La vita e i numeri di Fibonacci

Fibonacci è uno dei nomi più famosi in matematica. Questo sarebbe venuto come una sorpresa per Leonardo Pisano, il matematico che ora conosciamo con quel nome. E avrebbe potuto essere altrettanto sorpreso di essere stato immortalato nella famosa sequenza– 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … – piuttosto che per quello che è considerato il suo successo matematico molto più grande – contribuendo a divulgare il nostro moderno sistema numerico nel mondo di lingua latina.,

L’Impero Romano ha lasciato l’Europa con il sistema dei numeri romani che vediamo ancora, tra l’altro, negli avvisi di copyright dopo film e programmi televisivi (2013 è MMXIII). I numeri romani non furono sostituiti fino alla metà del 13 ° secolo DC, e il libro di Leonardo Pisano, Liber Abaci (che significa “Il libro dei calcoli”), fu uno dei primi libri occidentali a descrivere la loro eventuale sostituzione.

Leonardo Pisano nacque alla fine del XII secolo a Pisa, in Italia: Pisano in italiano indicava che era di Pisa, allo stesso modo Mancuniano indica che io sono di Manchester. Suo padre era un mercante di nome Guglielmo Bonaccio ed è a causa del nome del padre che Leonardo Pisano divenne noto come Fibonacci. Secoli dopo, quando gli scolari studiavano le copie scritte a mano del Liber Abaci(come fu pubblicato prima che la stampa fosse inventata), lorointerpretò parte del titolo – “filius Bonacci” che significa “figlio di Bonaccio” – come suo cognome, e nacque Fibonacci.,

Fibonacci (come continueremo a chiamarlo) ha trascorso la sua infanzia in Nordafrica dove suo padre era un funzionario doganale. Fu educato da theMoors e viaggiò ampiamente in Barbary (Algeria), e fu poi inviato viaggi d’affari in Egitto, Siria, Grecia, Sicilia e Provence.In 1200 tornò a Pisa e utilizzò le conoscenze acquisite nei suoi viaggi per scrivere Liber Abaci (pubblicato nel 1202) in cui introdusse il mondo di lingua latina al sistema dei numeri decimali. Il primo capitolo della Parte 1 inizia:

” Queste sono le nove figure degli indiani: 9 8 7 6 5 4 3 2 1., Con queste nove figure, e con questo segno 0 che in arabo è chiamato zephirum, qualsiasi numero può essere scritto, come sarà dimostrato.”

L’Italia all’epoca era costituita da piccole città e regioni indipendenti e ciò portò all’uso di molti tipi di pesi e sistemi monetari. I commercianti dovevano convertirsi da uno all’altro ogni volta che scambiavano tra questi sistemi., Fibonacci ha scritto Liber Abaci per questi commercianti, pieno di problemi pratici e ha lavorato esempi dimostrando come semplicemente commerciale andmathematical calcoli potrebbe essere fatto con questo nuovo numero systemconfronted ai numeri romani ingombranti. L’impatto del libro di Fibonacci come thebeginning della diffusione dei numeri decimali è stato il suo greatestmathematical successo. Tuttavia, Fibonacci è meglio ricordatouna certa sequenza di numeri che è apparsa come esempio in LiberAbaci.,

Il problema con i conigli

Uno dei problemi matematici studiati da Fibonacci in Liber Abaci riguardava la velocità con cui i conigli potevano riprodursi in circostanze ideali.Supponiamo che una coppia di conigli appena nati, un maschio, una femmina, siano messi in un campo. I conigli sono in grado di accoppiarsi all’età di un mese in modo che alla fine del secondo mese una femmina possa produrre un altro paio di conigli., Supponiamo che i nostri conigli non muoiano mai e che la femmina produca sempre una nuova coppia (un maschio, una femmina) ogni mese dal secondo mese in poi. Il puzzle che Fibonacci pose era… Quante coppie ci saranno in un anno?

