Finite Element Method-Che cos’è? FEM e FEA spiegato

Il metodo degli elementi finiti (FEM) è una tecnica numerica utilizzata per eseguire l’analisi degli elementi finiti (FEA) di un dato fenomeno fisico.

È necessario utilizzare la matematica per comprendere e quantificare in modo completo qualsiasi fenomeno fisico, come il comportamento strutturale o fluido, il trasporto termico, la propagazione delle onde e la crescita delle cellule biologiche. La maggior parte di questi processi sono descritti utilizzando equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE)., Tuttavia, per un computer per risolvere queste PDE, le tecniche numeriche sono state sviluppate negli ultimi decenni e uno dei più importanti oggi è il metodo degli elementi finiti.,

il Metodo degli elementi Finiti Applicazioni del Metodo degli elementi Finiti

Il metodo degli elementi finiti è iniziato con la promessa significativa nella modellazione di diverse applicazioni meccaniche relative al settore aerospaziale e ingegneria civile. Le applicazioni del metodo degli elementi finiti stanno solo ora iniziando a raggiungere il loro potenziale., Una delle prospettive più interessanti è la sua applicazione in problemi accoppiati come l’interazione fluido-struttura, problemi termomeccanici, termochimici, termo-chemio-meccanici, biomeccanica, ingegneria biomedica, piezoelettrica, ferroelettrica ed elettromagnetica.

Ci sono stati molti metodi alternativi proposti negli ultimi decenni, ma la loro applicabilità commerciale è ancora da dimostrare. In breve, FEM ha appena fatto un blip sul radar!

Prima di iniziare con le equazioni differenziali, è essenziale leggere l’articolo sul software FEA nel SimWiki., Inizia con le basi e progredisce gradualmente verso le equazioni differenziali.

Equazioni FEM Equazioni differenziali alle derivate parziali

In primo luogo, è importante comprendere il diverso genere di PDE e la loro idoneità all’uso con FEM. La comprensione di questo è particolarmente importante per tutti, indipendentemente dalla motivazione per l’utilizzo dell’analisi agli elementi finiti. E ‘ fondamentale ricordare che FEM è uno strumento e qualsiasi strumento è solo buono come il suo utente.

Le PDE possono essere classificate come ellittiche, iperboliche e paraboliche., Quando si risolvono queste equazioni differenziali, è necessario fornire condizioni di contorno e/o iniziali. In base al tipo di PDE, è possibile valutare gli input necessari. Esempi di PDE in ogni categoria includono l’equazione di Poisson (ellittica), l’equazione delle onde (iperbolica) e la legge di Fourier (parabolica).

Esistono due approcci principali per risolvere le PDE ellittiche, vale a dire i metodi a differenza finita (FDM) e i metodi variazionali (o energetici). FEM rientra nella seconda categoria. Gli approcci variazionali si basano principalmente sulla filosofia della minimizzazione energetica.,

Le PDE iperboliche sono comunemente associate a salti nelle soluzioni. Ad esempio, l’equazione delle onde è una PDE iperbolica. A causa dell’esistenza di discontinuità (o salti) nelle soluzioni, la tecnologia FEM originale (o Metodo Bubnov-Galerkin) era ritenuta inadatta per risolvere PDE iperboliche. Tuttavia, nel corso degli anni, sono state sviluppate modifiche per estendere l’applicabilità della tecnologia FEM.

Prima di concludere questa discussione, è necessario considerare la conseguenza dell’utilizzo di una struttura numerica inadatta al tipo di PDE., Tale utilizzo porta a soluzioni che sono noti come ” impropriamente poste.”Ciò potrebbe significare che piccoli cambiamenti nei parametri del dominio portano a grandi oscillazioni nelle soluzioni, o che le soluzioni esistono solo in una certa parte del dominio o del tempo, che non sono affidabili. Le spiegazioni ben poste sono definite come quelle in cui esiste una soluzione unica continua per i dati definiti. Quindi, considerando l’affidabilità, è estremamente importante ottenere soluzioni ben poste.,

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FEM Principio di minimizzazione energetica

Come funziona FEM? Qual è la forza trainante primaria? Il principio di minimizzazione dell’energia costituisce la spina dorsale primaria del metodo degli elementi finiti. In altre parole, quando una particolare condizione al contorno viene applicata a un corpo, questo può portare a diverse configurazioni, ma tuttavia solo una particolare configurazione è realisticamente possibile o raggiunta., Anche quando la simulazione viene eseguita più volte, prevalgono gli stessi risultati. Perché è così?

