystyle y(x) = \ pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}

majd differenciálja ezt a funkciót. Ez két származékot hoz létre: az egyik y ≥ 0, a másik y < 0.

lényegesen könnyebb implicit módon megkülönböztetni az eredeti egyenletet:

4 x 3 + 4 y d y d x = 0, {\displaystyle 4x^{3} + 4y {\frac {dy}{dx}}} = 0\,,}

giving

d y d x = – 4 x 3 y = – x 3 y . ez a szócikk részben vagy egészben a következő szöveggel egészül ki:}

példa 3., Gyakran nehéz vagy lehetetlen kifejezetten megoldani az y-t, az implicit differenciálás pedig az egyetlen megvalósítható módszer a differenciálásra. Példa erre a

Y 5 − y = X egyenlet . {\displaystyle y^{5}-y=x\,.}

lehetetlen az Y algebrai kifejezését kifejezetten x függvényként kifejezni, ezért a dy/dx-et nem lehet explicit differenciálással megtalálni. Az implicit módszer alkalmazásával a dy/dx az egyenlet differenciálásával érhető el, hogy

5 y 4 D y d x-d y d x = d x D x, {\displaystyle 5y^{4} {\frac {dy} {dx}}} – {\frac {DX}}}}}} {\frac {DX}}}\,,}

ahol dx/dx = 1., A dy/dx faktorálása azt mutatja, hogy

( 5 y 4 − 1) d y d x = 1, {\displaystyle \ left (5y^{4}-1 \ right) {\frac {dy}{dx}}} = 1\,,}

amely az eredményt

d y d x = 1 5 y 4 – 1, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}} = {\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}

, amely a

y ≠ ± 1 5 4 és y ≠ ± I 5 4. {\displaystyle y\NEQ\pm {\frac {1} {\sqrt{5}}}}} \quad {and}}\quad y\NEQ \pm {\frac {i} {\sqrt {5}}}}}\,.}

az implicit functionEdit

származékának általános képlete ha R(x, y) = 0, az Y(x) implicit függvény deriváltját a következő adja meg:§11.,5

d y d x = − ∂ r ∂ x ∂ r ∂ y = − R x R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}=-{\frac {\parciális r} {\parciális x}}\,} {\frac {\parciális R}}}}}}}=-{\frac {R_ {x}}} {R_ {R_{y}}}}}\,,}

ahol Rx és Ry a parciális derivatív származékokat jelzik az R tekintetében X és Y.,

A fenti képlet származik segítségével a generalizált lánc szabály, hogy megkapjuk a teljes származék — tekintetében x — mindkét oldalán R(x, y) = 0:

∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}

ezért

∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial R}{\partial x}}+{\frac {\partial R}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}A =0,\,,}

ami, ha megoldható a dy/dx ad a fenti kifejezés.