Analisi di Fourier

(Continuous) Fourier transformEdit

Molto spesso, il termine non qualificato Trasformata di Fourier si riferisce alla trasformazione di funzioni di un argomento reale continuo e produce una funzione continua di frequenza, nota come distribuzione di frequenza. Una funzione viene trasformata in un’altra e l’operazione è reversibile., Quando il dominio della funzione di ingresso (iniziale) è il tempo (t) e il dominio della funzione di uscita (finale) è la frequenza ordinaria, la trasformazione della funzione s(t) alla frequenza f è data dal numero complesso:

S ( f) = ∫ − ∞ ∞ s ( t) e e − i 2 π f t d t . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

La valutazione di questa quantità per tutti i valori di f produce la funzione di dominio della frequenza., Quindi s(t) può essere rappresentato come una ricombinazione di esponenziali complessi di tutte le frequenze possibili:

s ( t ) = ∫ − ∞ ∞ S ( f ) ⋅ e i 2 π f t d f , {\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df,}

qual è l’antitrasformata formula. Il numero complesso, S (f ), trasmette sia l’ampiezza che la fase della frequenza f.,

Vedi Trasformata di Fourier per molte altre informazioni, tra cui:

• convenzioni per la normalizzazione dell’ampiezza e la scala/unità di frequenza
• proprietà di trasformazione
• trasformazioni tabulate di funzioni specifiche
• un’estensione / generalizzazione per funzioni di dimensioni multiple, come le immagini.,

Fourier seriesEdit

La trasformata di Fourier di una funzione periodica, sP(t), con periodo P, diventa un pettine di Dirac funzione, modulata da una sequenza di coefficienti complessi:

S = 1 P ∫ P s P ( t ) ⋅ e − i 2 π k P t d t , k ∈ Z , {\displaystyle S={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,} (dove ∫P è l’integrale su qualsiasi intervallo di lunghezza P).,

L’antitrasformata, conosciuta come serie di Fourier, è una rappresentazione di sP(t) in termini di una sommatoria di un numero potenzialmente infinito di armonicamente correlate sinusoidi o il complesso di funzioni esponenziali, ciascuno con un’ampiezza e di fase specificato da uno dei coefficienti:

s P ( t ) = F − 1 { ∑ k = − ∞ + ∞ S δ ( f − k P ) } = ∑ k = − ∞ ∞ S ⋅ e i 2 π k P t . {\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.,}

sP(t) può essere espresso come somma periodica di un’altra funzione s(t):

s P ( t ) ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s ( t, m, P) {\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP)}

e i coefficienti sono proporzionali ai campioni di S( f ) a intervalli discreti di 1/P:

S = 1 P ⋅ S ( k P ) . Per maggiori informazioni clicca qui.}

Si noti che qualsiasi s(t) la cui trasformazione ha gli stessi valori di campione discreti può essere utilizzata nella somma periodica. Una condizione sufficiente per il recupero di s (t) (e quindi S (f )) solo da questi campioni (es., dalla serie di Fourier) è che la porzione diversa da zero di s(t) sia limitata a un intervallo noto di durata P, che è il dominio della frequenza doppio del teorema di campionamento di Nyquist-Shannon.

Vedi serie di Fourier per ulteriori informazioni, incluso lo sviluppo storico.

Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)Modifica

Il DTFT è il duale matematico della serie di Fourier nel dominio del tempo.,e coefficienti sono i campioni di un tempo continuo, funzione:

S 1 T ( f ) ≜ ∑ k = − ∞ ∞ S ( f − k T ) ≡ ∑ n = − ∞ ∞ s ⋅ e − i 2 π f n T ⏞ serie di Fourier (DTFT) ⏟ di Poisson formula bruta = F { ∑ n = − ∞ ∞ s δ ( t − n T ) } , {\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{serie di Fourier (DTFT)}}} _{\text{Poisson formula bruta}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s\ \delta (t-nT)\right\},\,}

che è conosciuta come la DTFT., Quindi la DTFT della sequenza s è anche la trasformata di Fourier della funzione comb di Dirac modulata.

