Grosso modo una curva differenziabile è una curva definita come localmente l’immagine di una funzione differenziabile iniettiva γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} da un intervallo I dei numeri reali in un collettore differenziabile X, spesso R n . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.}
Più precisamente, una curva differenziabile è un sottoinsieme C di X in cui ogni punto di C ha un vicinato U tale che C {U {\displaystyle C\cap U} è diffeomorfo a un intervallo dei numeri reali., In altre parole, una curva differenziabile è una varietà differenziabile di una dimensione.
Lunghezza di una curvamodifica
La lunghezza di una curva è indipendente dalla parametrizzazione γ {\displaystyle \gamma } .
s = ∫ a b 1 + 2 d x . Per maggiori informazioni clicca qui {1+^{2}}}~\mathrm {d} {x}.,} Lunghezza ( γ ) = def sup ( { ∑ i = 1 n d ( γ ( t i ) , γ ( t − 1 ) ) | n ∈ N e a = t 0 < t 1 < … < t n = b } ) , {\displaystyle \operatorname {Lunghezza} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left(\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{e}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\}\right),} Lunghezza ( γ | ) = t 2 − t 1 . {\displaystyle \ operatorname {Length}\!,\ left (\gamma |_{} \ right)=t_{2}-t_{1}.} Velocità γ ( t ) = def lim sup ∋ s → t d ( γ ( s ) , γ ( t ) ) | s − t | {\displaystyle {\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{\ni s\t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}}
e poi dimostrare che
Lunghezza ( γ ) = ∫ a b Velocità γ ( t ) d t . {\displaystyle \ operatorname {Length} (\gamma) =\int _{a}^{b} {\operatorname {Speed} _{\gamma}} (t)~ \ mathrm {d} {t}.,}
Geometria differentialedit
Mentre i primi esempi di curve che vengono soddisfatte sono per lo più curve piane (cioè, in parole di tutti i giorni, linee curve nello spazio bidimensionale), ci sono esempi ovvi come l’elica che esiste naturalmente in tre dimensioni. Le esigenze della geometria, e anche per esempio la meccanica classica sono di avere una nozione di curva nello spazio di qualsiasi numero di dimensioni. Nella relatività generale, una linea del mondo è una curva nello spaziotempo.,
Se X {\displaystyle X} è una varietà differenziabile, allora possiamo definire la nozione di curva differenziabile in X {\displaystyle X} . Questa idea generale è sufficiente per coprire molte delle applicazioni delle curve in matematica. Da un punto di vista locale si può prendere X {\displaystyle X} per essere spazio euclideo. D’altra parte, è utile essere più generali, in quanto (ad esempio) è possibile definire i vettori tangenti a X {\displaystyle X} per mezzo di questa nozione di curva.,
Se X {\displaystyle X} è una varietà liscia, una curva liscia in X {\displaystyle X} è una mappa liscia
γ : I → X {\displaystyle \gamma \colon I\rightarrow X} .
Si dice che una curva differenziabile sia regolare se la sua derivata non scompare mai. (In parole, una curva regolare non rallenta mai fino a fermarsi o backtracks su se stessa.,) Due C k {\displaystyle C^{k}} derivabile curve
γ 1 : I → X {\displaystyle \gamma _{1}\colon I\rightarrow X} e γ 2 : J → X {\displaystyle \gamma _{2}\colon J\rightarrow X}
si dicono equivalenti se c’è un biunivoca C k {\displaystyle C^{k}} mappa
p : J → I {\displaystyle p\colon J\rightarrow I}
tale che l’inverso della mappa
p − 1 : I → J {\displaystyle p^{-1}\colon I\rightarrow J}
è anche C k {\displaystyle C^{k}} , e
γ 2 ( t ) = γ 1 ( p ( t ) ) {\displaystyle \gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))}
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