• Alla fine del primo mese, si accoppiano, ma c’è ancora solo 1 coppia.
• Alla fine del secondo mese la femmina produce una nuova coppia, quindi ora ci sono 2 paia di conigli.
• Alla fine del terzo mese, la femmina originale produce una seconda coppia, facendo 3 coppie in tutto.,
• Alla fine del quarto mese, la femmina originale ha prodotto un’altra nuova coppia, la femmina nata due mesi fa ha prodotto anche la sua prima coppia, facendo 5 coppie.

Ora immagina che ci siano coppie di conigli dopo mesi. Il numero di coppie nel mese sarà (in questo problema, i conigli non muoiono mai) più il numero di nuove coppie nate. Ma le nuove coppie nascono solo da coppie di almeno 1 mese, quindi ci saranno nuove coppie., Così abbiamo

che è semplicemente la regola per generare i numeri di Fibonacci: aggiungere le ultime due per ottenere il prossimo. Seguendo questo attraverso troverete che dopo 12 mesi (o 1 anno), ci saranno 233 coppie di conigli.

Le api sono migliori

Il problema del coniglio è ovviamente molto artificioso, ma la sequenza di Fibonacci si verifica nelle popolazioni reali. Le api da miele forniscono un esempio., In una colonia di api da miele c’è una femmina speciale chiamata regina. Le altre femmine sono api operaie che, a differenza dell’ape regina, non producono uova. Le api maschili non fanno lavoro e sono chiamate api drone.

I maschi sono prodotti dalle uova non fecondate della regina, quindi le api maschi hanno solo una madre ma nessun padre. Tutte le femmine sono prodotte quando la regina si è accoppiata con un maschio e quindi hanno due genitori., Le femmine di solito finiscono come api operaie, ma alcune sono nutrite con una sostanza speciale chiamata pappa reale che le fa crescere in regine pronte a partire per iniziare una nuova colonia quando le api formano uno sciame e lasciano la loro casa (un alveare) alla ricerca di un posto dove costruire un nuovo nido. Quindi le api femminili hanno due genitori, un maschio e una femmina, mentre le api maschili hanno un solo genitore, una femmina.

Diamo un’occhiata all’albero genealogico di un’ape drone maschio.

Ha 1 genitore, una femmina.
Ha 2 nonni, dal momento che sua madre aveva due genitori, un maschio e una femmina.,
Ha 3 bisnonni: sua nonna aveva due genitori, ma suo nonno aveva solo uno.
Quanti bis-bisnonni aveva?,”>

Numero genitori nonni grande
nonni gran-gran-
nonni grande-grande-grande-
nonni di un MASCHIO di ape 1 2 3 5 8 di una FEMMINA ape 2 3 5 8 13

a volute e conchiglie

popolazioni di api non sono l’unico luogo in natura, dove i numeri di Fibonacci si verificano, essi appaiono anche in belle forme di conchiglie., Per vedere questo, costruiamo un’immagine iniziando con duepiccoli quadrati di dimensione 1 uno accanto all’altro. In cima a entrambi questidisegnare un quadrato di dimensione 2 (=1+1). Ora possiamo disegnare un nuovo quadrato-toccando sia uno dei quadrati di unità e l’ultimo quadrato di lato 2-sohaving lati 3 unità di lunghezza; e poi un altro toccando sia il 2-squareand il 3-square (che ha lati di 5 unità). Possiamo continuare addingsquares intorno all’immagine, ogni nuovo quadrato che ha un lato che è lungo quanto la somma degli ultimi due lati del quadrato., Questo insieme direttangoli i cui lati sono due numeri di Fibonacci successivi in lunghezzae che sono composti da quadrati con lati che sono numeri di Fibonacci, chiameremo i rettangoli di Fibonacci.

Se ora disegniamo un quarto di cerchio in ogni quadrato, possiamo costruire una sorta di spirale. La spirale non è una vera spirale matematica (dal momento che è costituito offramments che sono parti di cerchi e non va avanti gettingsmaller e più piccolo) ma è una buona approssimazione ad una sorta ofspiral che appare spesso in natura., Tali spirali (chiamate spirali logaritmiche) sono viste nelforma di conchiglie di lumache e conchiglie di mare. L’immagine qui sotto di una sezione trasversale di un guscio nautilus mostra la curva a spirale del guscio e le camere interne che l’animale che lo utilizza aggiunge onas cresce. Le camere forniscono galleggiabilità nell’acqua.