I coefficienti della serie di Fourier (e la trasformata inversa), sono definiti da:

s ∫ T ∫ 1 T S 1 T ( f) e e i 2 π f n T d f = T ∫ − ∞ ∞ S ( f) S e i 2 π f n T d f s s ( n T ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione e per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

Il parametro T corrisponde all’intervallo di campionamento e questa serie di Fourier può ora essere riconosciuta come una forma della formula di somma di Poisson. Quindi abbiamo il risultato importante che quando una sequenza di dati discreta, s, è proporzionale ai campioni di una funzione continua sottostante, s(t), si può osservare una sommatoria periodica della trasformata di Fourier continua, S( f ). Si noti che qualsiasi s (t ) con gli stessi valori di campione discreti produce lo stesso DTFT Ma in determinate condizioni idealizzate si può teoricamente recuperare S( f) e s(t) esattamente., Una condizione sufficiente per un recupero perfetto è che la porzione diversa da zero di S( f ) sia limitata a un intervallo di frequenza noto di larghezza 1/T. Quando tale intervallo è , la formula di ricostruzione applicabile è la formula di interpolazione di Whittaker-Shannon. Questa è una pietra angolare nella fondazione dell’elaborazione del segnale digitale.

Un altro motivo per essere interessati a S1 / T( f ) è che spesso fornisce informazioni sulla quantità di aliasing causato dal processo di campionamento.

Le applicazioni del DTFT non sono limitate alle funzioni campionate.,ing (finite di sequenze di lunghezza)

transform properties

tabulati trasforma di specifiche funzioni

trasformata Discreta di Fourier (DFT)Modifica

Simile a una serie di Fourier, la DTFT di un periodico sequenza, sN, con periodo N, diventa un pettine di Dirac funzione, modulata da una sequenza di coefficienti complessi (vedi DTFT § Periodico dei dati):

S = ∑ n s N ⋅ e − i 2 π k N n , k ∈ Z , {\displaystyle S=\sum _{n}s_{N}\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,} (dove ∑n è la somma su qualsiasi sequenza di lunghezza N).,

La sequenza S è ciò che è comunemente noto come DFT di un ciclo di sN. È anche N-periodico, quindi non è mai necessario calcolare più di N coefficienti. La trasformata inversa, nota anche come serie discreta di Fourier, è data da:

s N = 1 N k k S i e i 2 π n N k, {\displaystyle s_{N}={\frac {1} {N}} \ sum _ {k}S \ cdot e^{i2 \ pi {\frac {n} {N}}k},} dove k k è la somma su qualsiasi sequenza di lunghezza N.,

Quando sN è espresso come somma periodica di un’altra funzione:

s N ≜ ∑ m = − ∞ ∞ s , {\displaystyle s_{N}\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s} e s ≜ s ( n T) {\displaystyle s\,\triangleq \,s(nT),}

i coefficienti sono proporzionali ai campioni di S1/T( f ) a intervalli discreti di 1/P = 1/NT:

S = 1 T ⋅ S 1 T ( k P ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

Al contrario, quando si vuole calcolare un numero arbitrario (N) di campioni discreti di un ciclo di un DTFT continuo, S1/T( f ), può essere fatto calcolando il DFT relativamente semplice di sN, come definito sopra. Nella maggior parte dei casi, N viene scelto uguale alla lunghezza della porzione diversa da zero di s. Aumentando N, noto come zero-padding o interpolazione, si ottengono campioni più ravvicinati di un ciclo di S1/T( f ). Diminuendo N, provoca sovrapposizione (aggiunta) nel dominio del tempo (analogo all’aliasing), che corrisponde alla decimazione nel dominio della frequenza., (vedi DTFT § Campionamento del DTFT) Nella maggior parte dei casi di interesse pratico, la sequenza s rappresenta una sequenza più lunga che è stata troncata dall’applicazione di una funzione di finestra a lunghezza finita o di un array di filtri FIR.

