Nel calcolo, un metodo chiamato differenziazione implicita utilizza la regola della catena per differenziare le funzioni definite implicitamente.
Per differenziare una funzione implicita y(x), definita da un’equazione R(x, y) = 0, non è generalmente possibile risolverla esplicitamente per y e quindi differenziarla. Invece, si può differenziare totalmente R (x, y) = 0 rispetto a x e y e quindi risolvere l’equazione lineare risultante per dy/dx per ottenere esplicitamente la derivata in termini di x e y., Anche quando è possibile risolvere esplicitamente l’equazione originale, la formula risultante dalla differenziazione totale è, in generale, molto più semplice e più facile da usare.
Esempi
Esempio 1. Considera
y + x + 5 = 0 . {\displaystyle y+x+5=0\,.}
Questa equazione è facile da risolvere per y, dando
y = − x − 5 , {\displaystyle y=-x-5\,,}
dove il lato destro è la forma esplicita della funzione y(x). La differenziazione dà quindi dy / dx = -1.
In alternativa, si può differenziare totalmente l’equazione originale:
d y d x + d x d x + d d x ( 5 ) = 0 ; d y d x + 1 + 0 = 0 ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.>=0\,;\\{\ frac {dy} {dx}}+1 + 0 & =0\,.\end{aligned}}}
Risolvendo per dy/dx dà
d y d x = − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-1\,,}
la stessa risposta ottenuta in precedenza.
Esempio 2. Un esempio di una funzione implicita per la quale la differenziazione implicita è più facile che usare la differenziazione esplicita è la funzione y (x) definita dall’equazione
x 4 + 2 y 2 = 8 . {\displaystyle x^{4}+2y^{2}=8\,.,}
Per differenziarlo esplicitamente rispetto a x, si deve prima ottenere
y (x) = ± 8-x 4 2, {\displaystyle y (x)= \ pm {\sqrt {\frac {8-x^{4}}{2}}}\,,}
e quindi differenziare questa funzione. Questo crea due derivate: una per y ≥ 0 e un’altra per y < 0.
È sostanzialmente più facile differenziare implicitamente l’equazione originale:
4 x 3 + 4 y d y d x = 0 , {\displaystyle 4x^{3}+4y{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
dando
d y d x = − 4 x 3 4 y = − x 3 y . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Esempio 3., Spesso, è difficile o impossibile risolvere esplicitamente per y, e la differenziazione implicita è l’unico metodo fattibile di differenziazione. Un esempio è l’equazione
y 5-y = x . {\stile di visualizzazione y^{5} – y = x\,.}
È impossibile esprimere algebricamente y esplicitamente come funzione di x, e quindi non si può trovare dy/dx per differenziazione esplicita. Utilizzando il metodo implicito, dy/dx possono essere ottenute derivando l’equazione per ottenere
5 y 4 d y d x d y d x = d x d x , {\displaystyle 5y^{4}{\frac {dy}{dx}}-{\frac {dy}{dx}}={\frac {dx}{dx}}\,,}
dove dx/dx = 1., Factoring fuori dy/dx mostra che
( 5 y 4 − 1 ) d y d x = 1 , {\displaystyle \left(5y^{4}-1\right){\frac {dy}{dx}}=1\,,}
da cui si ricava il risultato
d y d x = 1 5 y 4 − 1 , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{5y^{4}-1}}\,,}
che è definito per
y ≠ ± 1 5 4 e y ≠ ± 5 4 . Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}
Formula generale per la derivata della funzione implicitEdit
Se R(x, y) = 0, la derivata della funzione implicita y(x) è data da:§11.,5
d y d x = − ∂ R ∂ x ∂ R ∂ y = − R x R y , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\,{\frac {\partial U}{\partial x}}\,}{\frac {\partial U}{\partial y}}}=-{\frac {R{x}}{R_{y}}}\,,}
dove Rx e Ry indicare le derivate parziali di R rispetto a x e y.,
La formula arriva dall’uso generalizzato catena regola per ottenere il totale derivata rispetto a x di entrambi i lati di R(x, y) = 0:
∂ R ∂ x d x d x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
quindi
∂ R ∂ x + ∂ R ∂ y d y d x = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0\,,}
che, se risolto per dy/dx, dà l’espressione di cui sopra.
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