Funzione Gamma

GeneralEdit

Altre importanti funzionale equazioni per la funzione gamma di Eulero sono la riflessione di formula

Γ ( 1 − z ) Γ ( z ) = π peccato ⁡ ( π z ) , z ∉ Z {\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }

il che implica

Γ ( e − n ) = ( − 1 ) n − 1 Γ ( − ε ) Γ ( 1 + ε ) Γ ( n + 1 − ε) {\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}

e Legendre duplicazione formula

Γ ( z ) Γ ( z + 1 2 ) = 2 1 − 2 z π Γ ( 2 z ) ., {\displaystyle \ Gamma (z) \ Gamma \ left (z+{\tfrac {1}{2}} \ right)=2^{1-2z}\; {\sqrt {\pi }}\; \ Gamma (2z).}

La formula di duplicazione è un caso speciale del teorema di moltiplicazione (Vedi, Eq. 5.5.6)

k k = 0 m − 1 Γ ( z + k m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m 1 2 − m z Γ ( m z ) . {\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}

Una proprietà semplice ma utile, che può essere vista dalla definizione limite, è:

Γ ( z ) = Γ ( z ) ⇒ Γ ( z ) Γ ( z) R R ., {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .,quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left(-n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh(\pi b)}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}

Forse il più noto valore della funzione gamma a un non-argomento integer

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} Γ ( 1 2 + n ) = ( 2 n ) !, 4 n n ! π = (2 n-1)! ! 2 n π = (n − 1 2 n ) n ! π Γ (1 2-n) = (- 4) n n ! (2 n)! π = (- 2) n ( 2 n − 1)! ! π = π (- 1 / 2 n) n ! {\displaystyle {\begin {aligned} \ Gamma \ left ({\tfrac {1}{2}}+n\right) & ={(2n)! \ oltre 4^{n} n!} {\sqrt {\pi}} ={\frac {(2n-1)!!Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!{\sqrt {\pi }} \ \ \ Gamma \ left ({\tfrac {1} {2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \ sopra (2n)!} {\sqrt {\pi }} ={\frac {(-2)^{n}} {(2n-1)!!}il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.!,}} \ end {aligned}}}

Le derivate della funzione gamma sono descritte in termini della funzione polygamma. Ad esempio:

Γ ‘ ( z ) = Γ ( z ) ψ 0 ( z ) . {\displaystyle \ Gamma ‘ (z)= \ Gamma (z) \ psi _ {0} (z).}

Per un intero positivo m la derivata della funzione gamma può essere calcolata come segue (qui γ {\displaystyle \ gamma} è la costante di Eulero-Mascheroni):

Γ ‘ ( m + 1) = m ! (- γ + k k = 1 m 1 k). {\displaystyle \ Gamma ‘ (m + 1) = m!a sinistra(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.,}

Per ℜ ( x ) > 0 {\displaystyle \Ri (x)>0} n {\displaystyle n} th derivata della funzione gamma:

d n d x n Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ t x − 1 e − t ( ln ⁡ t ) n e d e t . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.,}

(Questo può essere derivato differenziando la forma integrale della funzione gamma rispetto a x {\displaystyle x} e usando la tecnica di differenziazione sotto il segno integrale.)

Utilizzando l’identità

Γ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n n ! π π n n i i = 1 r ζ ζ (a i ) k i ! ⋅ a i ζ ζ (x): = {ζ (x ) x γ 1 γ x = 1 {\displaystyle \ Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n} n!il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.!,\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{casi}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{casi}}} π = 1 + ⋯ + 1 ⏟ k 1 condizioni + ⋯ + a r + ⋯ + r ⏟ k r termini , {\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ termini}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ termini}}},}

abbiamo, in particolare,

Γ ( z ) = 1 z − γ + 1 2 ( γ 2 + π 2 6 ) z − 1 6 ( γ 3 + γ π 2 2 + 2 ζ ( 3 ) ) z 2 + O ( z 3 ) ., {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\a destra)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}

disequalitiesedit

Quando limitato ai numeri reali positivi, la funzione gamma è una funzione strettamente logaritmicamente convessa., Questa proprietà può essere indicato in uno dei seguenti tre modi equivalenti:

