Il Vero (non lineare) il Pendolo Semplice
Quando lo spostamento angolare ampiezza del pendolo è abbastanza grande che il piccolo angolo di approssimazione non regge più, quindi l’equazione del moto deve rimanere nella sua forma non lineare$$ \frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0 $$Questa equazione differenziale non dispone di una soluzione della forma chiusa, ma deve invece essere risolta numericamente utilizzando un computer. Mathematica risolve numericamente questa equazione differenziale molto facilmente con il costruito in funzione NDSolve.,
L’approssimazione del piccolo angolo è valida per spostamenti angolari iniziali di circa 20° o meno. Se l’angolo iniziale è inferiore a questa quantità, allora la semplice approssimazione armonica è sufficiente. Ma, se l’angolo è più grande, le differenze tra l’approssimazione del piccolo angolo e la soluzione esatta diventano rapidamente evidenti.
Nell’animazione in basso a sinistra, l’angolo iniziale è piccolo. Il pendolo blu scuro è la piccola approssimazione dell’angolo e il pendolo blu chiaro (inizialmente nascosto dietro) è la soluzione esatta., Per un piccolo angolo iniziale, ci vuole un numero piuttosto elevato di oscillazioni prima che la differenza tra l’approssimazione del piccolo angolo (blu scuro) e la soluzione esatta (blu chiaro) inizi a divergere.
Nell’animazione in basso a destra, l’angolo iniziale è grande. Il pendolo nero è la piccola approssimazione dell’angolo e il pendolo grigio più chiaro (inizialmente nascosto dietro) è la soluzione esatta. Per un grande angolo iniziale, la differenza tra l’approssimazione del piccolo angolo (nero) e la soluzione esatta (grigio chiaro) diventa evidente quasi immediatamente.,
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