végeselem módszer – mi ez? Fem and FEA Explained

a végeselem módszer (fem) egy numerikus technika, amelyet bármely adott fizikai jelenség végeselem-elemzésére (FEA) használnak.

matematikát kell alkalmazni minden olyan fizikai jelenség átfogó megértéséhez és számszerűsítéséhez, mint például a szerkezeti vagy folyadék viselkedés, a termikus szállítás, a hullámterjedés, valamint a biológiai sejtek növekedése. Ezeknek a folyamatoknak a többségét parciális differenciálegyenletek (PDEs) segítségével írják le., Ahhoz azonban, hogy egy számítógép megoldja ezeket a PD-ket, numerikus technikákat fejlesztettek ki az elmúlt évtizedekben, és az egyik legjelentősebb ma a végeselemes módszer.,

Véges Elem Módszer alkalmazásai a Véges Elem Módszer

A véges elem módszer azzal kezdődött, hogy jelentős ígéret a modellezés több mechanikai alkalmazások kapcsolatos aerospace, valamint a civil engineering. A végeselemes módszer alkalmazása csak most kezdődik el a potenciál elérésében., Az egyik legizgalmasabb kilátások alkalmazása kapcsolt problémák, mint a folyadék-szerkezet kölcsönhatás, termomechanikus, termokémiai, termo-kemo-mechanikai problémák, biomechanika, biomedical engineering, piezoelektromos, ferroelektromos, elektromágnesesség.

az elmúlt évtizedekben számos alternatív módszert javasoltak, de kereskedelmi alkalmazhatóságuk még nem bizonyított. Röviden, FEM most tett egy blip a radar!

a differenciálegyenletekkel való kezdés előtt elengedhetetlen a FEA szoftverről szóló cikk elolvasása a Simwikiben., Az alapokkal kezdődik, majd fokozatosan halad a differenciálegyenletekhez.

Fem egyenletek parciális differenciálegyenletek

először is fontos megérteni a PDEs különböző műfaját, valamint azok fem-hez való alkalmasságát. Ennek megértése mindenki számára különösen fontos, függetlenül a végeselem-elemzés használatának motivációjától. Fontos megjegyezni, hogy a FEM egy eszköz, minden eszköz csak olyan jó, mint a felhasználó.

A PDEs besorolása elliptikus, hiperbolikus és parabolikus., Ezeknek a differenciálegyenleteknek a megoldásakor határ-és / vagy kezdeti feltételeket kell biztosítani. A PDE típusa alapján a szükséges bemenetek értékelhetők. Az egyes kategóriákban a PDEs-re példák a Poisson-egyenlet (elliptikus), a hullámegyenlet (hiperbolikus) és a Fourier-törvény (parabolikus).

az elliptikus PDEs megoldásának két fő módja van, nevezetesen a véges különbségű módszerek (FDM) és a variációs (vagy energia) módszerek. A FEM a második kategóriába tartozik. A variációs megközelítések elsősorban az energia minimalizálásának filozófiáján alapulnak.,

a hiperbolikus PD-k általában a megoldások ugrásaihoz kapcsolódnak. Például a hullámegyenlet egy hiperbolikus PDE. A megoldások diszkontinuitásainak (vagy ugrásainak) köszönhetően az eredeti FEM technológiát (vagy Bubnov-Galerkin módszert) alkalmatlannak tartották a hiperbolikus PD-k megoldására. Az évek során azonban módosításokat fejlesztettek ki a FEM technológia alkalmazhatóságának kiterjesztése érdekében.

a vita befejezése előtt figyelembe kell venni a PDE típusára alkalmatlan numerikus keretrendszer használatának következményeit., Az ilyen használat olyan megoldásokhoz vezet, amelyeket “helytelenül pózolnak”.”Ez azt jelentheti, hogy a tartományparaméterek kis változásai nagy oszcillációkhoz vezetnek a megoldásokban, vagy hogy a megoldások csak a domain vagy az idő egy bizonyos részében léteznek, amelyek nem megbízhatóak. A jól megfogalmazott magyarázatokat úgy definiáljuk, mint azokat, ahol egy egyedi megoldás folyamatosan létezik a meghatározott adatok számára. Ezért, figyelembe véve a megbízhatóságot, rendkívül fontos, hogy jól megfogalmazott megoldásokat kapjunk.,

töltse le a “tippek az építészethez ,mérnöki & Construction (AEC) ” fehér könyvet, hogy megtudja, hogyan lehet optimalizálni a terveket!