• Per ogni due numeri reali positivi x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 {\displaystyle x_{2}} e per ogni t ∈ {\displaystyle t\a } ,

Γ ( t x 1 + ( 1 − t ) x 2 ) ≤ Γ ( x 1 ) t Γ ( x 2 ) 1 − t . {\displaystyle\Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2}) \leq\Gamma (x_{1})^{t} \ Gamma (x_{2})^{1-t}.}

• Per due numeri reali positivi x e y con y > x,

( Γ ( y ) Γ ( x ) ) 1 y − x > exp ex ( Γ ‘ ( x ) Γ ( x ) ) ., {\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma ‘(x)}{\Gamma (x)}}\right).}

• Per qualsiasi numero reale positivo x {\displaystyle x},

Γ ” ( x ) Γ ( x)> Γ ‘ ( x ) 2 . {\displaystyle \ Gamma ” (x) \ Gamma(x)>\Gamma ‘(x)^{2}.} Γ ( a 1 x 1 + ⋯ + a n x n a 1 + ⋯ + a n ) ≤ ( Γ ( x 1 ) a 1 Γ Γ ( x n ) a n ) 1 a 1 + ⋯ + a n ., {\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}

Ci sono anche limiti sui rapporti delle funzioni gamma. La più nota è la disuguaglianza di Gautschi, che dice che per qualsiasi numero reale positivo x e qualsiasi s ∈ (0, 1),

x 1 − s < Γ ( x + 1 ) Γ ( x + s ) < ( x + 1 ) 1 − s ., {\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}

formulaEdit di Stirling

Il comportamento di Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} per una variabile positiva crescente è semplice. Cresce rapidamente, più velocemente di una funzione esponenziale in effetti., Asintoticamente come z → ∞ , {\textstyle z\to \infty \ ,} la grandezza di una funzione gamma, è dato dalla formula di Stirling

Γ ( z + 1 ) ∼ 2 π z ( t ) z {\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}

un Altro utili limite per approssimazioni asintotiche:

lim n → ∞ Γ ( n + α ) Γ ( n ) n α = 1 , α ∈ C . In questo caso, è possibile utilizzare un sistema di controllo automatico .}

ResiduesEdit

Il comportamento per z non positivo {\displaystyle z} è più complicato., L’integrale di Eulero non converge per z ≤ 0 {\displaystyle z\leq 0} , ma la funzione che definisce nel semipiano complesso positivo ha una continuazione analitica unica al semipiano negativo. Un modo per scoprire che la continuazione analitica è quello di utilizzare Eulero integrale per argomenti positivi e di estendere il dominio di numeri negativi ripetuti di applicazione della formula di ricorrenza,

Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n) {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},} Res ⁡ ( f , c ) = lim z → c ( z − c ) f ( z ) ., {\displaystyle \ operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\a c} (z-c)f (z).}

Per il polo semplice z = – n, {\displaystyle z = – n,} riscriviamo la formula di ricorrenza come:

(z + n ) Γ ( z ) = Γ ( z + n + 1 ) z ( z + 1) ⋯ (z + n − 1 ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Il numeratore a z = − n , {\displaystyle z=-n,} è

Γ ( z + n + 1 ) = Γ ( 1 ) = 1 {\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}

e il denominatore

z ( z + 1 ) ⋯ ( z + n − 1 ) = − n ( 1 − n ) ⋯ ( n − 1 − n ) = ( − 1 ) n n ! ., {\displaystyle z (z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}

Quindi i residui della funzione gamma in quei punti sono:

Res Res ( Γ , − n ) = ( − 1 ) n n ! . {\displaystyle \ operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}

MinimaEdit

La funzione gamma ha un minimo locale a zmin ≈ +1.46163214496836234126 (troncato) dove raggiunge il valore Γ(zmin) ≈ +0.88560319441088870027 (troncato)., La funzione gamma deve alternare il segno tra i poli perché il prodotto nella ricorrenza in avanti contiene un numero dispari di fattori negativi se il numero di poli tra z {\displaystyle z} e z + n {\displaystyle z + n} è dispari e un numero pari se il numero di poli è pari.