Il DFT può essere calcolato utilizzando un algoritmo FFT (Fast Fourier Transform), che lo rende una trasformazione pratica e importante sui computer.,

Vedere trasformata Discreta di Fourier per molto di più informazioni, tra cui:

• transform properties
• applicazioni
• tabulati trasforma di specifiche funzioni

SummaryEdit

Per funzioni periodiche, sia la trasformata di Fourier e la DTFT comprendono solo un insieme discreto di componenti di frequenza (serie di Fourier), e la trasforma divergono a quelle frequenze. Una pratica comune (non discussa sopra) è quella di gestire tale divergenza tramite le funzioni Dirac delta e Dirac comb., Ma le stesse informazioni spettrali possono essere individuate da un solo ciclo della funzione periodica, poiché tutti gli altri cicli sono identici. Allo stesso modo, le funzioni a durata finita possono essere rappresentate come una serie di Fourier, senza alcuna perdita effettiva di informazioni tranne che la periodicità della trasformazione inversa è un mero artefatto.

È comune nella pratica che la durata di s(•) sia limitata al periodo, P o N. Ma queste formule non richiedono tale condizione.,

Proprietà di simmetriaedit

Quando le parti reali e immaginarie di una funzione complessa sono scomposte nelle loro parti pari e dispari, ci sono quattro componenti, indicati di seguito dai pedici RE, RO, IE e IO.,iv>&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}

From this, various relationships are apparent, for example:

• The transform of a real-valued function (sRE+ sRO) is the even symmetric function SRE+ i SIO., Al contrario, una trasformazione simmetrica pari implica un dominio del tempo a valore reale.
• La trasformata di una funzione a valore immaginario (i sIE+ i sIO) è la funzione simmetrica dispari SRO+ i SIE, e il contrario è vero.
• La trasformata di una funzione simmetrica pari (sRE+ i sIO) è la funzione a valori reali SRE + SRO, e il contrario è vero.
• La trasformata di una funzione simmetrica dispari (sRO+ i sIE) è la funzione a valore immaginario i SIE+ i SIO, e il contrario è vero.,

Trasformazioni di Fourier su gruppi topologici abeliani localmente compatti arbitrari

Le varianti di Fourier possono anche essere generalizzate a trasformazioni di Fourier su gruppi topologici abeliani localmente compatti arbitrari, che sono studiati in analisi armonica; lì, la trasformata di Fourier assume funzioni su un gruppo a funzioni sul gruppo duale. Questo trattamento permette anche una formulazione generale del teorema di convoluzione, che mette in relazione trasformazioni di Fourier e circonvoluzioni. Vedi anche la dualità di Pontryagin per le basi generalizzate della trasformata di Fourier.,

Più specifica, l’analisi di Fourier può essere eseguita su cosets, anche cosets discreti.

Trasformazioni tempo–frequenzamodifica

In termini di elaborazione del segnale, una funzione (del tempo) è una rappresentazione di un segnale con una risoluzione temporale perfetta, ma nessuna informazione sulla frequenza, mentre la trasformata di Fourier ha una risoluzione di frequenza perfetta, ma nessuna informazione sul tempo.,

Come alternative alla trasformata di Fourier, nell’analisi tempo–frequenza, si usano trasformazioni tempo–frequenza per rappresentare i segnali in una forma che ha alcune informazioni temporali e alcune informazioni di frequenza – dal principio di indeterminazione, c’è un trade-off tra questi., Queste possono essere generalizzazioni della trasformata di Fourier, come la trasformata di Fourier a breve termine, la trasformata di Gabor o la trasformata di Fourier frazionale (FRFT), o possono utilizzare diverse funzioni per rappresentare i segnali, come nelle trasformazioni wavelet e nelle trasformazioni chirplet, con l’analogo wavelet della trasformata di Fourier (continua) che è la trasformata wavelet continua.