Fem az energia minimalizálásának elve

hogyan működik a FEM? Mi az elsődleges hajtóerő? Az energia minimalizálásának elve képezi a végeselem módszer elsődleges gerincét. Más szavakkal, ha egy adott határfeltételt alkalmaznak egy testre, ez több konfigurációhoz vezethet, de mégis csak egy adott konfiguráció reálisan lehetséges vagy megvalósítható., Még akkor is, ha a szimulációt többször hajtják végre, ugyanazok az eredmények érvényesülnek. Miért van ez így?

ezt az energia minimalizálásának elve szabályozza. Azt állítja, hogy amikor egy határfeltételt (például elmozdulást vagy erőt) alkalmaznak, a test által megtehető számos lehetséges konfigurációból csak azt a konfigurációt választják, ahol a teljes energia minimális.,

végeselemes módszer története a végeselemes módszer története

technikailag, nézőpontjától függően, a FEM azt mondhatjuk, hogy már a 16.században származik Euler munkájában. Azonban a legkorábbi matematikai papírok fem megtalálható a munkálatok Schellback és Courant .

a FEM-et a mérnökök önállóan fejlesztették ki az űrkutatással és az építőmérnökséggel kapcsolatos szerkezeti mechanikai problémák megoldására. A fejlesztések az 1950-es évek közepén kezdődtek Turner, Clough, Martin és Topp, Argyris , valamint Babuska és Aziz papírjaival ., Zienkiewicz és Strang könyvei, valamint a Fix is megalapozták a FEM jövőbeli fejlődését.

ezeknek a történelmi fejleményeknek az érdekes áttekintése megtalálható Odenben . A FEM fejlesztésének áttekintése az elmúlt 75 évben megtalálható ebben a blogcikkben: a végeselem módszer 75 éve.

a végeselem módszer MŰSZAKI áttekintése

a végeselem módszer önmagában egy féléves tanfolyam. Ebben a cikkben ismertetjük a FEM mechanizmusának tömör leírását. Vegyünk egy egyszerű 1-D problémát az FEA különböző szakaszainak ábrázolására.,

gyenge forma

a FEM egyik első lépése a fizikai jelenséghez kapcsolódó PDE azonosítása. A PDE (vagy differenciális forma) ismert, mint az erős forma, az integrált forma ismert, mint a gyenge formában. Tekintsük az egyszerű PDE az alábbiak szerint. Az egyenletet megszorozzuk egy v(x) próbafunkcióval mindkét oldalon, majd integráljuk a tartományba .,

Most, használata integráció alkatrészek, az LHS a fenti egyenlet csökkenthető

Mint látható, a sorrendben a folytonosság szükséges az ismeretlen függvény az u(x) csökken egy. A korábbi differenciálegyenlet megköveteli, hogy u (x) legalább kétszer differenciálható legyen, míg az integrált egyenlet csak egyszer differenciálható., Ugyanez igaz a többdimenziós függvényekre is, de a deriváltokat színátmenetek és divergenciák váltják fel.

anélkül, hogy a matematika, a Riesz reprezentációs tétel bizonyítani tudja, hogy van egy egyedi megoldás u (x) az integrál, így a differenciál forma. Ezenkívül, ha az f(x) sima, azt is biztosítja, hogy az u(x) sima legyen.

diszkretizáció

az integrált vagy gyenge forma beállítása után a következő lépés a gyenge forma diszkretizálása., Az integrált formát numerikusan kell megoldani, ezért az integrációt számszerűen kiszámítható összegzésre konvertáljuk. Ezenkívül a diszkretizáció egyik elsődleges célja az integrált forma átalakítása olyan mátrixegyenletekké, amelyek a mátrix algebra jól ismert elméleteivel megoldhatók.

az ábrán látható módon., 03, A tartomány van osztva apró darabokra ismert, mint “elemek”, a sarok pont minden elem ismert, mint a”csomópont”. Az ismeretlen funkcionális u (x) a csomópontpontokon kerül kiszámításra. Az interpolációs funkciók az egyes elemek interpolálásához, az elemen belüli értékekhez, csomópontértékek használatával kerülnek meghatározásra. Ezeket az interpolációs funkciókat gyakran alaknak vagy ansatz funkcióknak is nevezik., Így az ismeretlen funkcionális u (x)

ahol nen az elem csomópontjainak száma, Ni és ui az I csomóponthoz kapcsolódó interpolációs függvény, illetve ismeretlenek., formában lehet írni, mint a

A összegzése rendszerek alakítható mátrix termékek, illetve át lehet írni, mint a

A gyenge formában lehet csökkenteni, hogy egy mátrix formában {u} = {f}

Megjegyzés: a fenti, hogy a korábbi tárgyalás funkció v(x) már szorozni, nem létezik többé az eredményül kapott mátrix egyenlet., Itt is ismert a merevség mátrix, {u} a csomópont ismeretlen vektorja, {r} pedig a maradék vektor. Továbbá, a numerikus integrációs sémák, mint Gauss vagy Newton-Cotes kvadratúra, az integrációk a gyenge formában, amely képezi a tangens merevség és a maradék vektor is könnyen kezelhető.