Rappresentazioni integralimodifica

Ci sono molte formule, oltre all’integrale di Eulero del secondo tipo, che esprimono la funzione gamma come integrale. Per esempio, quando la parte reale di z è positiva,

Γ ( z ) = ∫ 0 1 ( log t 1 t ) z − 1 d t ., {\displaystyle \ Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left (\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}

La prima formula integrale di Binet per la funzione gamma afferma che, quando la parte reale di z è positiva, allora:

log Γ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log log z-z + 1 2 log log (2 π ) + ∫ 0 ∞ ( 1 2 − 1 t + 1 e t-1 ) e-t z t d t . In questo modo è possibile accedere a tutte le informazioni necessarie per accedere al sito.{1}{2}}-{\ frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}} \ destra) {\frac {e^{- tz}} {t}}\,dt.}

L’integrale sul lato destro può essere interpretato come una trasformata di Laplace., Cioè,

log log ( Γ ( z ) ( e z ) z 2 π z ) = L ( 1 2 t − 1 t 2 + 1 t ( e t − 1 ) ) ( z ) . {\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}

La seconda formula integrale di Binet afferma che, di nuovo quando la parte reale di z è positiva, allora:

log Γ Γ ( z ) = ( z − 1 2 ) log log z − z + 1 2 log log ( 2 π ) + 2 ∫ 0 ∞ arctan ⁡ (t / z ) e 2 π t − 1 d t ., {\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.,}

Lasciate che C un Hankel di contorno, nel senso di un percorso che inizia e termina in corrispondenza del punto ∞ sulla sfera di Riemann, la cui unità di vettore tangente converge a -1 all’inizio del percorso e a 1 alla fine, che ha l’avvolgimento numero 1 intorno a 0, e che non attraversa

Γ ( z ) = − 1 2, ho peccato ⁡ π z ∫ C (t ) z − 1 e − t d t , {\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,} 1 Γ ( z ) = i 2 π ∫ C (t ) − z e − t d t , {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{z}e^{-t}\,dt,}

di nuovo valido ogni volta che z non è un numero intero.,l’unzione è il seguente serie di Fourier di espansione per 0 < z < 1 : {\displaystyle 0<z<1:}

ln ⁡ Γ ( z ) = ( 1 2 − z ) ( γ + ln ⁡ 2 ) + ( 1 − z ) ln ⁡ π − 1 2 ln ⁡ peccato ⁡ ( π z ) + 1 π ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n peccato ⁡ ( 2 π n z) {\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}

che è stata per lungo tempo attribuita a Ernst Kummer, che derivarono nel 1847., Tuttavia, Iaroslav Blagouchine scoprì che Carl Johan Malmsten derivò per la prima volta questa serie nel 1842.

La formula di Raabeedit

Nel 1840 Joseph Ludwig Raabe dimostrò che

∫ a a + 1 ln Γ Γ ( z ) d z = 1 2 ln 2 2 π + a ln l a − a , a> 0. In questo caso,è necessario che il sistema di controllo sia in grado di eseguire il controllo del sistema di controllo.}

In particolare, se a = 0 {\displaystyle a=0} allora

∫ 0 1 ln Γ Γ ( z ) d z = 1 2 ln π 2 π . Per maggiori informazioni,consulta la nostra informativa sulla privacy .,}

Quest’ultimo può essere derivato prendendo il logaritmo nella formula di moltiplicazione sopra, che dà un’espressione per la somma di Riemann dell’integrando. Prendendo il limite per un → ∞ {\displaystyle a \ rightarrow \ infty} dà la formula.,

Funzione Piedit

Una notazione alternativa originariamente introdotta da Gauss e talvolta usata è la funzione Π {\displaystyle \Pi}, che in termini di funzione gamma è

Π ( z ) = Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ e-t t z d t , {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\in modo che Π ( n ) = n ! {\displaystyle \ Pi(n) = n!} per ogni intero non negativo n {\displaystyle n} .,

Utilizzando la funzione di pi la riflessione formula assume la forma

Π ( z ) Π ( − z ) = π z peccato ⁡ ( π z ) = 1, f ⁡ ( z ) {\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {f} (z)}}}

dove sinc è normalizzata la funzione di sinc, mentre la moltiplicazione teorema prende la forma

