Calcolo I-Derivati delle funzioni trigonometriche

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Sezione 3-5 : Derivate di funzioni trigonometriche

Con questa sezione inizieremo a esaminare le derivate di funzioni diverse dai polinomi o dalle radici dei polinomi. Inizieremo questo processo dando un’occhiata alle derivate delle sei funzioni trigonometriche. Due dei derivati saranno derivati. I restanti quattro sono lasciati a te e seguiranno prove simili per i due dati qui.

Prima di entrare effettivamente nelle derivate delle funzioni trigonometriche dobbiamo dare un paio di limiti che appariranno nella derivazione di due delle derivate.,

Fact

Vedere la sezione Proof of Trig Limits del capitolo Extra per vedere la prova di questi due limiti.

Prima di procedere una breve nota. Gli studenti spesso chiedono perché usiamo sempre radianti in una classe di calcolo. Questo è il motivo per cui! La dimostrazione della formula che coinvolge il seno sopra richiede che gli angoli siano in radianti. Se gli angoli sono in gradi il limite che coinvolge il seno non è 1 e quindi anche le formule che deriveremo di seguito cambierebbero. Le formule seguenti raccoglierebbero una costante extra che ostacolerebbe il nostro lavoro e quindi usiamo i radianti per evitarlo., Quindi, ricorda di usare sempre i radianti in una classe di calcolo!

Prima di iniziare a differenziare le funzioni trigonometriche lavoriamo un rapido insieme di problemi limite che questo fatto ora ci permette di fare.

Ok, ora che abbiamo ottenuto questo insieme di esempi limite di mezzo torniamo al punto principale di questa sezione, differenziando le funzioni trigonometriche.

Inizieremo con la ricerca della derivata della funzione seno. Per fare ciò dovremo usare la definizione della derivata. È passato un po ‘ di tempo da quando abbiamo dovuto usare questo, ma a volte non c’è niente che possiamo fare al riguardo., Ecco la definizione della derivata per la funzione seno.

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Poiché non possiamo semplicemente collegare \(h = 0\) per valutare il limite dovremo usare la seguente formula trigonometrica sul primo seno nel numeratore.

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Facendo questo ci dà,

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Come puoi vedere usando la formula trigonometrica possiamo combinare il primo e il terzo termine e quindi calcolare un seno da quello. Possiamo quindi suddividere la frazione in due pezzi, entrambi i quali possono essere trattati separatamente.

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A questo punto tutto quello che dobbiamo fare è usare i limiti nel fatto sopra per finire questo problema.,

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La differenziazione del coseno viene eseguita in modo simile. Richiederà una formula trigonometrica diversa, ma a parte questa è una prova quasi identica. I dettagli saranno lasciati a voi. Quando hai finito con la prova che dovresti ottenere,

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Con questi due fuori mano i restanti quattro sono abbastanza semplici da ottenere. Tutte le restanti quattro funzioni trigonometriche possono essere definite in termini di seno e coseno e queste definizioni, insieme a regole derivate appropriate, possono essere utilizzate per ottenere le loro derivate.

Diamo un’occhiata a tangente., La tangente è definita come,

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Ora che abbiamo le derivate di seno e coseno tutto ciò che dobbiamo fare è usare la regola del quoziente su questo. Facciamolo.

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Le restanti tre funzioni trigonometriche sono anche quozienti che coinvolgono seno e/o coseno e quindi possono essere differenziate in modo simile. Lasceremo i dettagli a voi. Ecco le derivate di tutte e sei le funzioni trigonometriche.

Derivate delle sei funzioni trigonometriche

A questo punto dovremmo fare alcuni esempi.

Come problema finale qui non dimentichiamo che abbiamo ancora le nostre interpretazioni standard alle derivate.,

In questa sezione abbiamo visto come differenziare le funzioni trigonometriche. Abbiamo anche visto nell’ultimo esempio che le nostre interpretazioni della derivata sono ancora valide, quindi non possiamo dimenticarle.

Inoltre, è importante essere in grado di risolvere equazioni trigonometriche in quanto questo è qualcosa che sorgerà fuori e in questo corso. È anche importante che possiamo fare i tipi di linee numeriche che abbiamo usato nell’ultimo esempio per determinare dove una funzione è positiva e dove una funzione è negativa. Questo è qualcosa che faremo occasionalmente sia in questo capitolo che nel prossimo.