sok matematika vesz részt az interpolációs funkciók kiválasztásának döntésében, amely a funkcionális terek (például Hilbert és Sobolev) ismeretét igényli. További részletekért ebben a tekintetben a ” Hogyan tanulhatom meg a végeselem-elemzést?,”ajánlott.

megoldók

a mátrix egyenletek megállapítása után az egyenleteket egy megoldónak továbbítják az egyenletek rendszerének megoldására. A probléma típusától függően általában közvetlen vagy iteratív megoldókat használnak. A megoldók részletesebb áttekintése, hogyan működnek, valamint tippek a köztük való választáshoz a “Hogyan válasszunk Megoldókat: közvetlen vagy iteratív?,”

Típusú FEM Különböző Típusú Véges Elem Módszer

Mint korábban tárgyalt, hagyományos FEM technológia bebizonyította, hiányosságai modellezés kapcsolatos problémák folyadék mechanika, valamint hullám terjedési. A közelmúltban számos fejlesztés történt a megoldási folyamat javítása, valamint a végeselemes analízis alkalmazhatóságának kiterjesztése számos problémára., Néhány fontos még mindig használják a következők:

kiterjesztett végeselem módszer (XFEM)

Bubnov-Galerkin módszer megköveteli az elmozdulás folytonosságát az elemek között. Bár az olyan problémák, mint a kontaktus, a törés és a sérülés olyan megszakításokat és ugrásokat jelentenek, amelyeket a végeselem módszerrel nem lehet közvetlenül kezelni. Ennek a hiányosságnak a leküzdése érdekében az XFEM az 1990-es években született. az XFEM az Alakfüggvények Heaviside step funkciókkal történő bővítésén keresztül működik. Extra szabadságfokokat rendelnek a csomópontokhoz a folytonossági pont körül, hogy az ugrások figyelembe vehetők legyenek.,

generalizált végeselem módszer (Gfem)

a GFEM a 90-es években az XFEM-Mel nagyjából egy időben került bevezetésre. egyesíti a hagyományos fem és meshless módszerek jellemzőit. Az alakfüggvényeket elsősorban a globális koordináták határozzák meg, majd az egység partíciójával szorozzák meg a helyi elemi alakfüggvények létrehozásához. A GFEM egyik előnye a szingularitások körüli Újraegyesítés megelőzése.

vegyes végeselem módszer

Több probléma esetén, mint például a kontaktus vagy az érthetetlenség, a korlátokat Lagrange multiplikátorok segítségével szabják meg., Ezek a Lagrange multiplikátorokból eredő extra szabadságfokok önállóan oldódnak meg. Az egyenletek rendszere úgy oldódik meg, mint egy kapcsolt egyenletrendszer.

hp-végeselem módszer

hp-FEM az automatikus hálóffinomítás (h-finomítás) és a polinom (p-finomítás) sorrendjének növekedése. Ez nem ugyanaz, mint a h – és P – finomítások külön-külön. Ha automatikus hp-finomítást használunk, és egy elemet kisebb elemekre osztunk (h-finomítás), akkor minden elemnek különböző polinomrendjei is lehetnek.,

folytonos Galerkin végeselem módszer (DG-FEM)

DG-FEM mutatott jelentős ígéretet kihasználva az ötlet véges elemek megoldani hiperbolikus egyenletek, ahol a hagyományos végeselem módszerek gyengék voltak. Emellett a legtöbb anyagfolyamatban jellemzően megfigyelhető hajlítási és összenyomhatatlan problémák terén is javulást mutatott. Itt további korlátok kerülnek hozzáadásra a gyenge formához, amely tartalmaz egy büntetési paramétert (az interpenetráció megakadályozása érdekében), valamint az elemek közötti feszültségek egyéb egyensúlyának feltételeit.,

FEM következtetés

reméljük, hogy ez a cikk a végeselem módszerével kapcsolatos legfontosabb kérdéseire adott válaszokat fedte le. Ha a gyakorlatban szeretné látni, a SimScale lehetőséget kínál végeselemes elemzések elvégzésére a böngészőben. A SimScale felhőalapú szimulációs platform által nyújtott összes szolgáltatás felfedezéséhez töltse le ezt az áttekintést, vagy nézze meg egyik webináriumunk felvételét.

A SimScale használatához szükséges anyagok megtalálhatók a “9 tanulási erőforrás a mérnöki szimuláció megkezdéséhez”című blogcikkben.,