Questo è governato dal principio di minimizzazione dell’energia. Afferma che quando viene applicata una condizione al contorno (come lo spostamento o la forza), delle numerose configurazioni possibili che il corpo può assumere, solo quella configurazione in cui l’energia totale è minima è quella scelta.,

Metodo degli elementi finiti Storia del Metodo degli elementi finiti

Tecnicamente, a seconda della propria prospettiva, si può dire che il FEM abbia avuto le sue origini nel lavoro di Eulero, già nel xvi secolo. Tuttavia, i primi documenti matematici su FEM possono essere trovati nelle opere di Schellback e Courant .

FEM è stato sviluppato in modo indipendente dagli ingegneri per affrontare i problemi di meccanica strutturale relativi all’ingegneria aerospaziale e civile. Gli sviluppi iniziarono a metà degli anni 1950 con le carte di Turner, Clough, Martin e Topp , Argyris e Babuska e Aziz ., I libri di Zienkiewicz e Strang, e Fix anche gettato le basi per lo sviluppo futuro in FEM.

Un’interessante rassegna di questi sviluppi storici può essere trovata in Oden . Una recensione dello sviluppo FEM negli ultimi 75 anni può essere trovata in questo articolo del blog: 75 Anni del metodo degli elementi finiti.

Technical FEM Technical Overview of Finite Element Method

Il metodo degli elementi finiti è di per sé un corso semestrale. In questo articolo viene descritta una descrizione concisa del meccanismo di FEM. Considera un semplice problema 1-D per descrivere le varie fasi coinvolte in FEA.,

Forma debole

Uno dei primi passi nel FEM è identificare la PDE associata al fenomeno fisico. La PDE (o forma differenziale) è conosciuta come la forma forte e la forma integrale è conosciuta come la forma debole. Considera il semplice PDE come mostrato di seguito. L’equazione viene moltiplicata per una funzione di prova v (x) su entrambi i lati e integrata con il dominio .,

Ora, con integrazione di parti, il lato sinistro dell’equazione di cui sopra può essere ridotto a

Come si può vedere, l’ordine della continuità necessaria per la funzione incognita u(x) è ridotto di uno. L’equazione differenziale precedente richiedeva che u (x) fosse differenziabile almeno due volte mentre l’equazione integrale richiede che sia differenziabile solo una volta., Lo stesso vale per le funzioni multidimensionali, ma le derivate sono sostituite da gradienti e divergenza.

Senza entrare nella matematica, il teorema di rappresentazione Riesz può dimostrare che esiste una soluzione unica per u(x) per l’integrale e quindi la forma differenziale. Inoltre, se f (x) è liscia, assicura anche che u(x) è liscia.

Discretizzazione

Una volta impostata la forma integrale o debole, il passo successivo è la discretizzazione della forma debole., La forma integrale deve essere risolta numericamente e quindi l’integrazione viene convertita in una somma che può essere calcolata numericamente. Inoltre, uno degli obiettivi primari della discretizzazione è anche quello di convertire la forma integrale in un insieme di equazioni matriciali che possono essere risolte utilizzando teorie ben note dell’algebra matriciale.

Come mostrato in Fig., 03, il dominio è diviso in piccoli pezzi noti come “elementi” e il punto d’angolo di ciascun elemento è noto come “nodo”. Le u funzionali sconosciute (x) sono calcolate nei punti nodali. Le funzioni di interpolazione sono definite per ogni elemento da interpolare, per i valori all’interno dell’elemento, utilizzando i valori nodali. Queste funzioni di interpolazione sono spesso indicate anche come funzioni di forma o ansatz., Così sconosciuto funzionale u(x) può essere ridotto a

dove nen è il numero dei nodi dell’elemento, Ni e ui sono la funzione di interpolazione e sconosciuti associati con il nodo i, rispettivamente., il modulo può essere riscritto come:

La sommatoria di progetti che potranno essere trasformati in matrice prodotti e può essere riscritto come:

La forma debole ora può essere ridotto a una forma della matrice {u} = {f}

si noti che la prima prova la funzione v(x) che era stato moltiplicato non esiste più in la matrice risultante equazione., Anche qui è conosciuta come la matrice di rigidità, {u} è il vettore di incognite nodali e {R} è il vettore residuo. Più avanti, usando schemi di integrazione numerica, come la quadratura di Gauss o Newton-Cotes, le integrazioni nella forma debole che forma la rigidità tangente e il vettore residuo sono anche gestite facilmente.