I numeri di Fibonacci appaiono anche nelle piante e nei fiori. Alcune piante si ramificano in modo tale da avere sempre un numero di Fibonacci di punti crescenti. I fiori hanno spesso un numero di petali di Fibonacci, le margherite possono avere 34, 55 o addirittura 89 petali!,

Un aspetto particolarmente bello dei numeri di fibonacci è nelspirali di semi in una testa di seme. La prossima volta che vedi un girasole, guarda le disposizioni dei semi al suo centro. Essi sembrano tobe spirale verso l’esterno sia a sinistra che a destra.

A bordo di questa immagine di semi di girasole, se si contano quelle curve di semi a spirale per il leftas si va verso l’esterno, ci sono 55 spirali., Nello stesso punto ci sono 34 spirali di semi che spirano a destra.Un po ‘ più avanti verso il centro e si possono contare 34 spirali a sinistra e 21 spirali a destra. La coppia di numeri (countingspirals curva a sinistra e curva a destra) sono (quasi sempre) vicini in theFibonacci serie.

Lo stesso accade in molte teste di semi e fiori in natura., La ragione sembra essere che questa disposizione forma un imballaggio ottimale dei semi in modo che, non importa quanto grande la testa del seme, essi sono imballati in modo uniforme in qualsiasi fase, tutti i semi essendo la stessa dimensione, senza affollamento al centro e non troppo radi ai bordi.

La natura sembra usare lo stesso schema per disporre i petali attorno al bordo di un fiore e per posizionare le foglie attorno a uno stelo. Inoltre, tutti questi mantengono la loro efficienza mentre la pianta continua a crescere e questo è molto da chiedere al processo singolo! Quindi, come crescono le piante per mantenere questa ottimalità del design?,

Golden growth

I botanici hanno dimostrato che le piante crescono da un singolo piccolo gruppo di cellule proprio sulla punta di qualsiasi pianta in crescita, chiamata meristema. C’è un meristema separato alla fine di ogni ramo o ramoscello in cui si formano nuove cellule. Una volta formati, crescono di dimensioni, ma nuove cellule si formano solo in tali punti di crescita. Le cellule in precedenza lungo lo stelo si espandono e quindi il punto di crescita aumenta.Inoltre, queste cellule crescono in modo a spirale: è come se il meristema girasse di un angolo, producesse una nuova cella, girasse di nuovo dello stesso angolo, producesse una nuova cella e così via., Queste cellule possono poi diventare un seme, una nuova foglia, un nuovo ramo, o forse su un fiore diventare petali e stami.

La cosa sorprendente è che un singolo angolo fisso di rotazione può produrre il design ottimale, non importa quanto grande la pianta cresce., Il principio che un singolo angolo produce imballaggi uniformi, indipendentemente dalla crescita, era stato sospettato già nel secolo scorso, ma dimostrato matematicamente solo nel 1993 da Stéphane Douady e Yves Couder, due matematici francesi. Fare 0,618 di un giro prima di produrre un nuovo seme (o foglia, petalo, ecc) producesthe imballaggio ottimale dei semi non importa la dimensione della testa del seme. Ma da dove viene questo numero magico 0.618?,

Il rapporto aureo

Se prendiamo il rapporto di due numeri successivi nella serie di Fibonacci, dividendo ciascuno per il numero prima di esso, troveremo la seguente serie di numeri:

1/1 = 1, 2/1 = 2, 3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666…, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 = 1.61538…

Se tracci un grafico di questi valori vedrai che sembrano tendenti a un limite, che chiamiamo il rapporto aureo (noto anche come goldennumber e sezione aurea).