Π ( z m ) Π ( z − 1 m ) ⋯ Π ( z − m + 1 m ) = ( 2 π ) m − 1 2 m − z − 1 2 p ( z ) . {\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .,}

A volte troviamo anche

π (z) = 1 Π (z ) , {\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}

Il volume di un n-ellissoide con raggi r1, …, rn può essere espresso come

V n (r 1,…, r n) = π n 2 Π ( n 2) k k = 1 n r k . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione..}

Relazione con altre funzionimodifica

• Nel primo integrale sopra, che definisce la funzione gamma, i limiti di integrazione sono fissi., Le funzioni gamma incomplete superiore e inferiore sono le funzioni ottenute consentendo il limite inferiore o superiore (rispettivamente) di integrazione di variare.
• La funzione gamma è correlata alla funzione beta dalla formula

B ( x , y ) = ∫ 0 1 t x − 1 ( 1 − t ) y − 1 d t = Γ ( x ) Γ ( y ) Γ ( x + y ) . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

• La derivata logaritmica della funzione gamma è chiamata funzione digamma; le derivate superiori sono le funzioni poligamma.,
• L’analogo della funzione gamma su un campo finito o un anello finito è la somma gaussiana, un tipo di somma esponenziale.
• La funzione gamma reciproca è un’intera funzione ed è stata studiata come argomento specifico.
• La funzione gamma si presenta anche in una relazione importante con la funzione zeta di Riemann, ζ (z ) {\displaystyle \zeta (z)} .

π-z 2 Γ (z 2) ζ ( z) = π − 1 − z 2 Γ ( 1 − z 2) ζ ( 1 − z)., {\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).} Appare anche nel seguente formula: ζ ( z ) Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ u z e u − d 1 u u {\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},} che è valido solo per ℜ ( z ) > 1 {\displaystyle \Re (z)>1} ., Il logaritmo della funzione gamma soddisfa la seguente formula, a causa Lerch: registro ⁡ Γ ( x ) = ζ H ‘( 0 , x ) − ζ ‘ ( 0 ) , {\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta ‘(0),} dove ζ H {\displaystyle \zeta _{H}} ‘ e la funzione zeta di Hurwitz, ζ {\displaystyle \zeta } è la funzione zeta di Riemann e il primo (‘) indica la differenziazione nella prima variabile.

• La funzione gamma è correlata alla funzione esponenziale allungata. Per esempio, i momenti di quella funzione sono

τ τ n ∫ ∫ 0 ∞ d t t n − 1 e − ( t τ ) β = τ n β Γ ( n β ) ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione e per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

Particolare valuesEdit

fino ai primi 20 cifre dopo il punto decimale, alcuni particolari valori della funzione gamma sono:

Γ ( − 3 2 ) = 4 π 3 ≈ + 2.36327 18012 07354 70306 Γ ( − 1 2 ) = − 2 π ≈ − 3.54490 77018 11032 05459 Γ ( 1 2 ) = π ≈ + 1.77245 38509 05516 02729 Γ ( 1 ) = 0 ! = + 1 Γ ( 3 2 ) = π 2 ≈ + 0.,88622 69254 52758 01364 Γ ( 2 ) = 1 ! = + 1 Γ ( 5 2 ) = 3 π 4 ≈ + 1.32934 03881 79137 02047 Γ ( 3 ) = 2 ! = + 2 Γ ( 7 2 ) = 15 π 8 ≈ + 3.32335 09704 47842 55118 Γ ( 4 ) = 3 ! = + 6 {\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.,36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!,&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.,32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!,&=&+6\end{array}}}

La funzione gamma a valori complessi non è definita per gli interi non positivi, ma in questi casi il valore può essere definito nella sfera di Riemann come ∞. La funzione gamma reciproca è ben definita e analitica a questi valori (e nell’intero piano complesso):

1 Γ (−3 ) = 1 Γ (−2 ) = 1 Γ (−1 ) = 1 Γ (0 ) = 0. Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione………………………}