Molta matematica è coinvolta nella decisione di scegliere le funzioni di interpolazione, che richiede la conoscenza degli spazi funzionali (come Hilbert e Sobolev). Per maggiori dettagli a questo proposito, i riferimenti elencati nell’articolo ” Come posso imparare l’analisi agli elementi finiti?,”sono raccomandati.

Risolutori

Una volta stabilite le equazioni della matrice, le equazioni vengono trasmesse a un risolutore per risolvere il sistema di equazioni. A seconda del tipo di problema, vengono generalmente utilizzati risolutori diretti o iterativi. Una panoramica più dettagliata dei risolutori e di come funzionano, nonché suggerimenti su come scegliere tra di loro, sono disponibili nell’articolo del blog ” Come scegliere i risolutori: diretto o iterativo?,”

Tipi di FEM Diversi Tipi di elementi Finiti, Metodo

Come discusso in precedenza, tradizionale FEM tecnologia ha dimostrato carenze nella modellazione di problemi relativi alla meccanica dei fluidi e la propagazione dell’onda. Recentemente sono stati apportati diversi miglioramenti per migliorare il processo di soluzione ed estendere l’applicabilità dell’analisi agli elementi finiti a una vasta gamma di problemi., Alcuni dei più importanti ancora in uso includono:

Extended Finite Element Method (XFEM)

Il metodo Bubnov-Galerkin richiede la continuità dello spostamento tra gli elementi. Sebbene problemi come il contatto, la frattura e il danno comportino discontinuità e salti che non possono essere gestiti direttamente dal metodo degli elementi finiti. Per superare questa lacuna, XFEM è nato nel 1990. XFEM lavora attraverso l’espansione delle funzioni di forma con Heaviside step functions. Gradi extra di libertà sono assegnati ai nodi attorno al punto di discontinuità in modo che i salti possano essere considerati.,

Generalized Finite Element Method (GFEM)

GFEM è stato introdotto nello stesso periodo di XFEM negli anni ‘ 90. Combina le caratteristiche dei metodi tradizionali FEM e meshless. Le funzioni di forma sono definite principalmente dalle coordinate globali e ulteriormente moltiplicate per la partizione di unità per creare funzioni di forma elementali locali. Uno dei vantaggi di GFEM è la prevenzione del ri-meshing attorno alle singolarità.

Metodo misto agli elementi finiti

In diversi problemi, come il contatto o l’incomprimibilità, i vincoli vengono imposti usando i moltiplicatori di Lagrange., Questi gradi extra di libertà derivanti dai moltiplicatori di Lagrange sono risolti indipendentemente. Il sistema di equazioni è risolto come un sistema accoppiato di equazioni.

hp-Finite Element Method

hp-FEM è una combinazione di raffinamento automatico della mesh (h-raffinamento) e un aumento dell’ordine del polinomio (p-raffinamento). Questo non è lo stesso che fare h – e p – perfezionamenti separatamente. Quando viene utilizzato hp-refinement automatico e un elemento viene diviso in elementi più piccoli (h-refinement), ogni elemento può avere anche diversi ordini polinomiali.,

Discontinuous Galerkin Finite Element Method (DG-FEM)

DG-FEM ha mostrato una significativa promessa per l’utilizzo dell’idea degli elementi finiti per risolvere equazioni iperboliche, dove i metodi tradizionali degli elementi finiti sono stati deboli. Inoltre, ha anche mostrato miglioramenti nella flessione e problemi incomprimibili che sono tipicamente osservati nella maggior parte dei processi materiali. Qui, ulteriori vincoli vengono aggiunti alla forma debole che include un parametro di penalità (per prevenire la compenetrazione) e termini per altri equilibri di tensioni tra gli elementi.,

FEM Conclusione

Speriamo che questo articolo ha coperto le risposte alle vostre domande più importanti per quanto riguarda ciò che è il metodo degli elementi finiti. Se vuoi vederlo nella pratica, SimScale offre la possibilità di effettuare analisi agli elementi finiti nel browser web. Per scoprire tutte le funzionalità offerte dalla piattaforma di simulazione basata su cloud SimScale, scarica questa panoramica o guarda la registrazione di uno dei nostri webinar.

I materiali per iniziare con SimScale possono essere trovati nell’articolo del blog “9 Risorse di apprendimento per iniziare con la simulazione ingegneristica”.,