Ha un valore di (circa 1.618034) ed è spesso rappresentato da una lettera greca Phi, scritta come . Il valore strettamente correlato che scriviamo come , un phi minuscolo, è solo la parte decimale di Phi, vale a dire 0.618034… (), il numero che rappresenta le spirali nelle teste dei semi e le disposizioni delle foglie in molte piante. Ma perché vediamo il phi in così tante piante?

Il numero Phi (1.618034…), e quindi anche phi (0.618034…,), sono numeri irrazionali: non possono essere scritti come una semplice frazione. Vediamo cosa succederebbe se il meristema in una testa di seme invece ruotasse di qualche numero più semplice, ad esempio la frazione 1/2. Dopo due giri attraverso la metà di un cerchio saremmo tornati al punto in cui è stato prodotto il primo seme. Nel corso del tempo, girando di mezzo giro tra i semi produrrebbe una testa di seme con due braccia che si irradiano da un punto centrale, lasciando un sacco di spazio sprecato.

Una testa di seme prodotta da 0.,5 = 1/2 giri tra i semi: i semi alternativi si allineano.

Una testa di seme prodotta da 0,48=12/25 giri tra i semi: i semi formano due bracci rotanti.

Una testa di seme prodotta da 0,6=3/5 giri tra i semi: i semi formano 5 braccia diritte.,

Qualcosa di simile accade per qualsiasi altra semplice frazione di giro: semi crescono in braccia a spirale che lascia un sacco di spazio tra di loro (il numero di armi è il denominatore della frazione). Quindi il valore migliore per i turni tra i semi sarà un numero irrazionale. Ma non solo qualsiasi numero irrazionale lo farà. Ad esempio, la testa del seme creata con giri pi per seme sembra avere sette bracci a spirale di semi., Questo perché 22/7 è un’ottima approssimazione razionale di pi.

Ciò che è necessario per non sprecare spazio è un numero irrazionale che non è ben approssimato da un numero razionale. E si scopre che Phi (1.618034…) e la sua parte decimale phi (0.618034…) sono il” più irrazionale ” di tutti i numeri irrazionali. (Puoi scoprire perché nel caos in number land: la vita segreta delle frazioni continue.) Questo è il motivo per cui un giro di Phi dà l’imballaggio ottimale di semi e foglie nelle piante., Spiega anche perché i numeri di Fibonacci appaiono nelle disposizioni delle foglie e come il numero di spirali in seedheads. I numeri di Fibonacci adiacenti forniscono le migliori approssimazioni del rapporto aureo. A turno sono il denominatore delle approssimazioni e definiscono il numero o le spirali man mano che le teste dei semi aumentano di dimensioni.

Come hanno fatto così tante piante a scoprire questo numero bello e utile, Phi?Ovviamente non risolvendo la matematica come ha fatto Fibonacci., Invece weassume che, appena come il rapporto di numberseventually successivo di Fibonacci si deposita sul rapporto aureo, l’evoluzione gradualmente si è sistemata anche sul numero giusto. L’eredità di Leonardo Pisano, alias Fibonacci, sta nel cuore di ogni fiore, così come nel cuore del nostro sistema numerico.

Ulteriori letture

Se ti è piaciuto questo articolo, ti piacerebbe visitare i numeri di Fibonacci e la Sezione aurea.

Informazioni su questo articolo

Questo articolo è basato sul materiale scritto dal Dott., Knott, che in precedenza era docente presso il Dipartimento di Studi informatici presso l’Università del Surrey. Knott ha iniziato il sito web sui numeri di Fibonacci e la Sezione aurea nel 1996 come un esperimento di utilizzare il web per ispirare e incoraggiare più indagini matematiche sia all’interno che all’esterno del tempo scolastico. Da allora è cresciuto e ora copre molti altri soggetti, tutti con elementi interattivi e calcolatrici online. Anche se ora in pensione, Knott mantiene ancora ed estende le pagine web., Attualmente è Visiting Fellow presso l’Università del Surrey e tiene conferenze in tutto il paese a scuole, università, conferenze e società di matematica. Gli piace anche camminare, ricreazioni matematiche, coltivare cose da mangiare e cucinarle.